【2015年】高考全國(guó)卷1理科數(shù)學(xué)試題及答案(共15頁(yè))

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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上 2015年高考理科數(shù)學(xué)試卷全國(guó)卷1 1．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足=，則|z|=（ ） （A）1 （B） （C） （D）2 2． =（ ） （A） （B） （C） （D） 3．設(shè)命題：，則為（ ） （A） （B） （C） （D） 4．投籃測(cè)試中，每人投3次，至少投中2次才能通過(guò)測(cè)試。已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為（ ） （A）0.648

2、（B）0.432 （C）0.36 （D）0.312 5．已知M（）是雙曲線C：上的一點(diǎn)，是C上的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則的取值范圍是（ ） （A）（-，） （B）（-，） （C）（，） （D）（，） 6．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問(wèn)題:“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺。問(wèn):積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆的高為5尺，問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有（ ） （

3、A）14斛 （B）22斛 （C）36斛 （D）66斛 7．設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則（ ） （A） （B） （C） （D） 8．函數(shù)=的部分圖像如圖所示，則的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ） （A） （B） （C） （D） 9．執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的t=0.01，則輸出的n=（ ） （A）5 （B）6 （C）7 （D）8 10．的展開式中，的系數(shù)為（ ） （A）10 （B）20 （C）30 （D）60 11．圓柱

4、被一個(gè)平面截去一部分后與半球（半徑為r）組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16 + 20，則r=（ ） （A）1 （B）2 （C）4 （D）8 12．設(shè)函數(shù)=,其中a1，若存在唯一的整數(shù)，使得0，則的取值范圍是（ ） （A）[-，1） （B）[-，） （C）[，） （D）[，1） 13．若函數(shù)f（x）=為偶函數(shù)，則a= 14．一個(gè)圓經(jīng)過(guò)橢圓的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 . 15．若滿足約束條件，則的最大值為

5、 . 16．在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是 . 17．（本小題滿分12分）為數(shù)列{}的前項(xiàng)和.已知＞0，=. （Ⅰ）求{}的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）設(shè) ,求數(shù)列{}的前項(xiàng)和. 18．如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=120°，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC. （Ⅰ）證明：平面AEC⊥平面AFC； （Ⅱ）求直線AE與直線CF所成角的余弦值. 19．某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x（單位：千元）對(duì)

6、年銷售量y（單位：t）和年利潤(rùn)z（單位：千元）的影響，對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)和年銷售量（=1,2，···，8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值. 46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中 ， = （Ⅰ）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=a+bx與y=c+d哪一個(gè)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由） （Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程； （Ⅲ）已知這種產(chǎn)品的年利率z與x、y的關(guān)系為z=0.2y-x.根據(jù)（Ⅱ）

7、的結(jié)果回答下列問(wèn)題： （ⅰ）年宣傳費(fèi)x=49時(shí)，年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少？ （ⅱ）年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利率的預(yù)報(bào)值最大？ 附：對(duì)于一組數(shù)據(jù),，……，,其回歸線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為： 20．（本小題滿分12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線C：y=與直線（＞0）交與M,N兩點(diǎn)， （Ⅰ）當(dāng)k=0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程； （Ⅱ）y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有∠OPM=∠OPN？說(shuō)明理由. 21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)f（x）=. （Ⅰ）當(dāng)a為何值時(shí)，x軸為曲線 的切線； （Ⅱ）用 表示m,n中的最小值，設(shè)函數(shù) ，討論h（x）零點(diǎn)的

8、個(gè)數(shù). 22．（本題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講 如圖，AB是的直徑，AC是的切線，BC交于E. （Ⅰ）若D為AC的中點(diǎn)，證明：DE是的切線； （Ⅱ）若，求∠ACB的大小. 23．（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系中，直線:=2，圓：,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. （Ⅰ）求，的極坐標(biāo)方程； （Ⅱ）若直線的極坐標(biāo)方程為，設(shè)與的交點(diǎn)為, ,求的面積. 24．（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講 已知函數(shù)=|x+1|-2|x-a|，a>0. （Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）>

9、;1的解集； （Ⅱ）若f（x）的圖像與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍. 【答案解析】 1.【答案】A 【解析】由得，==，故|z|=1，故選A. 考點(diǎn)：本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的模等. 2.【答案】D 【解析】原式= ==，故選D. 考點(diǎn)：本題主要考查誘導(dǎo)公式與兩角和與差的正余弦公式. 3.【答案】C 【解析】:，故選C. 考點(diǎn)：本題主要考查特稱命題的否定 4.【答案】A 【解析】根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式得，該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為=0.648，故選A. 考點(diǎn)：本題主要考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式與互斥事件和概率公式 5.【答案】A 【解析】由題

