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1、第8章 數(shù)列與無窮級(jí)數(shù)
（一） 數(shù)列
1． 數(shù)列極限的定義
若>0，正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)成立<,則稱常數(shù)是數(shù)列的極限，或稱數(shù)列收斂于，記為。否則稱數(shù)列發(fā)散。
2． 數(shù)列極限的運(yùn)算法則
若，，c是常數(shù)，則
；
；
；
。
3． 數(shù)列極限的性質(zhì)
(1)若>0則，當(dāng)時(shí)成立>0；，則。
(2) 收斂數(shù)列是有界數(shù)列。
4．?dāng)?shù)列極限的存在性準(zhǔn)則
(1) 夾逼準(zhǔn)則（夾逼定理）:
（2）單調(diào)有界準(zhǔn)則（數(shù)列的單調(diào)有界收斂定理）:
單調(diào)有界數(shù)列必有極限。
5． 數(shù)列極限與函數(shù)極限的聯(lián)系
對(duì)于數(shù)列，若存在定義域包含的函數(shù)，使，且，且。
6． 數(shù)列與數(shù)列的關(guān)系
2、
（1）若，是的一個(gè)子數(shù)列，則。
（2）若，則。
（二）無窮級(jí)數(shù)的基本概念
1．級(jí)數(shù)斂散性的定義
稱為級(jí)數(shù)的前項(xiàng)部分和，而稱數(shù)列為級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列。
若級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列收斂，即，則稱級(jí)數(shù)收斂，稱s為該級(jí)數(shù)的和，記為，同時(shí)稱為級(jí)數(shù)的余和。
若級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列發(fā)散，則稱級(jí)數(shù)發(fā)散。
2．級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)
（１）若，是常數(shù)，則。
（2）若=s，，則。
（3）若收斂，則也收斂，其中任一正整數(shù)；反之亦成立。
（4）收斂級(jí)數(shù)添加括弧后仍收斂于原來的和。
（5）級(jí)數(shù)收斂的必要條件：若收斂，則。
（三）數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)
1．正項(xiàng)級(jí)數(shù)
（1）正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件是其部分和
3、數(shù)列有界。
（2）正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法及其極限形式
設(shè)，（１）若收斂，則收斂；（２）若發(fā)散，則發(fā)散。
設(shè)與均是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若，則與具有相同的斂散性。
（3）正項(xiàng)級(jí)數(shù)的積分判別法
對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若存在單調(diào)減少的連續(xù)函數(shù)，使得，則級(jí)數(shù)與廣義積分具有相同的斂散性。
（4）正項(xiàng)級(jí)數(shù)比值判別法的極限形式
設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且, 則
（a）<1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；
（b）當(dāng)>1（包含）時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；
（c）當(dāng)時(shí)，本判別法失效。
（5）正項(xiàng)級(jí)數(shù)根值判別法的極限形式
設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且, 則
（a）當(dāng)<1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；
4、 (b) 當(dāng)>1（包含）時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；
( c) 當(dāng)時(shí)，本判別法失效。
2．交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲判別法
若正數(shù)列｛｝單調(diào)減少，且, 則交錯(cuò)級(jí)數(shù)（及）收斂，且余和。
3. 絕對(duì)收斂與條件收斂
若收斂，則稱絕對(duì)收斂；
若發(fā)散，而收斂，則稱條件收斂。
絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)必收斂。
絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的任一更序級(jí)數(shù)仍絕對(duì)收斂于原級(jí)數(shù)的和。
（四）冪級(jí)數(shù)
1．冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，收斂區(qū)間和收斂域
（1）阿貝爾定理
若冪級(jí)數(shù)在某點(diǎn)(0)處收斂，則在區(qū)間（）內(nèi)的任一點(diǎn)處均絕對(duì)收斂；
若冪級(jí)數(shù)在某點(diǎn)處發(fā)散，則在
5、滿足的任一點(diǎn)處均發(fā)散。
（2）收斂半徑的定義
若冪級(jí)數(shù)不是僅在點(diǎn)x=0處收斂，也不是在（）內(nèi)的任一點(diǎn)處均收斂，則存在正數(shù)r，使當(dāng)時(shí)，收斂；而當(dāng)時(shí)，發(fā)散，稱此正數(shù)稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑。當(dāng)僅在點(diǎn)=0處收斂時(shí)，定義收斂半徑=0; 當(dāng)在（）上都收斂時(shí)，定義收斂半徑=+。
(3) 收斂半徑的計(jì)算
設(shè)冪級(jí)數(shù)滿足,（這里的是某個(gè)正整數(shù)）,且，則?。╝）當(dāng)L>0時(shí)，=;
(b) 當(dāng)L=0時(shí)，= +;
(c) 當(dāng)L= +時(shí)，=0。
（４）收斂區(qū)間與收斂域
當(dāng)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑r>0時(shí)，稱（）是它的收斂區(qū)間；當(dāng)判定在=處的斂散性后，可確定其收斂域。
6、2．冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算
（1）代數(shù)運(yùn)算
設(shè) ，收斂域?yàn)?，收斂半?０，
，收斂域，收斂半徑>０，
則
a)
?。剑諗坑?yàn)椋?
