金版教程高考數(shù)學(xué)文二輪復(fù)習(xí)講義:第二編 專題整合突破 專題二 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第三講 導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用 Word版含解析
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1、第三講 導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用 必記公式] 1.基本初等函數(shù)的八個(gè)導(dǎo)數(shù)公式 原函數(shù) 導(dǎo)函數(shù) f(x)=C(C為常數(shù)) f′(x)=0 f(x)=xα(α∈R) f′(x)=αxα-1 f(x)=sinx f′(x)=cosx f(x)=cosx f′(x)=-sinx f(x)=ax(a>0,且a≠1) f′(x)=axln_a f(x)=ex f′(x)=ex f(x)=logax(a>0,且a≠1) f′(x)=logae= f(x)=ln x f′(x)= 2.導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則 (1)f(x)g(x)]′=f′(x)g′(x); (2)
2、f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);
(3)′=(g(x)≠0).
重要概念]
1.切線的斜率
函數(shù)f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)是曲線f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線的斜率,因此曲線f(x)在點(diǎn)P處的切線的斜率k=f′(x0),相應(yīng)的切線方程為y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).
2.函數(shù)的單調(diào)性
在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi),如果f′(x)>0(f′(x)<0),那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增(單調(diào)遞減).
3.函數(shù)的極值
設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義,如果對x0附近所有的點(diǎn)x,都有f(x) 3、大值,記作y極大值=f(x0);如果對x0附近的所有的點(diǎn)都有f(x)>f(x0),那么f(x0)是函數(shù)的一個(gè)極小值,記作y極小值=f(x0).極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.
4.函數(shù)的最值
將函數(shù)y=f(x)在a,b]內(nèi)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a),f(b)比較,其中最大的一個(gè)是最大值,最小的一個(gè)是最小值.
失分警示]
1.判斷極值的條件掌握不清:利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的極值時(shí),忽視“導(dǎo)數(shù)等于零,并且兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號相反”這兩個(gè)條件同時(shí)成立.
2.混淆在點(diǎn)P處的切線和過點(diǎn)P的切線:前者點(diǎn)P為切點(diǎn),后者點(diǎn)P不一定為切點(diǎn),求解時(shí)應(yīng)先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo).
3.關(guān)注函數(shù)的定義域:求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極(最 4、)值應(yīng)先求定義域.
考點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的幾何意義
典例示法
典例1 (1)2016山東高考]若函數(shù)y=f(x)的圖象上存在兩點(diǎn),使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直,則稱y=f(x)具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是( )
A.y=sinx B.y=ln x
C.y=ex D.y=x3
解析] 設(shè)函數(shù)y=f(x)圖象上兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1,x2.由題意知只需函數(shù)y=f(x)滿足f′(x1)f′(x2)=-1(x1≠x2)即可.y=f(x)=sinx的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)=cosx,f′(0)f′(π)=-1,故A滿足;y=f(x)=ln x的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)=,f′ 5、(x1)f′(x2)=>0,故B不滿足;y=f(x)=ex的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)=ex,f′(x1)f′(x2)=ex1+x2>0,故C不滿足;y=f(x)=x3的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)=3x2,f′(x1)f′(x2)=9xx≥0,故D不滿足.故選A.
答案] A
(2)2015陜西高考]設(shè)曲線y=ex在點(diǎn)(0,1)處的切線與曲線y=(x>0)上點(diǎn)P處的切線垂直,則P的坐標(biāo)為________.
解析] y′=ex,則y=ex在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率k切=1,又曲線y=(x>0)上點(diǎn)P處的切線與y=ex在點(diǎn)(0,1)處的切線垂直,所以y=(x>0)在點(diǎn)P處的切線的斜率為-1,設(shè)P(a,b) 6、,則曲線y=(x>0)上點(diǎn)P處的切線的斜率為y′|x=a=-a-2=-1,可得a=1,又P(a,b)在y=上,所以b=1,故P(1,1).
答案] (1,1)
1.求曲線y=f(x)的切線方程的三種類型及方法
(1)已知切點(diǎn)P(x0,y0),求y=f(x)過點(diǎn)P的切線方程:
求出切線的斜率f′(x0),由點(diǎn)斜式寫出方程.
