5、w，x)都在S中，則下列選項正確的是( )
A．(y，z，w)∈S，(x，y，w)?S
B．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S
C．(y，z，w)?S，(x，y，w)∈S
D．(y，z，w)?S，(x，y，w)?S
9．(2012年福建)某同學在一次研究性學習中發(fā)現，以下5個式子的值都等于同一個常數．
(1)sin213＋cos217－sin13cos17；
(2)sin215＋cos215－sin15cos15；
(3)sin218＋cos212－sin18cos12；
(4)sin2(－18)＋cos248－sin(－18)cos48；
(5)sin2(－25
6、)＋cos255－sin(－25)cos55.
(1)試從上述5個式子中選擇一個，求出這個常數；
(2)根據(1)的計算結果，將該同學的發(fā)現推廣為三角恒等式，并證明你的結論．
第2講 直接證明與間接證明
1．等差數列{an}中，是一個與n無關的常數，則該常數的可能值的集合為( )
A．{1} B.
C. D.
2．(2012年北京)某棵果樹前n年的總產量Sn與n之間的關系如圖K1021，從目前記錄的結果看，前m年的年平均產量最高，則m的值為(
7、 )
圖K1021
A．5 B．7 C．9 D．11
3．若a，b，c是不全相等的實數，
求證：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.其證明過程如下：
∵a，b，c∈R，∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac.
又a，b，c不全相等，∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ac)，
∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.此證法是( )
A．分析法 B．綜合法
C．反證法 D．分析法與綜合法并用
4．如下是證明－1>－的過程，其證法是( )
要證－1>－，
只需證＋>＋1，
即證(＋)2>(＋1)2，
即證>，
8、即證35>11.35>11顯然成立，∴－1>－.
A．分析法 B．綜合法
C．間接證法 D．分析法與綜合法并用
5．已知a，b，c都是正數，則三數a＋，b＋，c＋( )
A．都大于2 B．都小于2
C．至少有一個不大于2 D．至少有一個不小于2
6．α，β是兩個不同的平面，m，n是平面α及β之外的兩條不同的直線，給出四個論斷：
①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.
以其中的三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結論，寫出你認為正確的一個命題____________________．
7．下表中的對數值有且僅有一個是錯誤的：
x
3
9、5
8
9
15
lgx
2a－b
a＋c
3－3a－3c
4a－2b
3a－b＋c＋1
請將錯誤的一個改正為________________．
8．(2013年湖北)已知等比數列{an}滿足：|a2－a3|＝10，a1a2a3＝125.
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)是否存在正整數m，使得＋＋…＋≥1？若存在，求m的最小值；若不存在，請說明理由．
9．若函數f(x)對任意的x∈R，均有f(x－1)＋f(x＋1)≥2f(x)，則稱函數f(x)具有性質P.
(1)判斷下面兩個函數是否具有性質P，并說明理由．①y＝
10、ax(a>1)；②y＝x3.
(2)若函數f(x)具有性質P，且f(0)＝f(n)＝0(n>2，n∈N*)，求證：對任意i∈{1,2,3，…，n－1}有f(i)≤0；
(3)在(2)的條件下，是否對任意x∈[0，n]均有f(x)≤0.若成立給出證明，若不成立給出反例．
第3講 數學歸納法
1．用數學歸納法證明：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n13…(2n＋1)(n∈N*)，從“n＝k”到“n＝k＋1”左端需乘的代數式是( )
11、
A．2k＋1 B．2(2k＋1)
C. D.
2．用數學歸納法證明：12＋22＋…＋n2＋…＋22＋12＝，第二步證明由“k到k＋1”時，左邊應加( )
A．k2 B．(k＋1)2
C．k2＋(k＋1)2＋k2 D．(k＋1)2＋k2
3．對一切正整數n，n2與2n的大小關系為 ( )
A．對一切n∈N*，恒有n2<2n
B．對一切n∈N*，恒有n2≤2n
C．當n＝1或n≥5時，n2<2n，n＝2,3,4時，n2≥2n
D．以上都不對
4．f(n)和g(n)都是定義在正整數集上的函數，滿足：
12、①f(1)＝g(1)；②對n∈N*，f(n)－f(n－1)＝g(n)－g(n－1)．那么猜想對n∈N*時，有( )
A．f(n)>g(n)
B．f(n)對于一切n∈
13、N*成立，則正整數m的最大值為__________．
8．已知f(n)＝＋＋＋…＋，則下列說法有誤的是________．
①f(n)中共有n項，當n＝2時，f(2)＝＋；
②f(n)中共有n＋1項，當n＝2時，f(2)＝＋＋；
③f(n)中共有n2－n項，當n＝2時，f(2)＝＋；
④f(n)中共有n2－n＋1項，當n＝2時，f(2)＝＋＋.
