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第Ⅰ篇 高考專題講練 思想篇
角度一 函數(shù)與方程思想
函數(shù)思想是指用函數(shù)的觀點(diǎn)、方法去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題.如求數(shù)列中的項(xiàng)或最值、求不等式中的參量、求解析幾何中距離或面積的最值等相關(guān)的非函數(shù)問題,都可利用函數(shù)思想,轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題.
方程思想是從問題的數(shù)量關(guān)系入手,運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為方程或方程組去分析問題和解決問題.如變量的取值范圍、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、數(shù)列中基本量等問題.
示例
解法關(guān)鍵
[2018全國(guó)卷Ⅲ] 設(shè)a=log0.20.3,b=log20.3,則 ( )
A.a+b
0,b<0,且0<1a+1b=a+bab=log0.30.4<1,可得ab0,函數(shù)f(x)=x2+2ax+a,x≤0,-x2+2ax-2a,x>0.若關(guān)于x的方程f(x)=ax恰有2個(gè)互異的實(shí)數(shù)解,則a的取值范圍是 .
根據(jù)x的范圍分段處理方程f(x)=ax,得到含a的關(guān)于x的方程,通過研究方程得出a的取值范圍,答案:(4,8)
[2016全國(guó)卷Ⅱ] 函數(shù)f(x)=cos2x+6cosπ2-x的最大值為 ( )
A.4 B.5
C.6 D.7
先將函數(shù)f(x)化為關(guān)于sinx的二次函數(shù),再用二次函數(shù)的性質(zhì)去解,答案選B
[2016全國(guó)卷Ⅲ] 已知a=243,b=425,c=2513,則 ( )
A.b0)的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F且傾斜角為π4的直線l與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),若以線段AB為直徑的圓過點(diǎn)-p2,2,則該拋物線的方程為 .
角度二 數(shù)形結(jié)合思想
數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法.數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)了數(shù)與形之間的溝通與轉(zhuǎn)化,它包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”兩個(gè)方面.數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形語(yǔ)言結(jié)合起來,即將代數(shù)問題幾何化、幾何問題代數(shù)化.
數(shù)形結(jié)合思想常用來解決函數(shù)零點(diǎn)、方程根與不等式問題,參數(shù)范圍問題,立體幾何模型研究代數(shù)問題,解析幾何中的斜率、截距、距離等模型問題.
示例
解法關(guān)鍵
[2018全國(guó)卷Ⅰ] 已知雙曲線C:x23-y2=1,O為坐標(biāo)原點(diǎn),F為C的右焦點(diǎn),過F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M,N.若△OMN為直角三角形,則|MN|= ( )
A.32 B.3
C.23 D.4
不妨設(shè)∠OMF=90,由漸近線方程及作圖可知,|OM|=|OF|cos30,|MN|=|OM|tan60,答案選B
[2018全國(guó)卷Ⅰ] 已知函數(shù)f(x)=ex,x≤0,lnx,x>0,g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是 ( )
A.[-1,0) B.[0,+∞)
C.[-1,+∞) D.[1,+∞)
g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于y=f(x)的圖像與直線y=-x-a有兩個(gè)交點(diǎn),作圖可得,答案選C
[2017全國(guó)卷Ⅱ] 設(shè)x,y滿足約束條件2x+3y-3≤0,2x-3y+3≥0,y+3≥0,則z=2x+y的最小值是 ( )
A.-15 B.-9 C.1 D.9
畫出約束條件表示的可行域,結(jié)合圖形求直線y=-2x+z在y軸上截距的最小值,答案選A
[2017全國(guó)卷Ⅲ] 設(shè)函數(shù)f(x)=x+1,x≤0,2x,x>0,則滿足f(x)+fx-12>1的x的取值范圍是 .