(2)已知切線的斜率為k,求y=f(x)的切線方程:
設(shè)切點(diǎn)P(x0,y0),通過方程k=f′(x0)解得x0,再由點(diǎn)斜式寫出方程.
(3)已知切線上一點(diǎn)(非切點(diǎn)),求y=f(x)的切線方程:
設(shè)切點(diǎn)P(x0,y0),利用導(dǎo)數(shù)求得切線斜率f′(x0),然后 7、由斜率公式求得切線斜率,列方程(組)解得x0,再由點(diǎn)斜式或兩點(diǎn)式寫出方程.
2.利用切線(或方程)與其他曲線的關(guān)系求參數(shù)
已知過某點(diǎn)切線方程(斜率)或其與某線平行、垂直,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切點(diǎn)坐標(biāo)、切線斜率之間的關(guān)系構(gòu)建方程(組)或函數(shù)求解.
提醒:求曲線的切線方程時(shí),務(wù)必分清在點(diǎn)P處的切線還是過點(diǎn)P的切線,前者點(diǎn)P為切點(diǎn),后者點(diǎn)P不一定為切點(diǎn),求解時(shí)應(yīng)先求出切點(diǎn)坐標(biāo).
針對訓(xùn)練
1.2016重慶巴蜀中學(xué)模擬]已知曲線y=在點(diǎn)P(2,4)處的切線與直線l平行且距離為2,則直線l的方程為( )
A.2x+y+2=0
B.2x+y+2=0或2x+y-18=0
C.2x-y- 8、18=0
D.2x-y+2=0或2x-y-18=0
答案 B
解析 y′==-,y′|x=2=-=-2,因此k1=-2,設(shè)直線l方程為y=-2x+b,即2x+y-b=0,由題意得=2,解得b=18或b=-2,所以直線l的方程為2x+y-18=0或2x+y+2=0.故選B.
2.2014江蘇高考]在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若曲線y=ax2+(a,b為常數(shù))過點(diǎn)P(2,-5),且該曲線在點(diǎn)P處的切線與直線7x+2y+3=0平行,則a+b的值是________.
答案?。?
解析 ∵y=ax2+,∴y′=2ax-,
由題意可得
解得∴a+b=-3.
考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 9、
典例示法
題型1 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)
典例2 2015重慶高考]已知函數(shù)f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=-處取得極值.
(1)確定a的值;
(2)若g(x)=f(x)ex,討論g(x)的單調(diào)性.
解] (1)對f(x)求導(dǎo)得f′(x)=3ax2+2x,
因?yàn)閒(x)在x=-處取得極值,所以f′=0,
即3a+2=-=0,解得a=.
(2)由(1)得g(x)=ex,
故g′(x)=ex+ex
=ex=x(x+1)(x+4)ex.
令g′(x)=0,解得x=0,x=-1或x=-4.
當(dāng)x<-4時(shí),g′(x)<0,故g(x)為減函數(shù);
當(dāng)-4 10、 11、)f′(x)=2mx-1+=,即2mx2-x+1<0在(0,+∞)上有解.
當(dāng)m≤0時(shí)顯然成立;
當(dāng)m>0時(shí),由于函數(shù)y=2mx2-x+1的圖象的對稱軸x=>0,故需且只需Δ>0,即1-8m>0,故0 12、′(x)=2mx-1+-2m==
.
當(dāng)m=時(shí),g′(x)≥0,又g(x)不是常數(shù)函數(shù),故g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
∴函數(shù)g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)x=1,滿足題意.
當(dāng)0 13、故在上,函數(shù)g(x)又有一個(gè)零點(diǎn),不符合題意.
綜上所述,m=.
1.導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性之間的關(guān)系
(1)導(dǎo)數(shù)大(小)于0的區(qū)間是函數(shù)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間.
(2)函數(shù)f(x)在D上單調(diào)遞增??x∈D,f′(x)≥0且f′(x)在區(qū)間D的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零;
函數(shù)f(x)在D上單調(diào)遞減??x∈D,f′(x)≤0且f′(x)在區(qū)間D的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零.
2.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)取值范圍的思路
(1)求f′(x).