9．(2014年廣東深圳一模)已知數列{an}的前n項和為Sn，且滿足4(n＋1)(Sn＋1)＝(n＋2)2an(n∈N*)．
(1)求a1，a2的值；
(2)求an；
(3)設bn＝，數列{bn}的前n項和為Tn，求證：Tn<.
14、
10．已知數列{an}滿足a1＝，且對任意n∈N*，都有＝.
(1)求證：數列為等差數列；
(2)試問數列{an}中akak＋1(k∈N*)是否仍是{an}中的項？如果是，請指出是數列的第幾項；如果不是，請說明理由；
(3)令bn＝，證明：對任意n∈N*，都有不等式>b成立．
第十章 推理與證明
第1講 合情推理和演繹推理
1．B 2.D 3.C
4．an＝ 解析：根據圖形可知：a1＝1，an＋1－an＝3n(n∈N*)．當n≥2時，
an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2
15、)＋…＋(an－an－1)
＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝.
5．s＝s＋s＋s
6．coscos…cos＝，n∈N*
7.n(n＋1) 解析：由給出等式觀察可知，x2的系數依次為1,3,6,10,15，…，∴a2＝n(n＋1)．
8．B 解析：若(x，y，z)＝(1,2,3)∈S和(z，w，x)＝(3,4,1)∈S都在S中，則(y，z，w)＝(2,3,4)∈S，(x，y，w)＝(1,2,4)∈S，故選B.
9．解：(1)選擇(2)：由sin215＋cos215－sin15cos15＝1－sin30＝，故這個常數是.
(2)推廣，得到三角恒等式sin2α＋cos2(30－α)－s
16、inαcos(30－α)＝.
證明：sin2α＋cos2(30－α)－sinαcos(30－α)
＝sin2α＋(cos30cosα＋sin30sinα)2－sinα(cos30cosα＋sin30sinα)
＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.
第2講 直接證明與間接證明
1．B 2.C 3.B 4.A 5.D
6．①③④，則②或若②③④，則①
7．lg15＝3a－b＋c 解析：如果lg3＝2a－b是正確的，那么lg9＝2lg3＝2(2a－b)＝4a－2b；如果lg3＝2a－b是錯誤的，那么lg9＝4a
17、－2b也是錯誤的，這與題意矛盾．反過來，如果lg9＝4a－2b是錯誤的，那么lg3＝2a－b也是錯誤的，這也與題意相矛盾．
同樣，如果lg5＝a＋c，那么lg8＝3lg2＝3(1－lg5)＝3(1－a－c)，如果lg5＝a＋c是錯誤的，那么lg8＝3－3a－3c，也錯誤，這與題意矛盾；顯然lg8＝3－3a－3c也不是錯誤的，否則lg5＝a＋c也錯誤．
∴l(xiāng)g15＝lg(35)＝lg3＋lg5＝(2a－b)＋(a＋c)＝3a－b＋c，
∴應將最后一個錯誤的改正為lg15＝3a－b＋c.
8．解：(1)由已知條件得：a2＝5，又a2|q－1|＝10，
∴q＝－1或3.
∴數列{an}的
18、通項an＝－5(－1)n－1或an＝53n－2.
(2)若q＝－1，＋＋…＋＝－或0，不存在這樣的正整數m；
若q＝3，＋＋…＋＝<<1.
綜上所述，不存在這樣的正整數m.
9．證明：(1)①函數f(x)＝ax(a>1)具有性質P.
f(x－1)＋f(x＋1)－2f(x)＝ax－1＋ax＋1－2ax
＝ax，
因為a>1，ax>0，
即f(x－1)＋f(x＋1)≥2f(x)，
此函數為具有性質P.
②函數f(x)＝x3不具有性質P.
例如，當x＝－1時，
f(x－1)＋f(x＋1)＝f(－2)＋f(0)＝－8,2f(x)＝－2，
所以，f(－2)＋f(0)<2f(－
19、1)，
此函數不具有性質P.