先寫出函數(shù)y=fx-12的表達(dá)式,原不等式可化為fx-12>1-f(x),畫出y=fx-12與y=1-f(x)的圖像,從圖像得解集,答案:-14,+∞
測(cè)題
1.設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組x2+y2≥1,0≤x≤1,0≤y≤1,則z=x+y取得最小值時(shí)的最優(yōu)解的個(gè)數(shù)是 ( )
A.1 B.2
C.3 D.無數(shù)個(gè)
2.當(dāng)x∈0,12時(shí),14x-logax<0恒成立,則a的取值范圍是 ( )
A.0,14 B.14,1
C.(1,4) D.(2,4)
3.拋物線y2=2ax(a>0)的焦點(diǎn)為F,其準(zhǔn)線與雙曲線y24-x29=1相交于M,N兩點(diǎn),若∠MFN=120,則a= ( )
A.21313 B.31313
C.22613 D.32613
4.已知函數(shù)f(x)=-x2-2x,x≤m,x-4,x>m,如果函數(shù)f(x)恰有兩個(gè)零點(diǎn),那么實(shí)數(shù)m的取值范圍為 .
5.已知集合A={x|-1≤x≤2,x∈Z},集合B={y|-2≤y≤2},集合C={(x,y)|x∈A,y∈B},從集合C中任取一點(diǎn)P(x0,y0),則x02+y02≤1的概率為 .
角度三 分類討論思想
分類討論思想就是將一個(gè)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題分解成若干個(gè)簡(jiǎn)單的基礎(chǔ)問題,通過對(duì)基礎(chǔ)問題的解答,解決原問題的思維策略.實(shí)質(zhì)上就是“化整為零,各個(gè)擊破,再積零為整”的策略,利用分類討論思想解題應(yīng)明白這樣幾點(diǎn):一是引起分類討論的原因;二是分類討論的原則,不重不漏,分類標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一;三是分類討論的步驟.
常見的分類討論問題有以下幾種:1.由概念引起的分類討論;2.由性質(zhì)、定理、公式的限制條件引起的分類討論;3.由數(shù)學(xué)運(yùn)算引起的分類討論;4.由圖形的不確定性引起的分類討論;5.由參數(shù)的變化引起的分類討論.
示例
解法關(guān)鍵
[2017全國(guó)卷Ⅰ] 設(shè)A,B是橢圓C:x23+y2m=1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).若C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB=120,則m的取值范圍是 ( )
A.(0,1]∪[9,+∞)
B.(0,3]∪[9,+∞)
C.(0,1]∪[4,+∞)
D.(0,3]∪[4,+∞)
分焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)在y軸上兩種情況討論求解,答案選A
[2017天津卷] 已知函數(shù)f(x)=x2-x+3,x≤1,x+2x,x>1. 設(shè)a∈R,若關(guān)于x的不等式f(x)≥x2+a在R上恒成立,則a的取值范圍是 ( )
A.-4716,2 B.-4716,3916
C.[-23,2] D.-23,3916
分x≤1,x>1兩種情況分別求參數(shù)a,答案選A
[2016全國(guó)卷Ⅲ] 在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,則V的最大值是 ( )
A.4π B.9π2
C.6π D.32π3
分球與三棱柱的三個(gè)側(cè)面相切和球與三棱柱的上、下兩個(gè)底面相切兩種情況進(jìn)行求解,答案選B
[2014全國(guó)卷Ⅰ] 設(shè)x,y滿足約束條件x+y≥a,x-y≤-1,且z=x+ay的最小值為7,則a= ( )
A.-5 B.3
C.-5或3 D.5或-3
分a>0和a≤0兩種情況討論求解,答案選B
測(cè)題
1.若函數(shù)f(x)=2x-1+1,x>1,1-12x-1,x<1,則f(x)+f(2-x)= ( )
A.-2 B.1
C.2 D.3
2.若偶函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0]上單調(diào)遞減,且f(3)=0,則不等式(x-1)f(x)>0的解集是 ( )
A.(-∞,-1)∪(1,+∞)
B.(-3,1)∪(3,+∞)
C.(-∞,-3)∪(3,+∞)
D.(-3,1]∪(3,+∞)
3.已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,a1=0,若an+1=[1+(-1)n]an+(-2)n,則S100= .
4.能夠說明“(m-1)x2+(3-m)y2=(m-1)(3-m)表示的曲線不是雙曲線”的一個(gè)m的值是 .
角度四 轉(zhuǎn)化與化歸思想
轉(zhuǎn)化與化歸思想是指在研究解決數(shù)學(xué)問題時(shí),采用某種手段將問題通過轉(zhuǎn)化,使問題得以解決的一種思維策略,其核心是把復(fù)雜的問題化歸為簡(jiǎn)單的問題,將較難的問題化歸為較容易求解的問題,將未能解決的問題化歸為已經(jīng)解決的問題.
常見的轉(zhuǎn)化與化歸思想應(yīng)用具體表現(xiàn)在:將抽象函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為具體函數(shù)問題,立體幾何和解析幾何中一般性點(diǎn)或圖形問題轉(zhuǎn)化為特殊點(diǎn)或特殊圖形,“至少…”或“是否存在”等正向思維轉(zhuǎn)化為逆向思維,空間與平面的轉(zhuǎn)化,相等問題與不等問題的轉(zhuǎn)化等.
示例
解法關(guān)鍵
[2018北京卷] 在平面直角坐標(biāo)系中,記d為點(diǎn)P(cosθ,sinθ)到直線x-my-2=0的距離.當(dāng)θ,m變化時(shí),d的最大值為 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
P為單位圓上一點(diǎn),原問題轉(zhuǎn)化為圓心(定點(diǎn))到直線的距離,而直線過定點(diǎn),這樣進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為圓心與直線所過定點(diǎn)的距離問題,答案選C
[2018全國(guó)卷Ⅰ] 已知函數(shù)f(x)=2sinx+sin2x,則f(x)的最小值是 .
利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與導(dǎo)數(shù)為0著手進(jìn)行求解,答案:-332
[2017全國(guó)卷Ⅰ] 設(shè)A,B是橢圓C:x23+y2m=1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).若C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB=120,則m的取值范圍是 ( )
A.(0,1]∪[9,+∞)B.(0,3]∪[9,+∞)
C.(0,1]∪[4,+∞)D.(0,3]∪[4,+∞)
將橢圓上的點(diǎn)M轉(zhuǎn)化為短軸的一個(gè)端點(diǎn)去處理,答案選A
[2017全國(guó)卷Ⅱ] 已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),f(x)=2x3+x2,則f(2)= .
根據(jù)函數(shù)的性質(zhì),把f(2)中的自變量轉(zhuǎn)化為小于零時(shí)去解,答案:12
測(cè)題
1.已知P為拋物線C:y2=8x上一點(diǎn),直線l1:x=-2,l2:3x-5y+30=0,則P到這兩條直線的距離之和的最小值為 ( )
A.2 B.234
C.161534 D.181734
2.若關(guān)于x的不等式2x+1-2-x-a>0的解集包含區(qū)間(0,1),則a的取值范圍為 ( )
A.-∞,72 B.(-∞,1)
C.-∞,72 D.(-∞,1]
3.函數(shù)f(x)=(log2x)2-x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
4.已知平面向量OA,OB,OC滿足|OA|=|OB|=|OC|=1,OAOB=12.若OC=xOA+yOB(x,y∈R),則x+y的最大值是 ( )
A.1 B.33
C.2 D.233
角度一
1.A [解析] 由已知得x,y,z為正實(shí)數(shù),設(shè)k=log2x=log3y=log5z<0,則x2=2k-1,y3=3k-1,z5=5k-1,由1-k>0,可得2x=21-k>1,3y=31-k>1,5z=51-k>1,∵函數(shù)f(x)=x1-k 在(0,+∞)上單調(diào)遞增,∴2x<3y<5z.
2.D [解析] 以C為原點(diǎn),CB為x軸的正半軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則B(3,0).設(shè)D(t,3t)0≤t≤32,則BDBC=(t-3,3t)(-3,0)=9-3t≥9-332=92,即BDBC的最小值為92,故選D.
3.A [解析]BDCD=(BC+CD)CD=BCCD+14.設(shè)BC=x,∠BCD=θ,則BDCD=-x2cos θ+14=-x2+14,x∈(0,2),易得BDCD的取值范圍為-34,14,故選A.
