2019高考數(shù)學(xué) 專題十七 離心率精準(zhǔn)培優(yōu)專練 文.doc
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培優(yōu)點(diǎn)十七 離心率 1.離心率的值 例1:設(shè),分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,線段的中點(diǎn)在軸上,若,則橢圓的離心率為( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本題存在焦點(diǎn)三角形,由線段的中點(diǎn)在軸上,為中點(diǎn)可得軸, 從而,又因?yàn)?,則直角三角形中,, 且,,所以,故選A. 2.離心率的取值范圍 例2:已知是雙曲線的左焦點(diǎn),是該雙曲線的右頂點(diǎn),過點(diǎn)且垂直于軸的直線與雙曲線交于,兩點(diǎn),若是銳角三角形,則該雙曲線的離心率的取值范圍為( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】從圖中可觀察到若為銳角三角形,只需要為銳角.由對(duì)稱性可得只需即可.且,均可用,,表示,是通徑的一半,得:,, 所以,即, 故選B. 對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn) 一、單選題 1.若雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn),則該雙曲線的離心率為( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】雙曲線的漸近線過點(diǎn),代入,可得:, 即,,故選D. 2.傾斜角為的直線經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn),與橢圓交于、兩點(diǎn),且,則該橢圓的離心率為( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】設(shè)直線的參數(shù)方程為,代入橢圓方程并化簡得, 所以,,由于,即,代入上述韋達(dá)定理,化簡得,即,.故選A. 3.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,第九章“勾股”,講述了“勾股定理”及一些應(yīng)用,還提出了一元二次方程的解法問題.直角三角形的三條邊長分別稱“勾”“股”“弦”.設(shè)、分別是雙曲線 ,的左、右焦點(diǎn),是該雙曲線右支上的一點(diǎn),若,分別是的“勾”“股”,且,則雙曲線的離心率為( ) A. B. C.2 D. 【答案】D 【解析】由雙曲線的定義得,所以, 即,由題意得,所以, 又,所以,解得,從而離心率,故選D. 4.已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同,它們交于,兩點(diǎn),且直線過點(diǎn),則雙曲線的離心率為( ) A. B. C. D.2 【答案】C 【解析】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為,由題意可得:,, 則,,即,, 又:,, 據(jù)此有:,即, 則雙曲線的離心率:.本題選擇C選項(xiàng). 5.已知點(diǎn)在橢圓上,若點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn),且(為坐標(biāo)原點(diǎn)),則橢圓的離心率的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由題意,所以點(diǎn)在以為直徑的圓上,圓心為,半徑為,所以圓的方程 為:, 與橢圓方程聯(lián)立得:,此方程在區(qū)間上有解, 由于為此方程的一個(gè)根,且另一根在此區(qū)間內(nèi),所以對(duì)稱軸要介于與之間, 所以,結(jié)合,解得, 根據(jù)離心率公式可得.故選C. 6.已知橢圓,點(diǎn),是長軸的兩個(gè)端點(diǎn),若橢圓上存在點(diǎn),使得,則該橢圓的離心率的最小值為( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】設(shè)為橢圓短軸一端點(diǎn),則由題意得,即, 因?yàn)?,所以,,,,,,故選C. 7.已知雙曲線的左,右焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn)在雙曲線的右支上,且, 則此雙曲線的離心率的最大值為( ) A. B. C.2 D. 【答案】B 【解析】由雙曲線的定義知 ①;又, ② 聯(lián)立①②解得,, 在中,由余弦定理,得, 要求的最大值,即求的最小值, 當(dāng)時(shí),解得,即的最大值為,故選B. 解法二:由雙曲線的定義知 ①,又, ②,聯(lián)立①②解得,,因?yàn)辄c(diǎn)在右支所以,即故,即的最大值為,故選B. 8.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn)在橢圓上,為坐標(biāo)原點(diǎn),若,且,則該橢圓的離心率為( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由橢圓的定義可得,, 又,可得,即為橢圓的短軸的端點(diǎn), ,且,即有,即為,.故選D. 9.若直線與雙曲線有公共點(diǎn),則雙曲線的離心率的取值范圍為( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】雙曲線的漸近線方程為, 由雙曲線與直線有交點(diǎn),則有,即有, 則雙曲線的離心率的取值范圍為,故選D. 10.