b)
＝，收斂半徑
（這里兩個(gè)冪級(jí)數(shù)的乘積是柯西乘積）。
（2）、分析運(yùn)算
設(shè)，收斂域，收斂半徑，則
a) 和函數(shù)在上連續(xù)；
b) 和函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)且可逐項(xiàng)求導(dǎo)：
；
?。悖┖秃瘮?shù)在內(nèi)可積，且可逐項(xiàng)積分：
==，；
3． 冪級(jí)數(shù)的展開
（1）函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)
設(shè)函數(shù)f
7、(x)在點(diǎn)x的某個(gè)鄰域內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，則稱冪級(jí)數(shù)
=++…
為f(x)在點(diǎn)x的泰勒級(jí)數(shù)。而稱
=++…
為f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)（=0時(shí)的泰勒級(jí)數(shù)）。
（2）函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開（間接展開法）
利用五個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林級(jí)數(shù)展開式，通過冪級(jí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算，分析運(yùn)算， 變量代換等手段，求給定函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式。
復(fù)習(xí)指導(dǎo)：
第8章 數(shù)列與無窮級(jí)數(shù)
（一）、數(shù)列
計(jì)算數(shù)列的極限，通?？衫么鷶?shù)恒等變形、數(shù)列極限的運(yùn)算法則和利用函數(shù)極限的方法。這里必須注意的是：由于數(shù)列是定義域?yàn)殡x散點(diǎn)集的函數(shù)，故不能直接使用洛必達(dá)法則，如需使用此法則，必須先化成具有連續(xù)變量的函數(shù)
8、，再利用函數(shù)極限計(jì)算數(shù)列極限。
假定數(shù)列由遞推公式定義，則一般可考慮利用數(shù)列的單調(diào)有界收斂定理。
如果數(shù)列的通項(xiàng)是由n個(gè)項(xiàng)的和構(gòu)成，通常可考慮利用夾逼定理或定積分的定義，也可以考慮先將和求出來，再求極限。
（二）、無窮級(jí)數(shù)的基本概念
1、級(jí)數(shù)斂散性的定義
每個(gè)級(jí)數(shù)涉及到兩個(gè)數(shù)列：一是由其項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列｛u｝，二是由其部分和構(gòu)成的數(shù)列｛s｝。級(jí)數(shù)的斂散性是用｛s｝的斂散性定義的。
一般，即使級(jí)數(shù)收斂，要求其和也是很困難的。但只要級(jí)數(shù)收斂，我們就可以用部分和近似表示它的和，其誤差為。故我們首先關(guān)心的是判斷級(jí)數(shù)的斂散性。
２、級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)
（１）、在級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)上同乘
9、以一不為零的常數(shù)，級(jí)數(shù)的斂散性不變。
（２）、收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加。而且，若收斂，發(fā)散，則必有發(fā)散。
（３）、在級(jí)數(shù)的前面添上或去掉有限項(xiàng)，不影響級(jí)數(shù)的斂散性。
（４）、收斂級(jí)數(shù)可以加括弧，即滿足加法的結(jié)合律。若加括弧后的級(jí)數(shù)發(fā)散，則原級(jí)數(shù)發(fā)散。
（５）、＝０是級(jí)數(shù)收斂的必要條件，但不是充分條件。因此由?。翱赏频眉?jí)數(shù)發(fā)散。
若需證明數(shù)列{ }收斂于零，也可考慮以下方法：證明級(jí)數(shù)收斂，再利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件得{ }收斂于零。
（三）、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)
１、正項(xiàng)級(jí)數(shù)
（１）、首先得注意多種正項(xiàng)級(jí)數(shù)判斂法使用的前提，就是必須是正項(xiàng)級(jí)數(shù)。
（２）、一般，對(duì)于通項(xiàng)含有階乘、指數(shù)函數(shù)、冪指
