2016年貴州省黔東南州中考數(shù)學試卷(解析版)

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1、2016年貴州省黔東南州中考數(shù)學試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（每個小題4分，10個小題共40分） 1．﹣2的相反數(shù)是（　?。? A．2 B．﹣2 C． D．﹣ 【考點】相反數(shù)． 【分析】根據(jù)相反數(shù)的意義，只有符號不同的數(shù)為相反數(shù)． 【解答】解：根據(jù)相反數(shù)的定義，﹣2的相反數(shù)是2． 故選：A． 　 2．如圖，直線a∥b，若∠1=40，∠2=55，則∠3等于（　?。? A．85 B．95 C．105 D．115 【考點】平行線的性質． 【分析】根據(jù)平行線的性質得出∠4=∠3，然后根據(jù)三角形外角的性質即可求得∠3的度數(shù)． 【解答】解：∵直線a∥b， ∴∠4

2、=∠3， ∵∠1+∠2=∠4， ∴∠3=∠1+∠2=95． 故選B． 　 3．已知一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的兩根分別為m、n，則m+n的值為（　?。? A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【考點】根與系數(shù)的關系． 【分析】根據(jù)一元二次方程的系數(shù)結合根與系數(shù)的關系即可得出m+n的值，由此即可得出結論． 【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣1=0的兩根分別為m、n， ∴m+n=﹣=2． 故選D． 　 4．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，若AB=2，∠ABC=60，則BD的長為（　?。? A．2 B．3 C． D．2 【考點】菱形的性質． 【分

3、析】首先根據(jù)菱形的性質知AC垂直平分BD，再證出△ABC是正三角形，由三角函數(shù)求出BO，即可求出BD的長． 【解答】解：∵四邊形ABCD菱形， ∴AC⊥BD，BD=2BO， ∵∠ABC=60， ∴△ABC是正三角形， ∴∠BAO=60， ∴BO=sin60?AB=2=， ∴BD=2． 故選：D． 　 5．小明在某商店購買商品A、B共兩次，這兩次購買商品A、B的數(shù)量和費用如表： 購買商品A的數(shù)量（個） 購買商品B的數(shù)量（個） 購買總費用（元） 第一次購物 4 3 93 第二次購物 6 6 162 若小麗需要購買3個商品A和2個商品B，則她要花費

4、（　?。? A．64元 B．65元 C．66元 D．67元 【考點】二元一次方程組的應用． 【分析】設商品A的標價為x元，商品B的標價為y元，由題意得等量關系：①4個A的花費+3個B的花費=93元；②6個A的花費+6個B的花費=162元，根據(jù)等量關系列出方程組，再解即可． 【解答】解：設商品A的標價為x元，商品B的標價為y元， 根據(jù)題意，得， 解得：． 答：商品A的標價為12元，商品B的標價為15元； 所以312+215=66元， 故選C 　 6．已知一次函數(shù)y1=ax+c和反比例函數(shù)y2=的圖象如圖所示，則二次函數(shù)y3=ax2+bx+c的大致圖象是（　?。? A． B

5、． C． D． 【考點】反比例函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的圖象；二次函數(shù)的圖象． 【分析】根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象找出a、b、c的正負，再根據(jù)拋物線的對稱軸為x=﹣，找出二次函數(shù)對稱軸在y軸左側，比對四個選項的函數(shù)圖象即可得出結論． 【解答】解：∵一次函數(shù)y1=ax+c圖象過第一、二、四象限， ∴a＜0，c＞0， ∴二次函數(shù)y3=ax2+bx+c開口向下，與y軸交點在x軸上方； ∵反比例函數(shù)y2=的圖象在第二、四象限， ∴b＜0， ∴﹣＜0， ∴二次函數(shù)y3=ax2+bx+c對稱軸在y軸左側． 滿足上述條件的函數(shù)圖象只有B選項． 故選B． 　 7．不等式組的整數(shù)解有三個