(2)將單調(diào)性轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)f′(x)在該區(qū)間上滿足的不等式恒成立問題求解.
考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值
典例 14、示法
題型1 求函數(shù)的極值(最值)
典例4 2016合肥質(zhì)檢]已知函數(shù)f(x)=e1-x(2ax-a2)(其中a≠0).
(1)若函數(shù)f(x)在(2,+∞)上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)的最大值為g(a),當(dāng)a>0時(shí),求g(a)的最大值.
解] (1)由f(x)=e1-x(2ax-a2),
得f′(x)=(e1-x)′(2ax-a2)+2ae1-x=e′(2ax-a2)+2ae1-x=-e1-x(2ax-a2)+2ae1-x=-e1-x(2ax-a2-2a)=0,又a≠0,故x=1+,
當(dāng)a>0時(shí),f(x)在上為增函數(shù),在上為減函數(shù),∴1+≤2,即a≤2 15、,
∴00時(shí),f(x)max=f=2ae
即g(a)=2ae.
則g′(a)=(2-a)e=0,得a=2,
∴g(a)在(0,2)上為增函數(shù),在(2,+∞)上為減函數(shù),
∴g(a)max=g(2)=.
題型2 知極值的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍
典例5 2016沈陽質(zhì)檢]已知函數(shù)f(x)=xln x-x2-x+a(a∈R)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).
(1)求a的取值范圍;
(2)記兩個(gè)極值點(diǎn)為x1,x2,且x1 16、1)依題,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),
所以方程f′(x)=0在(0,+∞)上有兩個(gè)不同的根,
即方程ln x-ax=0在(0,+∞)上有兩個(gè)不同的根.
解法一:可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=ln x與函數(shù)y=ax的圖象在(0,+∞)上有兩個(gè)不同的交點(diǎn),如圖.
可見,若令過原點(diǎn)且與函數(shù)y=ln x圖象相切的直線斜率為k,只需0 17、0,
當(dāng)x>e時(shí),g′(x)<0,
所以g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,+∞)上單調(diào)遞減.從而g(x)極大值=g(e)=.
又g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)是1,且在x→0時(shí),g(x)→-∞,在x→+∞時(shí),g(x)→0,
所以g(x)的草圖如圖所示,
可見,要想函數(shù)g(x)=與函數(shù)y=a的圖象在(0,+∞)上有兩個(gè)不同交點(diǎn),只需00),
若a≤0,可見g′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,此時(shí)g(x)不可能有兩個(gè)不同零 18、點(diǎn).
若a>0,當(dāng)0 19、
又由ln x1=ax1,ln x2=ax2作差得,ln =a(x1-x2),即a=.
所以原式等價(jià)于>,
因?yàn)? 20、)上單調(diào)遞減,又h(1)=0,
所以h(t)在(0,1)上不能恒小于0,不符合題意,舍去.
綜上所述,若不等式e1+λ 21、在(a,b)內(nèi)的極值;
②將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a),f(b)比較,其中最大的一個(gè)是最大值,最小的一個(gè)是最小值.
提醒:(1)求函數(shù)極值時(shí),一定要注意分析導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)是不是函數(shù)的極值點(diǎn);
(2)求函數(shù)最值時(shí),務(wù)必將極值點(diǎn)與端點(diǎn)值比較得出最大(小)值;
(3)對于含參數(shù)的函數(shù)解析式或區(qū)間求極值、最值問題,務(wù)必要對參數(shù)分類討論.
全國卷高考真題調(diào)研]
1.2015全國卷Ⅱ]設(shè)函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù),f(-1)=0,當(dāng)x>0時(shí),xf′(x)-f(x)<0,則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是( )
A.(-∞,-1)∪( 22、0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)
答案 A
解析 令F(x)=,因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以F(x)為偶函數(shù),由于F′(x)=,當(dāng)x>0時(shí),xf′(x)-f(x)<0,所以F(x)=在(0,+∞)上單調(diào)遞減,根據(jù)對稱性,F(xiàn)(x)=在(-∞,0)上單調(diào)遞增,又f(-1)=0,f(1)=0,數(shù)形結(jié)合可知,使得f(x)>0成立的x的取值范圍是(-∞,-1)∪(0,1),故選A.
