概率論第三章答案

習(xí)題三 1. 箱子里裝有12只開關(guān)，其中只有2 只次品，從箱中隨機(jī)地取兩次，每次取一只，且設(shè)隨機(jī)變量X，Y為 試就放回抽樣與不放回抽樣兩種情況，寫出X與Y的聯(lián)合分布律. 解：先考慮放回抽樣的情況： 則此種情況下，X與Y的聯(lián)合分布律為 X Y 0 1 0 1 再考慮不放回抽樣的情況 X Y 0 1 0 1 2. 將一硬幣連擲三次，以X表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以Y表示在三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對值，試寫出（X,Y）的聯(lián)合分布律及邊緣分布律. 解：由已知可得：X的取值可能為0，1，2，3；Y的取值可能為1，3；則由硬幣出現(xiàn)正面和反面的概率各為，可知 X Y 0 1 2 3 0 3 0 0 0 1 3. 把三個(gè)球隨機(jī)地投入三個(gè)盒子中去，每個(gè)球投入各個(gè)盒子的可能性是相同的，設(shè)隨機(jī)變量X與Y分別表示投入第一個(gè)及第二個(gè)盒子中的球的個(gè)數(shù)，求二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布及邊緣分布. 解：由已知可得：X的取值可能為0，1，2，3；Y的取值可能為0，1，2，3；則 ， ， ， ， 則二維隨機(jī)變量（X,Y）的概率分布及邊緣分布為 X Y 0 1 2 3 0 1 2 3 0 0 0 0 0 0 1 4. 設(shè)(X,Y)的概率密度為 求： （1） P﹛(x,y)∈D﹜, 其中D=﹛(x,y)|x<1,y<3﹜; （2） P﹛(x,y)∈D﹜, 其中D=﹛(x,y)|x+y<3﹜. 解：（1） ∵D={(x,y)|x<1,y<3} ∴ （2） ∵D={(x,y)|x+y<3} ∴ 5. 設(shè)(X,Y)的概率密度為 求： （1） 系數(shù)c； （2） (X,Y)落在圓內(nèi)的概率. 解：（1） 由，得 ，可求得 （2） 設(shè)，則 6. 已知隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度為 求X和Y的聯(lián)合分布函數(shù). 解：∵隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度為 ∴當(dāng)x<0,或y<0時(shí)，F(xiàn)(x,y)=0; 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 綜上可得，X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)為 7. 設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為 （1） 求常數(shù)k； （2） 求 P﹛0<x<2,1<y≤3﹜; （3） 求X,Y的邊緣概率密度； （4） 判斷X與Y是否相互獨(dú)立. 解：（1） 由概率密度的性質(zhì)有 即 ，有 (2) (3) X的邊緣概率密度為 ∴當(dāng)0≤x<6時(shí)， 當(dāng)x<0或x≥6時(shí)，顯然有 Y的邊緣概率密度為 ∴當(dāng)0<y<6時(shí)， 當(dāng)y≤0或x≥6時(shí)，顯然有 (4) X與Y不相互獨(dú)立. 8．已知隨機(jī)變量X1和X2的概率分布為 X1 -1 0 1 P X2 0 1 而且P{X1X2=0}=1. (1) 求X1和X2的聯(lián)合分布； (2) 問X1和X2是否獨(dú)立？為什么？ 解：由,可知必然成立. 由得 同理可得：， 而綜上可得，和的聯(lián)合分布為 X1 X2 -1 0 1 0 1 0 0 1 （2） 可知和不獨(dú)立. 9. 設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且都服從 上的均勻分布，求方程 有實(shí)根的概率. 