6、，則a的取值范圍是（　?。? A．﹣1≤a＜0 B．﹣1＜a≤0 C．﹣1≤a≤0 D．﹣1＜a＜0 【考點】一元一次不等式組的整數(shù)解． 【分析】根據(jù)不等式組的整數(shù)解有三個，確定出a的范圍即可． 【解答】解：不等式組的解集為a＜x＜3， 由不等式組的整數(shù)解有三個，即x=0，1，2，得到﹣1≤a＜0， 故選A 　 8．2002年8月在北京召開的國際數(shù)學家大會會徽取材于我國古代數(shù)學家趙爽的弦圖，它是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的大正方形，如圖所示，如果大正方形的面積是13，小正方形的面積為1，直角三角形的較短直角邊長為a，較長直角邊長為b，那么（a+b）2的值為（　?。?/p>

7、 A．13 B．19 C．25 D．169 【考點】勾股定理的證明． 【分析】根據(jù)題意，結合圖形求出ab與a2+b2的值，原式利用完全平方公式化簡后代入計算即可求出值． 【解答】解：根據(jù)題意得：c2=a2+b2=13，4ab=13﹣1=12，即2ab=12， 則（a+b）2=a2+2ab+b2=13+12=25， 故選C 　 9．將一個棱長為1的正方體水平放于桌面（始終保持正方體的一個面落在桌面上），則該正方體正視圖面積的最大值為（　　） A．2 B． +1 C． D．1 【考點】簡單幾何體的三視圖． 【分析】先求得正方體的一個面的上的對角線的長度，然后可求得正方體視

8、圖面積的最大值． 【解答】解：正方體正視圖為正方形或矩形． ∵正方體的棱長為1， ∴邊長為1． ∴每個面的對角線的長為=． ∴正方體的正視圖（矩形）的長的最大值為． ∵始終保持正方體的一個面落在桌面上， ∴正視圖（矩形）的寬為1． ∴最大值面積=1=． 故選：C． 　 10．如圖，在等腰直角△ABC中，∠C=90，點O是AB的中點，且AB=，將一塊直角三角板的直角頂點放在點O處，始終保持該直角三角板的兩直角邊分別與AC、BC相交，交點分別為D、E，則CD+CE=（　?。? A． B． C．2 D． 【考點】全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形． 【分析】連接OC

9、構建全等三角形，證明△ODC≌△OEB，得DC=BE；把CD+CE轉化到同一條線段上，即求BC的長；通過等腰直角△ABC中斜邊AB的長就可以求出BC=，則CD+CE=AB=． 【解答】解：連接OC， ∵等腰直角△ABC中，AB=， ∴∠B=45， ∴cos∠B=， ∴BC=cos45==， ∵點O是AB的中點， ∴OC=AB=OB，OC⊥AB， ∴∠COB=90， ∵∠DOC+∠COE=90，∠COE+∠EOB=90， ∴∠DOC=∠EOB， 同理得∠ACO=∠B， ∴△ODC≌△OEB， ∴DC=BE， ∴CD+CE=BE+CE=BC=， 故選B． 　

10、二、填空題（每個小題4分，6個小題共24分） 11．tan60=　?。? 【考點】特殊角的三角函數(shù)值． 【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值直接得出答案即可． 【解答】解：tan60的值為． 故答案為：． 　 12．分解因式：x3﹣x2﹣20x=　x（x+4）（x﹣5）?。? 【考點】因式分解-十字相乘法等；因式分解-提公因式法． 【分析】先提取公因式，再利用十字相乘法把原式因式分解即可． 【解答】解：原式=x（x2﹣x﹣20） =x（x+4）（x﹣5）． 故答案為：x（x+4）（x﹣5）． 　 13．在一個不透明的箱子中裝有4件同型號的產(chǎn)品，其中合格品3件、不合格品1件，現(xiàn)