2.2016全國卷Ⅲ]已知f(x)為偶函數(shù),當(dāng)x≤0時(shí),f(x)=e-x-1-x,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,2)處的切線方程是______ 23、__.
答案 y=2x
解析 當(dāng)x>0時(shí),-x<0,f(-x)=ex-1+x,而f(-x)=f(x),所以f(x)=ex-1+x(x>0),點(diǎn)(1,2)在曲線y=f(x)上,易知f′(1)=2,故曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,2)處的切線方程是y-2=f′(1)(x-1),即y=2x.
其它省市高考題借鑒]
3.2016四川高考]已知a為函數(shù)f(x)=x3-12x的極小值點(diǎn),則a=( )
A.-4 B.-2
C.4 D.2
答案 D
解析 由題意可得f′(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),
令f′(x)=0,得x=-2或x=2,
則f′(x),f(x)隨x的 24、變化情況如下表:
x
(-∞,-2)
-2
(-2,2)
2
(2,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
極大值
極小值
∴函數(shù)f(x)在x=2處取得極小值,則a=2.故選D.
4.2016北京高考]設(shè)函數(shù)f(x)=xea-x+bx,曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為y=(e-1)x+4.
(1)求a,b的值;
(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.
解 (1)因?yàn)閒(x)=xea-x+bx,所以f′(x)=(1-x)ea-x+b.
依題設(shè),即
解得a=2,b=e.
(2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex.
25、
由f′(x)=e2-x(1-x+ex-1)及e2-x>0知,f′(x)與1-x+ex-1同號.
令g(x)=1-x+ex-1,則g′(x)=-1+ex-1.
所以當(dāng)x∈(-∞,1)時(shí),g′(x)<0,g(x)在區(qū)間(-∞,1)上單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g′(x)>0,g(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增.
故g(1)=1是g(x)在區(qū)間(-∞,+∞)上的最小值,
從而g(x)>0,x∈(-∞,+∞).
綜上可知,f′(x)>0,x∈(-∞,+∞).
故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,+∞).
一、選擇題
1.2016鄭州質(zhì)檢]函數(shù)f(x)=excosx的圖象在 26、點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程是( )
A.x+y+1=0 B.x+y-1=0
C.x-y+1=0 D.x-y-1=0
答案 C
解析 依題意,f(0)=e0cos0=1,因?yàn)閒′(x)=excosx-exsinx,所以f′(0)=1,所以切線方程為y-1=x-0,即x-y+1=0,故選C.
2.2016山西忻州四校聯(lián)考]設(shè)函數(shù)f(x)=xsinx+cosx的圖象在點(diǎn)(t,f(t))處切線的斜率為k,則函數(shù)k=g(t)的部分圖象為( )
答案 B
解析 f′(x)=(xsinx+cosx)′=xcosx,則k=g(t)=tcost,易知函數(shù)g(t)為奇函數(shù),其圖象 27、關(guān)于原點(diǎn)對稱,排除A、C.當(dāng)0 28、,x)處的切線為l,若l也與函數(shù)y=ln x,x∈(0,1)的圖象相切,則x0必滿足( )
A.0 29、g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,又g(1)=-ln 2 <0,g()=1-ln 2 <0,g()=2-ln 2>0,從而 30、a2+12>0恒成立,故f′(x)=0必有兩個(gè)不等實(shí)根,不妨設(shè)為x1,x2,且x1 31、f=2f,所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱,故C選項(xiàng)的結(jié)論正確;對于D選項(xiàng),令a=c=0得f(x)=x3-x,f(x)在(0,0)處切線方程為y=-x,且有唯一實(shí)數(shù)解,即f(x)在(0,0)處切線與f(x)圖象有唯一公共點(diǎn),所以D不正確,選D.
6.已知函數(shù)f(x)=(a-2)x-ax3在區(qū)間-1,1]上的最大值為2,則a的取值范圍是( )
A.2,10] B.-1,8]
C.-2,2] D.0,9]
答案 B
解析 f′(x)=-3ax2+a-2.(1)當(dāng)a=0時(shí),f′(x)=-2<0,f(x)在-1,1]上為減函數(shù),所以f(x)max=f(-1)=2,符合題意.(
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