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1、習(xí)題三
1. 箱子里裝有12只開(kāi)關(guān)，其中只有2 只次品，從箱中隨機(jī)地取兩次，每次取一只，且設(shè)隨機(jī)變量X，Y為
試就放回抽樣與不放回抽樣兩種情況，寫(xiě)出X與Y的聯(lián)合分布律.
解：先考慮放回抽樣的情況：
則此種情況下，X與Y的聯(lián)合分布律為
X
Y
0 1
0
1
再考慮不放回抽樣的情況
X
Y
0 1
0
1
2、
2. 將一硬幣連擲三次，以X表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以Y表示在三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對(duì)值，試寫(xiě)出（X,Y）的聯(lián)合分布律及邊緣分布律.
解：由已知可得：X的取值可能為0，1，2，3；Y的取值可能為1，3；則由硬幣出現(xiàn)正面和反面的概率各為，可知
X
Y
0 1 2 3
0
3
0
0 0
1
3、
3. 把三個(gè)球隨機(jī)地投入三個(gè)盒子中去，每個(gè)球投入各個(gè)盒子的可能性是相同的，設(shè)隨機(jī)變量X與Y分別表示投入第一個(gè)及第二個(gè)盒子中的球的個(gè)數(shù)，求二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布及邊緣分布.
解：由已知可得：X的取值可能為0，1，2，3；Y的取值可能為0，1，2，3；則
，
，
，
，
則二維隨機(jī)變量（X,Y）的概率分布及邊緣分布為
X
Y
0 1 2 3
0
1
2
3
0
4、
0 0
0 0 0
1
4. 設(shè)(X,Y)的概率密度為
求：
（1） P﹛(x,y)∈D﹜, 其中D=﹛(x,y)|x<1,y<3﹜;
（2） P﹛(x,y)∈D﹜, 其中D=﹛(x,y)|x+y<3﹜.
解：（1） ∵D={(x,y)|x<1,y<3}
∴
（2） ∵D={(x,y)|x+y<3}
∴
5. 設(shè)(X,Y)的概率密度為
求：
（1） 系數(shù)
5、c；
（2） (X,Y)落在圓內(nèi)的概率.
解：（1） 由，得
，可求得
（2） 設(shè)，則
6. 已知隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度為
求X和Y的聯(lián)合分布函數(shù).
解：∵隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度為
∴當(dāng)x<0,或y<0時(shí)，F(xiàn)(x,y)=0;
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
綜上可得，X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)為
7. 設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為
（1） 求常數(shù)k；
（2） 求 P﹛0
6、密度的性質(zhì)有
即 ，有
(2)
(3) X的邊緣概率密度為
∴當(dāng)0≤x<6時(shí)，
當(dāng)x<0或x≥6時(shí)，顯然有
Y的邊緣概率密度為
∴當(dāng)0
7、理可得：，
而綜上可得，和的聯(lián)合分布為
X1
X2
-1 0 1
0
1
0
0
1
（2）
可知和不獨(dú)立.
9. 設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且都服從 上的均勻分布，求方程 有實(shí)根的概率.
解：方程有實(shí)根的充要條件是，
由于隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，所以隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合概率密度為
下面分兩種情況討論：
（1）當(dāng)時(shí)，如圖
記陰影部分為D
(2)
8、 當(dāng)時(shí)，如圖
記陰影部分為D, 記空白部分為D1
綜上可得：方程 有實(shí)根的概率為
另解：方程有實(shí)根的充要條件是
令
則當(dāng)x<0時(shí)則當(dāng)0≤x≤b2時(shí)
由于X與Y都服從上的均勻分布，即其密度函數(shù)各為
當(dāng)0≤x≤b2時(shí)，
當(dāng)x>b2時(shí)顯然有
∴Z1的概率密度函數(shù)為
而當(dāng)
當(dāng)-4b0,而當(dāng)z≤-4b，時(shí)，此時(shí)
9、
即
綜上可得：方程 有實(shí)根的概率為
10. 設(shè)（X,Y）的概率密度為
求邊緣概率密度和
解：X的邊緣概率密度為
，當(dāng)x≤0時(shí)，
當(dāng)x>0時(shí)，
Y的邊緣概率密度為
當(dāng)x≤0時(shí)，，當(dāng)y>0時(shí)，
而
11. 設(shè)X,Y相互獨(dú)立，其概率密度為
求Z=X+Y的概率密度.
解：由已知得
當(dāng)z<0時(shí)，
當(dāng)0≤z≤1時(shí)，
當(dāng)z>1時(shí)，
∴Z=X+Y的概率密度為
12. 設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為
求Z=X—Y的概率密度.
解：∵Z=X—Y的分布函數(shù)為
∴Z=X—Y的概率密度為
，
∴Z=X—Y的
10、概率密度為
13. 設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為
求的概率密度.
解：設(shè)的分布函數(shù)為
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
∴的概率密度
14. 設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）在矩形上服從均勻分布，試求邊長(zhǎng)為X和Y的矩形面積S的概率密度f(wàn)(s).
解：由已知可得隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為
設(shè)邊長(zhǎng)為X和Y的矩形面積S的分布函數(shù)為F(s)，則
∴
∴矩形面積S的概率密度
15．設(shè)X和Y為兩個(gè)隨機(jī)變量，且
求
解：
同理可求
16. 設(shè)（X,Y）的聯(lián)合概率密度為
求：
（1）
（2）邊緣概率密度；
11、
(3)
解：（1）由已知，得
同理可知
而
又
（2）X的邊緣概率密度為
由于f(x,y)關(guān)于x,y地位的對(duì)稱(chēng)性，得
17. 設(shè)X,Y是相互獨(dú)立且服從同一分布的兩個(gè)隨機(jī)變量，已知X的分布律為又設(shè)試寫(xiě)出變量的分布律及邊緣分布律并求
解：由已知得：
則變量的分布律及邊緣分布律為：
1 2 3
1
2
3
0 0
0
12、 1
而
18. 設(shè)X關(guān)于Y的條件概率密度為
而Y的概率密度為
求
解：由已知得：
19. 設(shè)（X,Y）的概率密度為
求：
（1）的概率密度；
（2）的概率密度.
解：(1) 設(shè)的分布函數(shù)為,概率密度為，則當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)z>1時(shí),
的概率密度為
(2) 設(shè)的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為,概率密度為，
則當(dāng)時(shí)，
則當(dāng)時(shí)，
則當(dāng)時(shí)，
的概率密度為
20. 假設(shè)一電路裝有三個(gè)同種電器元件，其工作狀態(tài)相互獨(dú)立，且無(wú)故障工作時(shí)間都服從參數(shù)為的指數(shù)分布，當(dāng)三個(gè)元件都無(wú)故障時(shí)，電路正常工作，否則整個(gè)電路不能正常工作.試求電路正常工作的時(shí)間T的概率分布.
解：用表示第i個(gè)電氣元件無(wú)故障工作的時(shí)間，則相互獨(dú)立且同分布，其分布函數(shù)為
設(shè)G(t)是T的分布函數(shù).
當(dāng)t ≤0時(shí)，G(t)=0;當(dāng)t>0時(shí)，有
電器正常工作的時(shí)間T的概率分布服從參數(shù)為的指數(shù)分布.
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