11、在從這4件產(chǎn)品中隨機抽取2件檢測，則抽到的都是合格品的概率是　?。? 【考點】列表法與樹狀圖法． 【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與抽到的都是合格品的情況，再利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：畫樹狀圖得： ∵共有12種等可能的結果，抽到的都是合格品的有6種情況， ∴抽到的都是合格品的概率是： =． 故答案為：． 　 14．如圖，在△ACB中，∠BAC=50，AC=2，AB=3，現(xiàn)將△ACB繞點A逆時針旋轉50得到△AC1B1，則陰影部分的面積為　π?。? 【考點】旋轉的性質． 【分析】根據(jù)旋轉的性質可知，由此可得S陰影=，根據(jù)扇

12、形面積公式即可得出結論． 【解答】解：∵， ∴S陰影==πAB2=π． 故答案為：π． 　 15．如圖，點A是反比例函數(shù)y1=（x＞0）圖象上一點，過點A作x軸的平行線，交反比例函數(shù)y2=（x＞0）的圖象于點B，連接OA、OB，若△OAB的面積為2，則k的值為　5?。? 【考點】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義． 【分析】延長BA，與y軸交于點C，由AB與x軸平行，得到BC垂直于y軸，利用反比例函數(shù)k的幾何意義表示出三角形AOC與三角形BOC面積，由三角形BOC面積減去三角形AOC面積表示出三角形AOB面積，將已知三角形AOB面積代入求出k的值即可． 【解答】解：延長BA，與y軸交

13、于點C， ∵AB∥x軸， ∴BC⊥y軸， ∵A是反比例函數(shù)y1=（x＞0）圖象上一點，B為反比例函數(shù)y2=（x＞0）的圖象上的點， ∴S△AOC=，S△BOC=， ∵S△AOB=2，即﹣=2， 解得：k=5， 故答案為：5 　 16．如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸和y軸上，OC=3，OA=2，D是BC的中點，將△OCD沿直線OD折疊后得到△OGD，延長OG交AB于點E，連接DE，則點G的坐標為?。?，）?。? 【考點】翻折變換（折疊問題）；坐標與圖形性質；矩形的性質． 【分析】過點G作GF⊥OA于點F，根據(jù)全等直角三角形的判定定理

14、（HL）證出Rt△DGE≌Rt△DBE，從而得出BE=GE，根據(jù)勾股定理可列出關于AE長度的方程，解方程可得出AE的長度，再根據(jù)平行線的性質即可得出比例關系，代入數(shù)據(jù)即可求出點G的坐標． 【解答】解：過點G作GF⊥OA于點F，如圖所示． ∵點D為BC的中點， ∴DC=DB=DG， ∵四邊形OABC是矩形， ∴AB=OC，OA=BC，∠C=∠OGD=∠ABC=90． 在Rt△DGE和Rt△DBE中，， ∴Rt△DGE≌Rt△DBE（HL）， ∴BE=GE． 設AE=a，則BE=3﹣a，DE==，OG=OC=3， ∴OE=OG++GE，即=3+3﹣a， 解得：a=1， ∴A

15、E=1，OE=5． ∵GF⊥OA，EA⊥OA， ∴GF∥EA， ∴， ∴OF===，GF===， ∴點G的坐標為（，）． 故答案為：（，）． 　 三、解答題（8個小題，共86分） 17．計算：（）﹣2+（π﹣3.14）0﹣||﹣2cos30． 【考點】實數(shù)的運算；零指數(shù)冪；負整數(shù)指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值． 【分析】本題涉及零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式化簡四個考點．在計算時，需要針對每個考點分別進行計算，然后根據(jù)實數(shù)的運算法則計算． 【解答】解：原式=4+1﹣（2﹣）﹣2=5﹣2+﹣=3． 　 18．先化簡： ?（x），然后x在﹣1，0，

16、1，2四個數(shù)中選一個你認為合適的數(shù)代入求值． 【考點】分式的化簡求值． 【分析】利用分解因式、完全平方公式以及通分法化簡原分式，再分析給定的數(shù)據(jù)中使原分式有意義的x的值，將其代入化簡后的算式中即可得出結論． 【解答】解：原式=??， =?， =x+1． ∵在﹣1，0，1，2四個數(shù)中，使原式有意義的值只有2， ∴當x=2時，原式=2+1=3． 　 19．解方程： +=1． 【考點】解分式方程． 【分析】觀察可得最簡公分母是（x﹣1）（x+1），方程兩邊乘最簡公分母，可以把分式方程轉化為整式方程求解． 【解答】解：方程的兩邊同乘（x﹣1）（x+1），得 （x+1）2﹣4=

17、（x﹣1）（x+1），解得x=1． 檢驗：把x=1代入（x﹣1）（x+1）=0． 所以原方程的無解． 　 20．黔東南州某中學為了解本校學生平均每天的課外學習實踐情況，隨機抽取部分學生進行問卷調(diào)查，并將調(diào)查結果分為A，B，C，D四個等級，設學生時間為t（小時），A：t＜1，B：1≤t＜1.5，C：1.5≤t＜2，D：t≥2，根據(jù)調(diào)查結果繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖．請你根據(jù)圖中信息解答下列問題： （1）本次抽樣調(diào)查共抽取了多少名學生？并將條形統(tǒng)計圖補充完整； （2）本次抽樣調(diào)查中，學習時間的中位數(shù)落在哪個等級內(nèi)？ （3）表示B等級的扇形圓心角α的度數(shù)是多少？ （4）在此次

18、問卷調(diào)查中，甲班有2人平均每天課外學習時間超過2小時，乙班有3人平均每天課外學習時間超過2小時，若從這5人中任選2人去參加座談，試用列表或化樹狀圖的方法求選出的2人來自不同班級的概率． 【考點】列表法與樹狀圖法；扇形統(tǒng)計圖；條形統(tǒng)計圖；中位數(shù)． 【分析】（1）根據(jù)B類的人數(shù)和所占的百分比即可求出總數(shù)；求出C的人數(shù)從而補全統(tǒng)計圖； （2）根據(jù)中位數(shù)定義：將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到小）的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)可得答案； （3）用B的人數(shù)除以總人數(shù)再乘以360，即可得到圓心角α的度數(shù)； （4）先設甲班學生為A1，A2，乙班學生為B1

19、，B2，B3根據(jù)題意畫出樹形圖，再根據(jù)概率公式列式計算即可． 【解答】解：（1）共調(diào)查的中學生數(shù)是：8040%=200（人）， C類的人數(shù)是：200﹣60﹣80﹣20=40（人）， 如圖1： （2）本次抽樣調(diào)查中，學習時間的中位數(shù)落在C等級內(nèi)； （3）根據(jù)題意得：α=360=54， （4）設甲班學生為A1，A2，乙班學生為B1，B2，B3， 一共有20種等可能結果，其中2人來自不同班級共有12種， ∴P（2人來自不同班級）==． 　 21．黔東南州某校吳老師組織九（1）班同學開展數(shù)學活動，帶領同學們測量學校附近一電線桿的高．已知電線桿直立于地面上，某天在

20、太陽光的照射下，電線桿的影子（折線BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在D處測得電線桿頂端A的仰角為30，在C處測得電線桿頂端A得仰角為45，斜坡與地面成60角，CD=4m，請你根據(jù)這些數(shù)據(jù)求電線桿的高（AB）． （結果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：≈1.4，≈1.7） 【考點】解直角三角形的應用-方向角問題；解直角三角形的應用-仰角俯角問題． 【分析】延長AD交BC的延長線于G，作DH⊥BG于H，由三角函數(shù)求出求出CH、DH的長，得出CG，設AB=xm，根據(jù)正切的定義求出BG，得出方程，解方程即可． 【解答】解：延長AD交BC的延長線于G，作DH⊥BG于H，如圖所示： 在Rt△DHC中，