10、函數(shù)等因式的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，可優(yōu)先考慮利用比值判別法；對(duì)于通項(xiàng)含有指數(shù)函數(shù)、冪指函數(shù)等因式，但不含階乘因式的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，可考慮利用根值判別法；以n的冪（整數(shù)冪或分?jǐn)?shù)冪）有理式為通項(xiàng)的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，因?yàn)閚時(shí)，通項(xiàng)關(guān)于無窮小的階數(shù)易觀察而得，應(yīng)優(yōu)先考慮與p級(jí)數(shù)比較，（利用比較判別法或其極限形式）。
（３）、比較判別法的比較對(duì)象，一般可取等比級(jí)數(shù)和p級(jí)數(shù)，故下列結(jié)論應(yīng)牢記。
等比級(jí)數(shù)當(dāng)<1時(shí)，收斂于，當(dāng) 1時(shí)發(fā)散。
P級(jí)數(shù)，當(dāng)p>１時(shí)收斂，當(dāng)p１時(shí)發(fā)散。
２、交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲判別法
這里需指出，與其他的判別法一樣，萊布尼茲判別法也僅是充分條件并不必要。
對(duì)于萊布尼茲型級(jí)數(shù)，其“截?cái)嗾`差”有估
11、計(jì)式
３、絕對(duì)收斂與條件收斂
（１）、判斷變號(hào)級(jí)數(shù)的斂散性，是指判斷其絕對(duì)收斂、條件收斂還是發(fā)散。
（２）、若發(fā)散，且此結(jié)論是由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值或根值判別法而得，則必有，因而立即可得 發(fā)散。
（四）、冪級(jí)數(shù)
1、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，收斂區(qū)間和收斂域
（1）、冪級(jí)數(shù)的條件收斂點(diǎn)必是其收斂域的端點(diǎn)。
（2）、對(duì)于“缺項(xiàng)”的冪級(jí)數(shù)，不能直接利用公式求收斂半徑，我們可以將任意取定為一常數(shù)，再利用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值或根值判別法來確定其收斂半徑。
2、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算
利用冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)微分或逐項(xiàng)積分的運(yùn)算，可能會(huì)改變其收斂區(qū)間端點(diǎn)上的斂散性。
3．冪級(jí)數(shù)的展開
通常利用間接法展開。這里首先需要注意
12、的是基點(diǎn)，如果是將函數(shù)在點(diǎn)處展開為泰勒級(jí)數(shù)，是指將表達(dá)成 的形式。一般，對(duì)數(shù)函數(shù)可利用的麥克勞林級(jí)數(shù)，指數(shù)函數(shù)利用的麥克勞林級(jí)數(shù)等等，又，反三角函數(shù)或變限積分函數(shù)常常
先求導(dǎo)再展開。
若在展開過程中，利用了冪級(jí)數(shù)的乘法，逐項(xiàng)微分和逐項(xiàng)積分的運(yùn)算，則收斂區(qū)間端點(diǎn)上的斂散性需重新判斷。
求所得冪級(jí)數(shù)的收斂域是函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開的必要步驟之一，千萬不要遺漏。
4．求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)與收斂數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和
若在冪級(jí)數(shù)的項(xiàng)中沒出現(xiàn)階乘記號(hào)，通常利用冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算，將其化為等比級(jí)數(shù)，利用等比級(jí)數(shù)收斂性的結(jié)論求冪級(jí)數(shù)在收斂域上的和函數(shù)。若在冪級(jí)數(shù)的項(xiàng)中出現(xiàn)階乘記號(hào)，則利用 、sinx、cosx的麥克勞林級(jí)數(shù)展開式，通過冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算，求其在收斂域上的和函數(shù)。
求收斂數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和，可以利用級(jí)數(shù)斂散性的定義，即計(jì)算。也可構(gòu)造冪級(jí)數(shù)，使收斂的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)成為冪級(jí)數(shù)在其收斂域內(nèi)某點(diǎn)處的值，通過計(jì)算冪級(jí)數(shù)在收斂域上的和函數(shù)達(dá)到目的。
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