《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第三章 :第六節(jié)正弦定理和余弦定理演練知能檢測》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第三章 :第六節(jié)正弦定理和余弦定理演練知能檢測(6頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、 精品資料
[全盤鞏固]
1.已知△ABC,sin A∶sin B∶sin C=1∶1∶,則此三角形的最大內(nèi)角的度數(shù)是( )
A.60 B.90 C.120 D.135
解析:選B 依題意和正弦定理知,a∶b∶c=1∶1∶,且c最大.
設(shè)a=k,b=k,c=k(k>0),
由余弦定理得,cos C==0,
又0<C<180,所以C=90.
2.(2013山東高考)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若B=2A,a=1,b=,則c=( )
A.2 B.2
2、 C. D.1
解析:選B 由已知及正弦定理得===,所以cos A=,A=30.
結(jié)合余弦定理得12=()2+c2-2c,整理得c2-3c+2=0,解得c=1或c=2.
當(dāng)c=1時,△ABC為等腰三角形,A=C=30,B=2A=60,不滿足內(nèi)角和定理,故c=2.
3.(2014沈陽模擬)在△ABC中,AC=,BC=2,B=60,則BC邊上的高等于( )
A. B. C. D.
解析:選B 由余弦定理得:()2=22+AB2-22ABcos 60,即AB2-2AB-3=0,得AB=3,故BC邊上的高是ABsin 60=.
4.在△ABC中,若lg sin A-l
3、g cos B-lg sin C=lg 2,則△ABC的形狀是( )
A.直角三角形 B.等腰直角三角形
C.等邊三角形 D.等腰三角形
解析:選D 由條件得=2,
即2cos Bsin C=sin A.
由正、余弦定理得,2c=a,
整理得c=b,故△ABC為等腰三角形.
5.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若角A,B,C依次成等差數(shù)列,且a=1,b=,則S△ABC等于( )
A. B. C. D.2
解析:選C ∵A,B,C成等差數(shù)列,
∴A+C=2B,∴B=60.
又a=1,
4、b=,
∴=,
∴sin A===,
∴A=30,∴C=90.
∴S△ABC=1=.
6.在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2C-sin Bsin C,則A的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
解析:選C 由已知及正弦定理,有a2≤b2+c2-bc.而由余弦定理可知,a2=b2+c2-2bccos A,于是b2+c2-2bccos A≤b2+c2-bc,可得cos A≥.注意到在△ABC中,0<A<π,故A∈.
7.△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且asin Asin B+bcos2A=a,則=_
5、_______.
解析:由正弦定理,得sin2Asin B+sin Bcos2A=sin A,即sin B(sin2A+cos2A)=sin A,所以sin B=sin A.所以==.
答案:
8.(2014深圳模擬)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且cos A=,cos B=,b=3,則c=________.
解析:由題意知sin A=,sin B=,則
sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos AsinB=,
所以c==.
答案:
9.在△ABC中,B=60,AC=,則△ABC的周長的最大值為________.
解析:由正弦定理得:==
6、=,即==2,則BC=2sin A,AB=2sin C,
又△ABC的周長l=BC+AB+AC=2sin A+2sin C+=2sin(120-C)+2sin C+=2sin 120cos C-2cos 120sin C+2sin C+=cos C+sin C+2sin C+=cos C+3sin C+=(sin C+cos C)+=2sin C+cos C+=2sin+.故△ABC的周長的最大值為3.
答案:3
10.(2013浙江高考)在銳角△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2asin B=b.
(1)求角A的大??;
(2)若a=6,b+c=8,求△ABC的面積
7、.
解:(1)由2asin B=b及正弦定理=,
得sin A=.因為A是銳角,所以A=.
(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得b2+c2-bc=36.
又b+c=8,所以bc=.
由三角形面積公式S=bcsin A,得
△ABC的面積為.
11.(2014杭州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=6cos2x-sin 2x(x∈R).
(1)求f(x)的最大值及最小正周期;
(2)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,銳角A滿足f(A)=3-2,B=,求的值.
解:(1)f(x)=2cos +3.
故f(x)的最大值為2+3,最小正周期T=π.
(2)由
8、f(A)=3-2,得2cos+3=3-2,[來源:]
故cos=-1,
又由0
9、2αsin Asin B-tan α(sin Acos B+cos Asin B)+cos Acos B=,
tan2αsin Asin B-tan αsin(A+B)+cos Acos B=.①
因為C=,所以A+B=,所以sin(A+B)=,
因為cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B,
即-sin Asin B=,
解得sin Asin B=-=.
由①得tan2α-5tan α+4=0,
解得tan α=1或tan α=4.
[沖擊名校]
1.在銳角△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若+=6cos C,則+=________.
解
10、析:∵+=6cos C,∴+=6,化簡得a2+b2=c2,則+=tan C====4.
答案:4
2.(2013福建高考)如圖,在等腰直角△OPQ中,∠POQ=90,OP=2,點M在線段PQ上.
(1)若OM=,求PM的長;
(2)若點N在線段MQ上,且∠MON=30,問:當(dāng)∠POM取何值時,△OMN的面積最???并求出面積的最小值.
解:(1)在△OMP中,∠OPM=45,OM=,OP=2,由余弦定理,得OM2=OP2+PM2-2OPPMcos 45,
得PM2-4PM+3=0,
解得PM=1或PM=3.
(2)設(shè)∠POM=α,0≤α≤60,[來源:]
在△OMP中,由正
11、弦定理,得=,
所以O(shè)M=,[來源:]
同理ON=.
故S△OMN=OMONsin∠MON[來源:]
=
=
=
=
=
=
=.
因為0≤α≤60,則30≤2α+30≤150,所以當(dāng)α=30時,sin(2α+30)的最大值為1,此時△OMN的面積取到最小值.即∠POM=30時,△OMN的面積的最小值為8-4.
[高頻滾動]
1.已知sin x-sin y=-,cos x-cos y=,且x,y為銳角,則tan(x-y)=( )
A. B.- C. D.
解析:選B ∵sin x-sin y=-,x,y為銳角,
∴-<x-y<0,又
①2+②2,得2-2sin xsin y-2cos xcos y=2+2,
即2-2cos(x-y)=,得cos(x-y)=,又-<x-y<0,
∴sin(x-y)=-=-=-,
∴tan(x-y)==-.
2.設(shè)α為銳角,若cos=,則sin的值為________.
解析:因為α為銳角,cos=,所以sin=,sin 2=,cos 2=,所以sin=sin=sin 2cos -cos 2sin =.
答案: