2020版高中數(shù)學(xué) 第四章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 1.2 函數(shù)的極值學(xué)案（含解析）北師大版選修1 -1.docx

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1．2　函數(shù)的極值 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解函數(shù)極值的概念，會從幾何方面直觀理解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.2.掌握函數(shù)極值的判定及求法．3．掌握函數(shù)在某一點取得極值的條件． 知識點一　函數(shù)的極值點與極值的概念 1.如圖1，在包含x0的一個區(qū)間(a，b)內(nèi)，函數(shù)y＝f(x)在任何一點的函數(shù)值都小于或等于x0點的函數(shù)值，稱點x0為函數(shù)y＝f(x)的極大值點，其函數(shù)值f(x0)為函數(shù)的極大值． 2．如圖2，在包含x0的一個區(qū)間(a，b)內(nèi)，函數(shù)y＝f(x)在任何一點的函數(shù)值都大于或等于x0點的函數(shù)值，稱點x0為函數(shù)y＝f(x)的極小值點，其函數(shù)值f(x0)為函數(shù)的極小值． 3．極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點． 知識點二　函數(shù)極值的判定 1．單調(diào)性判別： (1)如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，x0)上是增加的，在區(qū)間(x0，b)上是減少的，則x0是極大值點，f(x0)是極大值． (2)如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，x0)上是減少的，在區(qū)間(x0，b)上是增加的，則x0是極小值點，f(x0)是極小值． 2．圖表判別： (1)極大值的判定： x (a，x0) x0 (x0，b) f′(x) ＋ 0 － y＝f(x) 增加↗ 極大值 減少↘ (2)極小值的判定： x (a，x0) x0 (x0，b) f′(x) － 0 ＋ y＝f(x) 減少↘ 極小值 增加↗ 知識點三　求函數(shù)y＝f(x)的極值的步驟 1．求出導(dǎo)數(shù)f′(x)． 2．解方程f′(x)＝0. 3．對于方程f′(x)＝0的每一個解x0，分析f′(x)在x0左、右兩側(cè)的符號(即f(x)的單調(diào)性)，確定極值點： (1)若f′(x)在x0兩側(cè)的符號為“左正右負(fù)”，則x0為極大值點； (2)若f′(x)在x0兩側(cè)的符號為“左負(fù)右正”，則x0為極小值點； (3)若f′(x)在x0兩側(cè)的符號相同，則x0不是極值點． 1．導(dǎo)數(shù)值為0的點一定是函數(shù)的極值點．(　　) 2．在可導(dǎo)函數(shù)的極值點處，切線與x軸平行．(　　) 3．函數(shù)f(x)＝無極值．(　√　) 4．定義在[a，b]上的連續(xù)函數(shù)f(x)若有極值f(x0)，則x0∈(a，b)．(　√　) 5．函數(shù)的極值點一定是其導(dǎo)函數(shù)的變號零點．(　√　) 題型一　求函數(shù)的極值 例1　求下列函數(shù)的極值． (1)f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1； (2)f(x)＝x2－2lnx. 考點　函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 題點　不含參數(shù)的函數(shù)求極值問題 解　(1)函數(shù)f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1的定義域為R， f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)， 解方程6(x＋2)(x－1)＝0，得x1＝－2，x2＝1. 當(dāng)x變化時，f′(x)與f(x)的變化情況如下表： x (－∞，－2) －2 (－2,1) 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 極大值21 ↘ 極小值－6 ↗ 所以當(dāng)x＝－2時，f(x)取極大值21； 當(dāng)x＝1時，f(x)取極小值－6. (2)函數(shù)f(x)＝x2－2lnx的定義域為(0，＋∞)， f′(x)＝2x－＝， 解方程＝0， 得x1＝1，x2＝－1(舍去)． 當(dāng)x變化時，f′(x)與f(x)的變化情況如下表： x (0,1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) ↘ 極小值1 ↗ 因此當(dāng)x＝1時，f(x)有極小值1，無極大值． 反思感悟　求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟 (1)確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)數(shù)f′(x)． (2)求f(x)的拐點，即求方程f′(x)＝0的根． (3)利用f′(x)與f(x)隨x的變化情況表，根據(jù)極值點左右兩側(cè)單調(diào)性的變化情況求極值． 特別提醒：在判斷f′(x)的符號時，借助圖像也可判斷f′(x)各因式的符號，還可用特殊值法判斷． 跟蹤訓(xùn)練1　已知函數(shù)f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y＝4x＋4. (1)求a，b的值； (2)討論f(x)的單調(diào)性，并求f(x)的極大值． 考點　函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 題點　不含參數(shù)的函數(shù)求極值問題 解　(1)f′(x)＝ex(ax＋b)＋aex－2x－4 ＝ex(ax＋a＋b)－2x－4， f′(0)＝a＋b－4＝4，① 又f(0)＝b＝4，② 由①②可得a＝b＝4. (2)f(x)＝ex(4x＋4)－x2－4x， 則f′(x)＝ex(4x＋8)－2x－4 ＝4ex(x＋2)－2(x＋2) ＝(x＋2)(4ex－2)． 令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝－ln2， 當(dāng)x變化時，f′(x)與f(x)的變化情況如下表： x (－∞，－2) －2 (－2，－ln2) －ln2 (－ln2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ f(x)在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上是增加的， 在(－2，－ln2)上是減少的． 當(dāng)x＝－2時，函數(shù)f(x)取得極大值， 極大值為f(－2)＝4(1－e－2)． 題型二　已知函數(shù)極值(或極值點)求參數(shù) 例2　設(shè)x＝1與x＝2是函數(shù)f(x)＝alnx＋bx2＋x的兩個極值點． (1)試確定常數(shù)a和b的值； (2)判斷x＝1，x＝2是函數(shù)f(x)的極大值點還是極小值點，并說明理由． 解　(1)∵f(x)＝alnx＋bx2＋x， ∴f′(x)＝＋2bx＋1. 由題意可知f′(1)＝f′(2)＝0， ∴ 解方程組得a＝－，b＝－， 經(jīng)驗證，當(dāng)a＝－，b＝－時，x＝1與x＝2是函數(shù)f(x)的兩個極值點． ∴f(x)＝－lnx－x2＋x. (2)x＝1，x＝2分別是函數(shù)f(x)的極小值點，極大值點． 理由如下： f′(x)＝－x－1－x＋1 ＝－－x＋1＝－＝－. 又∵f(x)的定義域為(0，＋∞)， ∴當(dāng)x∈(0,1)時，f′(x)<0；當(dāng)x∈(1,2)時，f′(x)>0；當(dāng)x∈(2，＋∞)時，f′(x)<0，故在x＝1處函數(shù)f(x)取得極小值，在x＝2處函數(shù)取得極大值，故x＝1為極小值點，x＝2為極大值點． 反思感悟　已知函數(shù)極值情況，逆向應(yīng)用確定函數(shù)的解析式時，注意兩點 (1)根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為0和極值兩個條件列方程組． (2)因為導(dǎo)數(shù)值等于零不是此點為極值點的充要條件，所以求解后必須驗證根的合理性． 跟蹤訓(xùn)練2　(1)已知函數(shù)f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1處有極值0，則a＝________，b＝________. (2)若函數(shù)f(x)＝x3－x2＋ax－1有極值點，則a的取值范圍為________． 考點　根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)值 題點　已知極值求參數(shù) 答案　(1)2　9　(2)(－∞，1) 解析　(1)∵f′(x)＝3x2＋6ax＋b，且函數(shù)f(x)在x＝－1處有極值0， ∴即 解得或 當(dāng)a＝1，b＝3時，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，此時函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，無極值，故舍去． 當(dāng)a＝2，b＝9時，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)． 當(dāng)x∈(－∞，－3)時，f′(x)>0，此時f(x)是增加的； 當(dāng)x∈(－3，－1)時，f′(x)<0，此時f(x)是減少的； 當(dāng)x∈(－1，＋∞)時，f′(x)>0，此時f(x)是增加的． 故f(x)在x＝－1處取得極小值，∴a＝2，b＝9. (2)∵f′(x)＝x2－2x＋a， 由題意得方程x2－2x＋a＝0有兩個不同的實數(shù)根， ∴Δ＝4－4a>0，解得a<1. 題型三　函數(shù)極值的綜合應(yīng)用 例3　已知函數(shù)f(x)＝x3－3ax－1(a≠0)．若函數(shù)f(x)在x＝－1處取得極值，直線y＝m與y＝f(x)的圖像有三個不同的交點，求m的取值范圍． 考點　函數(shù)極值的應(yīng)用 題點　函數(shù)的零點與方程的根 解　因為f(x)在x＝－1處取得極值且f′(x)＝3x2－3a， 所以f′(－1)＝3(－1)2－3a＝0，所以a＝1， 所以f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3， 由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1. 當(dāng)x<－1時，f′(x)>0； 當(dāng)－11時，f′(x)>0. 所以由f(x)的單調(diào)性可知， f(x)在x＝－1處取得極大值f(－1)＝1， 在x＝1處取得極小值f(1)＝－3. 作出f(x)的大致圖像如圖所示． 因為直線y＝m與函數(shù)y＝f(x)的圖像有三個不同的交點，結(jié)合f(x)的圖像可知，m的取值范圍是(－3,1)． 引申探究 若本例“三個不同的交點”改為“兩個不同的交點”結(jié)果如何？改為“一個交點”呢？ 解　由本例解析可知當(dāng)m＝－3或m＝1時，直線y＝m與y＝f(x)的圖像有兩個不同的交點；當(dāng)m<－3或m>1時，直線y＝m與y＝f(x)的圖像只有一個交點． 反思感悟　利用導(dǎo)數(shù)可以判斷函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的極值情況，并能在此基礎(chǔ)上畫出函數(shù)的大致圖像，從直觀上判斷函數(shù)圖像與x軸的交點或兩個函數(shù)圖像的交點的個數(shù)，從而為研究方程根的個數(shù)問題提供了方便． 跟蹤訓(xùn)練3　已知函數(shù)f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，若函數(shù)y＝f(x)的圖像與y＝f′(x)＋5x＋m的圖像有三個不同的交點，求實數(shù)m的取值范圍． 考點　函數(shù)極值的應(yīng)用 題點　函數(shù)的零點與方程的根 解　由f(x)＝x3－6x2＋9x＋3， 可得f′(x)＝3x2－12x＋9， ∴f′(x)＋5x＋m＝(3x2－12x＋9)＋5x＋m ＝x2＋x＋3＋m， 則由題意可得x3－6x2＋9x＋3＝x2＋x＋3＋m有三個不相等的實根，即g(x)＝x3－7x2＋8x－m的圖像與x軸有三個不同的交點． ∵g′(x)＝3x2－14x＋8＝(3x－2)(x－4)， ∴令g′(x)＝0，得x＝或x＝4. 當(dāng)x變化時，g(x)，g′(x)的變化情況如下表： x 4 (4，＋∞) g′(x) ＋ 0 － 0 ＋ g(x) ↗ －m ↘ －16－m ↗ 則函數(shù)g(x)的極大值為g＝－m，極小值為g(4)＝－16－m. ∴由y＝f(x)的圖像與y＝f′(x)＋5x＋m的圖像有三個不同的交點， 得解得－160)的圖像有兩個不同的交點，則a>0. 設(shè)函數(shù)y＝lnx＋1上任一點(x0,1＋lnx0)處的切線為l， 則切線斜率kl＝， 當(dāng)l過坐標(biāo)原點時，＝，解得x0＝1， 則kl＝1，令2a＝1，得a＝， 結(jié)合圖像知0 B．a(chǎn)≥ C．a(chǎn)<且a≠0 D．a(chǎn)≤且a≠0 考點　函數(shù)極值的應(yīng)用 題點　極值存在性問題 答案　C 解析　f′(x)＝3ax2－2x＋1，令f′(x)＝0， 即3ax2－2x＋1＝0有兩個不等實根， 則得a<且a≠0. 3．已知a為函數(shù)f(x)＝x3－12x的極小值點，則a等于(　　) A．－4B．－2C．4D．2 考點　函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 題點　不含參數(shù)的函數(shù)求極值(點) 答案　D 解析　∵f(x)＝x3－12x，∴f′(x)＝3x2－12， 令f′(x)＝0，則x1＝－2，x2＝2. 當(dāng)x∈(－∞，－2)，(2，＋∞)時，f′(x)>0，則f(x)是增加的； 當(dāng)x∈(－2,2)時，f′(x)<0，則f(x)是減少的， ∴f(x)的極小值點為a＝2. 4．設(shè)函數(shù)f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.若f(x)的兩個極值點為x1，x2，且x1x2＝1，則實數(shù)a的值為________． 答案　9 解析　f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a. 由已知f′(x1)＝f′(x2)＝0，從而x1x2＝＝1， 所以a＝9. 5．已知曲線f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1在點(1，f(1))處的切線斜率為3，且x＝是y＝f(x)的極值點，則a＋b＝________. 考點　根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)值 題點　已知極值求參數(shù) 答案?。? 解析　因為f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 由題意知 即 解得則a＋b＝－2. 1．在極值的定義中，取得極值的點稱為極值點，極值點指的是自變量的值，極值指的是函數(shù)值． 2．函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì)．可導(dǎo)函數(shù)f(x)在點x＝x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0且在x＝x0兩側(cè)f′(x)符號相反． 3．利用函數(shù)的極值可以確定參數(shù)的值，解決一些方程的解和圖像的交點問題． 一、選擇題 1．“函數(shù)y＝f(x)在一點的導(dǎo)數(shù)值為0”是“函數(shù)y＝f(x)在這點取得極值”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件 考點　函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 題點　判定函數(shù)的極值點 答案　B 解析　對于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0， 不能推出f(x)在x＝0處取極值，反之成立．故選B. 2.如圖為y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖像，則下列判斷正確的是(　　) ①f(x)在(－3,1)上為增加的； ②x＝－1是f(x)的極小值點； ③f(x)在(2,4)上為減少的，在(－1,2)上為增加的； ④x＝2是f(x)的極小值點． A．①②③ B．②③ C．③④ D．①③④ 考點　函數(shù)極值的應(yīng)用 題點　函數(shù)極值在圖像上的應(yīng)用 答案　B 解析　當(dāng)x∈(－3，－1)時，f′(x)<0； 當(dāng)x∈(－1,2)時，f′(x)>0， ∴f(x)在(－3，－1)上為減少的，在(－1,2)上為增加的， ∴①不對； x＝－1是f(x)的極小值點； 當(dāng)x∈(2,4)時，f′(x)<0，f(x)是減少的； x＝2是f(x)的極大值點．故②③正確． 3．函數(shù)f(x)＝x2－lnx的極值點為(　　) A．0,1，－1 B．－ C. D.，－ 考點　函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 題點　不含參數(shù)的函數(shù)求極值問題 答案　C 解析　由已知，得f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝3x－＝，令f′(x)＝0，得x＝.當(dāng)x>時，f′(x)>0；當(dāng)00，解得x>3或x<2，所以函數(shù)的一個遞增區(qū)間是(3，＋∞)． 5．若函數(shù)f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)的極大值為6，極小值為2，則f(x)的遞減區(qū)間為(　　) A．(－1,1) B．(－∞，－1) C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)和(1，＋∞) 考點　根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)值 題點　已知極值求參數(shù) 答案　A 解析　令f′(x)＝3x2－3a＝0，得x＝， 令f′(x)>0，得x>或x<－； 令f′(x)<0，得－0)的極大值為6，極小值為2，∴f()＝2，f(－)＝6， 即a－3a＋b＝2且－a＋3a＋b＝6， 得a＝1，b＝4， 則f′(x)＝3x2－3，由f′(x)<0，得－10，即f′(x)<0； 當(dāng)－33時，f′(x)<0. ∴f(x)的極大值是f(3)，極小值是f(－3)． 7．已知e為自然對數(shù)的底數(shù)，設(shè)函數(shù)f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，則(　　) A．當(dāng)k＝1時，f(x)在x＝1處取到極小值 B．當(dāng)k＝1時，f(x)在x＝1處取到極大值 C．當(dāng)k＝2時，f(x)在x＝1處取到極小值 D．當(dāng)k＝2時，f(x)在x＝1處取到極大值 考點　函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 題點　判別極值點與極值 答案　C 解析　當(dāng)k＝1時，f′(x)＝exx－1，f′(1)≠0， ∴x＝1不是f(x)的極值點． 當(dāng)k＝2時，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)， 顯然f′(1)＝0，且x在1的左邊附近f′(x)<0， x在1的右邊附近f′(x)>0， ∴f(x)在x＝1處取到極小值．故選C. 8．已知a∈R，且函數(shù)y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的極值點，則(　　) A．a(chǎn)＜－1 B．a(chǎn)＞－1 C．a(chǎn)＜－ D．a(chǎn)＞－ 考點　函數(shù)極值的應(yīng)用 題點　極值存在性問題 答案　A 解析　因為y＝ex＋ax，所以y′＝ex＋a. 令y′＝0，即ex＋a＝0，則ex＝－a，即x＝ln(－a)， 又因為x＞0，所以－a＞1，即a＜－1. 二、填空題 9．函數(shù)y＝xex在其極值點處的切線方程為________． 考點　函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 題點　不含參數(shù)的函數(shù)求極值 答案　y＝－ 解析　令y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex＝0， 得x＝－1，∴y＝－， ∴函數(shù)y＝xex在極值點處的切線方程為y＝－. 10.已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋2，其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖像如圖所示，則函數(shù)的極小值是________． 考點　函數(shù)極值的應(yīng)用 題點　函數(shù)極值在函數(shù)圖像上的應(yīng)用 答案　2 解析　由圖像可知，當(dāng)x<0時，f′(x)<0， 當(dāng)00， 故當(dāng)x＝0時，函數(shù)f(x)取極小值f(0)＝2. 11．若直線y＝a與函數(shù)f(x)＝x3－3x的圖像有三個相異的公共點，則a的取值范圍是________． 考點　函數(shù)極值的應(yīng)用 題點　函數(shù)的零點與方程的根 答案　(－2,2) 解析　令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝1，可得f(x)的極大值為f(－1)＝2，極小值為f(1)＝－2，所以當(dāng)－20， x取足夠小的負(fù)數(shù)時，有f(x)<0， ∴曲線y＝f(x)與x軸至少有一個交點． 由(1)知f(x)極大值＝f＝＋a， f(x)極小值＝f(1)＝a－1. ∵曲線y＝f(x)與x軸僅有一個交點， ∴f(x)極大值<0或f(x)極小值>0， 即＋a<0或a－1>0， ∴a<－或a>1， ∴當(dāng)a∈∪(1，＋∞)時， 曲線y＝f(x)與x軸僅有一個交點． 14．函數(shù)f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的極大值是正數(shù)，極小值是負(fù)數(shù)，則a的取值范圍是________． 答案　 解析　f′(x)＝3x2－3a2＝3(x＋a)(x－a)， 由f′(x)＝0得x＝a， 當(dāng)－aa或x<－a時，f′(x)>0，函數(shù)是增加的， ∴f(x)的極大值為f(－a)，極小值為f(a)． ∴f(－a)＝－a3＋3a3＋a>0且f(a)＝a3－3a3＋a<0， 解得a>. ∴a的取值范圍是. 15．已知函數(shù)f(x)＝x2－2lnx，h(x)＝x2－x＋a. (1)求函數(shù)f(x)的極值； (2)設(shè)函數(shù)k(x)＝f(x)－h(huán)(x)，若函數(shù)k(x)在[1,3]上恰有兩個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍． 考點　函數(shù)極值的應(yīng)用 題點　函數(shù)的零點與方程的根 解　(1)f(x)的定義域是(0，＋∞)． 令f′(x)＝2x－＝0，得x＝1. 當(dāng)x∈(0,1)時，f′(x)<0，f(x)是減少的； 當(dāng)x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)是增加的， 所以f(x)在x＝1處取得極小值，又f(1)＝1， 所以f(x)的極小值為1，無極大值． (2)k(x)＝f(x)－h(huán)(x)＝x－2lnx－a(x>0)， 所以k′(x)＝1－，令k′(x)>0，得x>2， 令k′(x)<0，得0

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2020版高中數(shù)學(xué) 第四章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 1.2 函數(shù)的極值學(xué)案含解析北師大版選修1 -1 2020 高中數(shù)學(xué) 第四 導(dǎo)數(shù) 應(yīng)用 函數(shù) 極值 解析 北師大 選修

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