4.y2=4x [解析] 以線段AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切,又以線段AB為直徑的圓過點(diǎn)
-p2,2,可知AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2.設(shè)直線l的方程為y=x-p2,則由y=x-p2,y2=2px,可得y2-2py-p2=0,則AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2p2=2,解得p=2,則該拋物線的方程為y2=4x.
角度二
1.B [解析] 畫出不等式組表示的可行域,如圖中陰影部分所示.由圖可知,目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A(0,1),B(1,0)處取得最小值.故選B.
2.B [解析] 當(dāng)01時(shí),2-x<1,f(x)+f(2-x)=2x-1+1+1-122-x-1=2.同理可得,當(dāng)x<1時(shí),f(x)+f(2-x)=2,
∴f(x)+f(2-x)=2.
2.B [解析] 偶函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0]上單調(diào)遞減,則其在[0,+∞)上為增函數(shù),又由f(3)=0,得f(-3)=0,則當(dāng)x<-3或x>3時(shí),f(x)>0;當(dāng)-33時(shí),若(x-1)f(x)>0,則x-1>0,解得x>3;當(dāng)-30,則x-1<0,解得-30的解集是(-3,1)∪(3,+∞).故選B.
3.2-21013 [解析] 由an+1=[1+(-1)n]an+(-2)n(n∈N*)得,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),有an+1=(-2)n,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),有an+1=2an+2n,所以數(shù)列{an}的所有偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以-2為首項(xiàng),以4為公比的等比數(shù)列,所以S100=(a1+a3+a5+…+a99)+(a2+a4+a6+…+a100)=2(a2+a4+a6+…+a98)+(22+24+26+…+298)+(a2+a4+a6+…+a100)=3(a2+a4+a6+…+a100)-2a100+(22+24+26+…+298)=3-2(1-450)1-4-2(-2)99+4(1-449)1-4=2-21013.
4.2(1≤m≤3即可) [解析](m-1)x2+(3-m)y2=(m-1)(3-m)中,當(dāng)m=1或3時(shí),表示的曲線不是雙曲線;當(dāng)m≠1且m≠3時(shí),原式可化為x23-m+y2m-1=1,若表示的曲線為雙曲線,則(3-m)(m-1)<0,解得m<1或m>3.綜上可知,當(dāng)m<1或m>3時(shí),曲線是雙曲線,當(dāng)1≤m≤3時(shí),曲線不是雙曲線.
角度四
1.D [解析] 由題意得,拋物線C:y2=8x的準(zhǔn)線為l1:x=-2,焦點(diǎn)為F(2,0).過點(diǎn)P作PM⊥l1于M,由拋物線的定義可得|PM|=|PF|.設(shè)點(diǎn)P到直線l2的距離為d,則d+|PM|=d+|PF|.結(jié)合圖形可得,點(diǎn)P到直線l1,l2的距離之和的最小值即為拋物線的焦點(diǎn)到l2的距離,即為|32+30|32+52=183417.故選D.
2.D [解析] 原不等式等價(jià)于a<2x+1-12xmin,x∈(0,1),易知函數(shù)y=2x+1-12x在區(qū)間(0,1)上為增函數(shù),當(dāng)x=0時(shí),y=1,故a≤1.故選D.
3.C [解析] 函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為方程(log2x)2-x=0,即(log2x)2=x的解的個(gè)數(shù),從而可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=(log2x)2的圖像與直線y=x的交點(diǎn)的個(gè)數(shù).在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=(log2x)2的圖像以及直線y=x,可以發(fā)現(xiàn)兩條曲線有3個(gè)交點(diǎn),從而可知函數(shù)f(x)的零點(diǎn)有3個(gè),故選C.
4.D [解析] 由|OC|=1可設(shè)C(cos θ,sin θ),O(0,0).又由OAOB=12,|OA|=|OB|=1,可設(shè)A(1,0),
B12,32.由已知可得cos θ=x+y2,sin θ=32y,即得y=2sinθ3,x=cos θ-sinθ3,則x+y=cos θ+sinθ3=23sinθ+π3,所以x+y的最大值是233,故選D.
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