解：方程有實(shí)根的充要條件是， 由于隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，所以隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合概率密度為 下面分兩種情況討論： （1）當(dāng)時(shí)，如圖 記陰影部分為D (2) 當(dāng)時(shí)，如圖 記陰影部分為D, 記空白部分為D1 綜上可得：方程 有實(shí)根的概率為 另解：方程有實(shí)根的充要條件是 令 則當(dāng)x<0時(shí)則當(dāng)0≤x≤b2時(shí) 由于X與Y都服從上的均勻分布，即其密度函數(shù)各為 當(dāng)0≤x≤b2時(shí)， 當(dāng)x>b2時(shí)顯然有 ∴Z1的概率密度函數(shù)為 而當(dāng) 當(dāng)-4b<x<4b時(shí)， 當(dāng)x≤-4b時(shí)， ∴Z2的概率密度函數(shù)為 又由于隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，∴Z1 和Z2也相互獨(dú)立. 又設(shè)Z= Z1 +Z2 而 ∵b>0,而當(dāng)z≤-4b，時(shí)，此時(shí) 即 綜上可得：方程 有實(shí)根的概率為 10. 設(shè)（X,Y）的概率密度為 求邊緣概率密度和 解：X的邊緣概率密度為 ，當(dāng)x≤0時(shí)， 當(dāng)x>0時(shí)， Y的邊緣概率密度為 當(dāng)x≤0時(shí)，，當(dāng)y>0時(shí)， 而 11. 設(shè)X,Y相互獨(dú)立，其概率密度為 求Z=X+Y的概率密度. 解：由已知得 當(dāng)z<0時(shí)， 當(dāng)0≤z≤1時(shí)， 當(dāng)z>1時(shí)， ∴Z=X+Y的概率密度為 12. 設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為 求Z=X—Y的概率密度. 解：∵Z=X—Y的分布函數(shù)為 ∴Z=X—Y的概率密度為 ， ∴Z=X—Y的概率密度為 13. 設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為 求的概率密度. 解：設(shè)的分布函數(shù)為 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， ∴的概率密度 14. 設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）在矩形上服從均勻分布，試求邊長為X和Y的矩形面積S的概率密度f(s). 解：由已知可得隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為 設(shè)邊長為X和Y的矩形面積S的分布函數(shù)為F(s)，則 ∴ ∴矩形面積S的概率密度 15．設(shè)X和Y為兩個(gè)隨機(jī)變量，且 求 解： 同理可求 16. 設(shè)（X,Y）的聯(lián)合概率密度為 求： （1） （2）邊緣概率密度； (3) 解：（1）由已知，得 同理可知 而 又 （2）X的邊緣概率密度為 由于f(x,y)關(guān)于x,y地位的對稱性，得 17. 設(shè)X,Y是相互獨(dú)立且服從同一分布的兩個(gè)隨機(jī)變量，已知X的分布律為又設(shè)試寫出變量的分布律及邊緣分布律并求 解：由已知得： 則變量的分布律及邊緣分布律為： 1 2 3 1 2 3 0 0 0 1 而 18. 設(shè)X關(guān)于Y的條件概率密度為 而Y的概率密度為 求 解：由已知得： 19. 設(shè)（X,Y）的概率密度為 求： （1）的概率密度； （2）的概率密度. 解：(1) 設(shè)的分布函數(shù)為,概率密度為，則當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)z>1時(shí), 的概率密度為 (2) 設(shè)的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為,概率密度為， 則當(dāng)時(shí)， 則當(dāng)時(shí)， 則當(dāng)時(shí)， 的概率密度為 20. 假設(shè)一電路裝有三個(gè)同種電器元件，其工作狀態(tài)相互獨(dú)立，且無故障工作時(shí)間都服從參數(shù)為的指數(shù)分布，當(dāng)三個(gè)元件都無故障時(shí)，電路正常工作，否則整個(gè)電路不能正常工作.試求電路正常工作的時(shí)間T的概率分布. 解：用表示第i個(gè)電氣元件無故障工作的時(shí)間，則相互獨(dú)立且同分布，其分布函數(shù)為 設(shè)G(t)是T的分布函數(shù). 當(dāng)t ≤0時(shí)，G(t)=0;當(dāng)t>0時(shí)，有 電器正常工作的時(shí)間T的概率分布服從參數(shù)為的指數(shù)分布. 友情提示：部分文檔來自網(wǎng)絡(luò)整理，供您參考！文檔可復(fù)制、編制，期待您的好評與關(guān)注！ 20 / 20