我們把焦點(diǎn)相同且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對(duì)“相關(guān)曲線”.已知,是一對(duì)相關(guān)曲線的焦點(diǎn),,分別是橢圓和雙曲線的離心率,若P為它們?cè)诘谝幌笙薜慕稽c(diǎn),,則雙曲線的離心率( ) A. B.2 C. D.3 【答案】C 【解析】設(shè),,橢圓的長半軸長為,雙曲線的實(shí)半軸長為, 可得,,可得,, 由余弦定理可得, 即有, 由離心率公式可得,,即有,解得,故選C. 11.又到了大家最喜(tao)愛(yan)的圓錐曲線了.已知直線與橢圓交于、兩點(diǎn),與圓交于、兩點(diǎn).若存在,使得,則橢圓的離心率的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】直線,即, 直線恒過定點(diǎn),直線過圓的圓心, ,,的圓心為、兩點(diǎn)中點(diǎn), 設(shè),,, 上下相減可得:, 化簡可得,, ,,故選C. 12.已知點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn),點(diǎn),分別為雙曲線的左右焦點(diǎn),點(diǎn)是的內(nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心),若恒有成立,則雙曲線的離心率取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 設(shè)的內(nèi)切圓半徑為,由雙曲線的定義得,, ,,, 由題意得,故, 故,又,所以,雙曲線的離心率取值范圍是,故選D. 二、填空題 13.已知拋物線與雙曲線有相同的焦點(diǎn),點(diǎn)是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn),若直線的斜率為,則雙曲線的離心率為______. 【答案】 【解析】如圖所示,設(shè)雙曲線的另外一個(gè)焦點(diǎn)為, 由于的斜率為,所以,且,所以是等邊三角形, 所以,所以,, 所以, 所以,由雙曲線的定義可知,所以雙曲線的離心率為. 14.已知雙曲線,其左右焦點(diǎn)分別為,,若是該雙曲線右支上一點(diǎn),滿足,則離心率的取值范圍是__________. 【答案】 【解析】設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,∵,在雙曲線右支上,根據(jù)雙曲線的第二定義, 可得,, ,,,,,,故答案為. 15.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,過的直線與橢圓交于,的兩點(diǎn),且軸,若為橢圓上異于,的動(dòng)點(diǎn)且,則該橢圓的離心率為_______. 【答案】 【解析】根據(jù)題意,因?yàn)檩S且,假設(shè)在第一象限,則, 過作軸于,則易知, 由得,所以,, 所以,代入橢圓方程得,即, 又,所以,所以橢圓離心率為. 故答案為. 16.在平面直角坐標(biāo)系中,記橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,,若該橢圓上恰好有6個(gè)不同的點(diǎn),使得為等腰三角形,則該橢圓的離心率的取值范圍是____________. 【答案】 【解析】橢圓上恰好有6個(gè)不同的點(diǎn),使得為等腰三角形,6個(gè)不同的點(diǎn)有兩個(gè)為橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn),另外四個(gè)分別在第一、二、三、四象限,且上下對(duì)稱左右對(duì)稱, 設(shè)在第一象限,,當(dāng)時(shí),, 即,解得, 又因?yàn)?,所以? 當(dāng)時(shí),, 即且,解得:, 綜上或. 三、解答題 17.已知雙曲線的的離心率為,則 (1)求雙曲線的漸進(jìn)線方程. (2)當(dāng)時(shí),已知直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn),,且線段的中點(diǎn)在圓上,求的值. 【答案】(1);(2). 【解析】(1)由題意,得,, ∴,即, ∴所求雙曲線的漸進(jìn)線方程. (2)由(1)得當(dāng)時(shí),雙曲線的方程為. 設(shè),兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,,線段的中點(diǎn)為, 由,得(判別式), ∴,, ∵點(diǎn)在圓上,∴,∴. 18.已知橢圓的左焦點(diǎn)為,離心率. (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)已知直線交橢圓于,兩點(diǎn). ①若直線經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn),交軸于點(diǎn),且滿足,.求證:為定值; ②若,求面積的取值范圍. 【答案】(1);(2)①見解析,②. 【解析】(1)由題設(shè)知,,,所以,,, 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. (2)①由題設(shè)知直線斜率存在,設(shè)直線方程為,則. 設(shè),,直線代入橢圓得, 所以,,由,知 ,, . ②當(dāng)直線,分別與坐標(biāo)軸重合時(shí),易知. 當(dāng)直線,斜率存在且不為0時(shí),設(shè),, 設(shè),,直線代入橢圓得到, 所以,,同理, , 令,則, 因?yàn)?,所以,故,綜上.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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