(2)假設f(i)為f(1)，f(2)，…，f(n－1)中第一個大于0的值，則f(i)－f(i－1)>0，
因為函數f(x)具有性質P，
所以，對于任意n∈N*，均有f(n＋1)－f(n)≥f(n)－f(n－1)．
所以f(n)－f(n－1)≥f(n－1)－f(n－2)≥…≥f(i)－f(i－1)>0，
所以f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋…＋[f(i＋1)－f(i)]＋f(i)>0，與f(n)＝0矛盾，
所以，對任意的i∈{1,2,3，…，n－1}有f(i)≤0.
(3)不成立．
例如f(x)＝
證明：當x為有理數時，x－1，x＋1均為
20、有理數，
f(x－1)＋f(x＋1)－2f(x)＝(x－1)2＋(x＋1)2－2x2－n(x－1＋x＋1－2x)＝2，
當x為無理數時，x－1，x＋1均為無理數，
f(x－1)＋f(x＋1)－2f(x)＝(x－1)2＋(x＋1)2－2x2＝2，
所以，函數f(x)對任意的x∈R，均有f(x－1)＋f(x＋1)≥2f(x)，
即函數f(x)具有性質P.
而當x∈[0，n](n>2)且當x為無理數時，f(x)>0.
所以，在(2)的條件下，“對任意x∈[0，n]均有f(x)≤0”不成立．
其他反例：
如f(x)＝，f(x)＝，f(x)＝等．)
第3講 數學歸納法
1．B 2.
21、D 3.C 4.C
5．D 解析：原等式共有5n項，當n＝1時，25－1＝24，選D.
6．C 解析：Sk＋1＝＋＋…＋
＝＋＋…＋＝＋＋…＋＋＋－
＝Sk＋－.
7．1006 解析：記f(n)＝＋＋＋…＋，
則f(n＋1)－f(n)＝＋－＝－>0，數列{f(n)}是遞增數列，則f(n)min＝f(1)＝，∴m≤1006.
8．①②③
9．(1)解：當n＝1時，有4(1＋1)(a1＋1)＝(1＋2)2a1，
解得a1＝8.
當n＝2時，有4(2＋1)(a1＋a2＋1)＝(2＋2)2a2，
解得a2＝27.
(2)解：方法一：當n≥2時，有4(Sn＋1)＝，?、?
4(S
22、n－1＋1)＝. ②
①－②，得4an＝－，
即＝.
∴＝＝＝…＝＝1.
∴an＝(n＋1)3(n≥2)．
方法二：根據a1＝8，a2＝27，猜想：an＝(n＋1)3.
①當n＝1時，有a1＝8＝(1＋1)3，猜想成立．
②假設當n＝k時，猜想也成立，即ak＝(k＋1)3.
那么當n＝k＋1時，
有4(k＋1＋1)(Sk＋1＋1)＝(k＋1＋2)2ak＋1，
即4(Sk＋1＋1)＝，?、?
又 4(Sk＋1)＝，?、?
①－②，得4ak＋1＝－＝－，
解得ak＋1＝(k＋2)3＝(k＋1＋1)3 .
∴當n＝k＋1時，猜想也成立．
因此，由數學歸納法證得an＝(n＋1
23、)3成立．
(3)證明：∵bn＝＝<＝－，
∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn－1＋bn＝＋＋＋…＋＋
<＋＋＋…＋＋
＝＋＋＋…＋＋
＝＋－<.
10．(1)解：anan＋1＋2an＝4anan＋1＋2an＋1，
即2an－2an＋1＝3anan＋1，
所以－＝.
所以數列是以為首項，公差為的等差數列．
(2)解：由(1)可得數列的通項公式為＝，
所以an＝.
akak＋1＝＝
＝.
因為＝k2＋3k＋1＋，
當k∈N*時，一定是正整數，所以是正整數．
(也可以從k的奇偶性來分析)
所以akak＋1是數列{an}中的項，是第項．
(3)證明：由(2)知：an＝，
bn＝＝＝n＋4.
下面用數學歸納法證明：2n+4>(n＋4)2對任意n∈N*都成立．
(1)當n＝1時，顯然25>52，不等式成立．
(2)假設當n＝k(k∈N*)時，有2k+4>(k＋4)2，
當n＝k＋1時，
2(k+1)+4＝22k+4>2(k＋4)2＝2k2＋16k＋32＝(k＋5)2＋k2＋6k＋7>(k＋5)2，
即有：>b也成立．
綜合(1)(2)知：對任意n∈N*，都有不等式>b成立．
高考數學理一輪資料包 第十章 推理與證明