21、∠DCH=60，CD=4， 則CH=CD?cos∠DCH=4cos60=2，DH=CD?sin∠DCH=4sin60=2， ∵DH⊥BG，∠G=30， ∴HG===6， ∴CG=CH+HG=2+6=8， 設AB=xm， ∵AB⊥BG，∠G=30，∠BCA=45， ∴BC=x，BG===x， ∵BG﹣BC=CG， ∴x﹣x=8， 解得：x≈11（m）； 答：電線桿的高為11m． 　 22．如圖，AB是⊙O的直徑，點P在BA的延長線上，弦CD⊥AB，垂足為E，且PC2=PE?PO． （1）求證：PC是⊙O的切線． （2）若OE：EA=1：2，PA=6，求⊙O的半徑

22、． 【考點】相似三角形的判定與性質；垂徑定理；切線的判定． 【分析】（1）連結OC，如圖，由PC2=PE?PO和公共角可判斷△PCE∽△POC，則∠PEC=∠PCO=90，然后根據(jù)切線的判定定理可判斷PC是⊙O的切線； （2）設OE=x，則EA=2x，OA=OC=3x，證明△OCE∽△OPC，利用相似比可表示出OP，則可列方程3x+6=9x，然后解出x即可得到⊙O的半徑． 【解答】（1）證明：連結OC，如圖， ∵CD⊥AB， ∴∠PEC=90， ∵PC2=PE?PO， ∴PC：PO=PE：PC， 而∠CPE=∠OPC， ∴△PCE∽△POC， ∴∠PEC=∠PCO=9

23、0， ∴OC⊥PC， ∴PC是⊙O的切線； （2）解：設OE=x，則EA=2x，OA=OC=3x， ∵∠COE=∠POC，∠OEC=∠OCP， ∴△OCE∽△OPC， ∴OC：OP=OE：OC，即3x：OP=x：3x，解得OP=9x， ∴3x+6=9x，解得x=1， ∴OC=3， 即⊙O的半徑為3． 　 23．凱里市某文具店某種型號的計算器每只進價12元，售價20元，多買優(yōu)惠，優(yōu)勢方法是：凡是一次買10只以上的，每多買一只，所買的全部計算器每只就降價0.1元，例如：某人買18只計算器，于是每只降價0.1（18﹣10）=0.8（元），因此所買的18只計算器都按每只19.

24、2元的價格購買，但是每只計算器的最低售價為16元． （1）求一次至少購買多少只計算器，才能以最低價購買？ （2）求寫出該文具店一次銷售x（x＞10）只時，所獲利潤y（元）與x（只）之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍； （3）一天，甲顧客購買了46只，乙顧客購買了50只，店主發(fā)現(xiàn)賣46只賺的錢反而比賣50只賺的錢多，請你說明發(fā)生這一現(xiàn)象的原因；當10＜x≤50時，為了獲得最大利潤，店家一次應賣多少只？這時的售價是多少？ 【考點】二次函數(shù)的應用． 【分析】（1）設一次購買x只，由于凡是一次買10只以上的，每多買一只，所買的全部計算器每只就降低0.10元，而最低價為每只16元，因此

25、得到20﹣0.1（x﹣10）=16，解方程即可求解； （2）由于根據(jù)（1）得到x≤50，又一次銷售x（x＞10）只，因此得到自變量x的取值范圍，然后根據(jù)已知條件可以得到y(tǒng)與x的函數(shù)關系式； （3）首先把函數(shù)變?yōu)閥=﹣0.1x2+9x=﹣0.1（x﹣45）2+202.5，然后可以得到函數(shù)的增減性，再結合已知條件即可解決問題． 【解答】解：（1）設一次購買x只， 則20﹣0.1（x﹣10）=16， 解得：x=50． 答：一次至少買50只，才能以最低價購買； （2）當10＜x≤50時， y=[20﹣0.1（x﹣10）﹣12]x=﹣0.1x2+9x， 當x＞50時，y=（16﹣1

26、2）x=4x； 綜上所述：y=； （3）y=﹣0.1x2+9x=﹣0.1（x﹣45）2+202.5， ①當10＜x≤45時，y隨x的增大而增大，即當賣的只數(shù)越多時，利潤更大． ②當45＜x≤50時，y隨x的增大而減小，即當賣的只數(shù)越多時，利潤變?。? 且當x=46時，y1=202.4， 當x=50時，y2=200． y1＞y2． 即出現(xiàn)了賣46只賺的錢比賣50只賺的錢多的現(xiàn)象． 當x=45時，最低售價為20﹣0.1（45﹣10）=16.5（元），此時利潤最大． 　 24．如圖，直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別相交于點B、C，經(jīng)過B、C兩點的拋物線y=ax2+bx+c與x

27、軸的另一個交點為A，頂點為P，且對稱軸為直線x=2． （1）求該拋物線的解析式； （2）連接PB、PC，求△PBC的面積； （3）連接AC，在x軸上是否存在一點Q，使得以點P，B，Q為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由． 【考點】二次函數(shù)綜合題． 【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，已知對稱軸的解析式以及B點的坐標，即可求出A的坐標，利用拋物線過A、B、C三點，可用待定系數(shù)法來求函數(shù)的解析式 （2）首先利用各點坐標得出得出△PBC是直角三角形，進而得出答案； （3）本題要先根據(jù)拋物線的解析式求出頂點P的坐標，然后求出BP的長，進而分情況進

28、行討論： ①當=，∠PBQ=∠ABC=45時，根據(jù)A、B的坐標可求出AB的長，根據(jù)B、C的坐標可求出BC的長，已經(jīng)求出了PB的長度，那么可根據(jù)比例關系式得出BQ的長，即可得出Q的坐標． ②當=，∠QBP=∠ABC=45時，可參照①的方法求出Q的坐標． ③當Q在B點右側，即可得出∠PBQ≠∠BAC，因此此種情況是不成立的，綜上所述即可得出符合條件的Q的坐標． 【解答】解：（1）∵直線y=﹣x+3與x軸相交于點B， ∴當y=0時，x=3， ∴點B的坐標為（3，0）， ∵y=﹣x+3過點C，易知C（0，3）， ∴c=3． 又∵拋物線過x軸上的A，B兩點，且對稱軸為x=2， 根據(jù)拋

29、物線的對稱性， ∴點A的坐標為（1，0）． 又∵拋物線y=ax2+bx+c過點A（1，0），B（3，0）， ∴ 解得： ∴該拋物線的解析式為：y=x2﹣4x+3； （2）如圖1，∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1， 又∵B（3，0），C（0，3）， ∴PC===2，PB==， ∴BC===3， 又∵PB2+BC2=2+18=20，PC2=20， ∴PB2+BC2=PC2， ∴△PBC是直角三角形，∠PBC=90， ∴S△PBC=PB?BC=3=3； （3）如圖2，由y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，得P（2，﹣1）， 設拋物線的對稱軸交x軸于點M，

30、 ∵在Rt△PBM中，PM=MB=1， ∴∠PBM=45，PB=． 由點B（3，0），C（0，3）易得OB=OC=3，在等腰直角三角形OBC中，∠ABC=45， 由勾股定理，得BC=3． 假設在x軸上存在點Q，使得以點P，B，Q為頂點的三角形與△ABC相似． ①當=，∠PBQ=∠ABC=45時，△PBQ∽△ABC． 即=， 解得：BQ=3， 又∵BO=3， ∴點Q與點O重合， ∴Q1的坐標是（0，0）． ②當=，∠QBP=∠ABC=45時，△QBP∽△ABC． 即=， 解得：QB=． ∵OB=3， ∴OQ=OB﹣QB=3﹣， ∴Q2的坐標是（，0）． ③當Q在B點右側， 則∠PBQ=180﹣45=135，∠BAC＜135， 故∠PBQ≠∠BAC． 則點Q不可能在B點右側的x軸上， 綜上所述，在x軸上存在兩點Q1（0，0），Q2（，0）， 能使得以點P，B，Q為頂點的三角形與△ABC相似． 　  2016年8月10日 第18頁（共18頁）