10、知，，所以= =，解得，故選A. 考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；向量數(shù)量積坐標(biāo)表示；一元二次不等式解法. 6.【答案】B 【解析】設(shè)圓錐底面半徑為r，則=，所以米堆的體積為=，故堆放的米約為÷1.62≈22，故選B. 考點(diǎn)：圓錐的性質(zhì)與圓錐的體積公式 7.【答案】A 【解析】由題知=，故選A. 考點(diǎn)：平面向量的線性運(yùn)算 8.【答案】D 【解析】由五點(diǎn)作圖知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故單調(diào)減區(qū)間為（，），，故選D. 考點(diǎn)：三角函數(shù)圖像與性質(zhì) 9.【答案】C 【解析】執(zhí)行第1次，t=0.01,S=1,n=0,m==0.5,S=S-m=0.5,=0.25,n=1

11、,S=0.5＞t=0.01,是，循環(huán)， 執(zhí)行第2次，S=S-m=0.25,=0.125,n=2,S=0.25＞t=0.01,是，循環(huán)， 執(zhí)行第3次，S=S-m=0.125,=0.0625,n=3,S=0.125＞t=0.01,是，循環(huán)， 執(zhí)行第4次，S=S-m=0.0625,=0.03125,n=4,S=0.0625＞t=0.01,是，循環(huán)， 執(zhí)行第5次，S=S-m=0.03125,=0.,n=5,S=0.03125＞t=0.01,是，循環(huán)， 執(zhí)行第6次，S=S-m=0.,=0.,n=6,S=0.＞t=0.01,是，循環(huán)， 執(zhí)行第7次，S=S-m=0.,=0.,n=7,S=0.＞t

12、=0.01,否，輸出n=7，故選C. 考點(diǎn)：本題注意考查程序框圖 10.【答案】C 【解析】在的5個(gè)因式中，2個(gè)取因式中剩余的3個(gè)因式中1個(gè)取，其余因式取y,故的系數(shù)為=30，故選 C. 考點(diǎn)：本題主要考查利用排列組合知識(shí)計(jì)算二項(xiàng)式展開式某一項(xiàng)的系數(shù). 【名師點(diǎn)睛】本題利用排列組合求多項(xiàng)展開式式某一項(xiàng)的系數(shù)，試題形式新穎，是中檔題，求多項(xiàng)展開式式某一項(xiàng)的系數(shù)問(wèn)題，先分析該項(xiàng)的構(gòu)成，結(jié)合所給多項(xiàng)式，分析如何得到該項(xiàng)，再利用排列組知識(shí)求解. 11.【答案】B 【解析】由正視圖和俯視圖知，該幾何體是半球與半個(gè)圓柱的組合體，圓柱的半徑與球的半徑都為r，圓柱的高為2r，其表面積為==16

13、+ 20，解得r=2，故選B. 考點(diǎn)：簡(jiǎn)單幾何體的三視圖；球的表面積公式、圓柱的測(cè)面積公式 12.【答案】D 【解析】設(shè)=，，由題知存在唯一的整數(shù)，使得在直線的下方. 因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，＜0，當(dāng)時(shí)，＞0，所以當(dāng)時(shí)，=， 當(dāng)時(shí)，=-1，，直線恒過(guò)（1,0）斜率且，故，且，解得≤＜1，故選D. 考點(diǎn)：本題主要通過(guò)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決不等式成立問(wèn)題 13.【答案】1 【解析】由題知是奇函數(shù)，所以 =，解得=1. 考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性 14.【答案】 【解析】設(shè)圓心為（，0），則半徑為，則，解得，故圓的方程為. 考點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 15.【答案

14、】3 【解析】作出可行域如圖中陰影部分所示，由斜率的意義知，是可行域內(nèi)一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，由圖可知，點(diǎn)A（1,3）與原點(diǎn)連線的斜率最大，故的最大值為3. 考點(diǎn)：線性規(guī)劃解法 16.【答案】（，） 【解析】如圖所示，延長(zhǎng)BA，CD交于E，平移AD，當(dāng)A與D重合與E點(diǎn)時(shí)，AB最長(zhǎng)，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移AD ，當(dāng)D與C重合時(shí)，AB最短，此時(shí)與AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，，即，解得BF=，所以AB的取值范圍為（，）. 考

15、點(diǎn)：正余弦定理；數(shù)形結(jié)合思想 17.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】 試題分析：（Ⅰ）先用數(shù)列第項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系求出數(shù)列{}的遞推公式，可以判斷數(shù)列{}是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可寫出數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）數(shù)列{}的通項(xiàng)公式，再用拆項(xiàng)消去法求其前項(xiàng)和. 試題解析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?3， 當(dāng)時(shí)，==，即，因?yàn)?，所?2， 所以數(shù)列{}是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列， 所以=； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，=， 所以數(shù)列{}前n項(xiàng)和為= =. 考點(diǎn)：數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系；等差數(shù)列定義與通項(xiàng)公式；拆項(xiàng)消去法 18.【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ） 【解

16、析】 試題分析：（Ⅰ）連接BD，設(shè)BD∩AC=G，連接EG，F(xiàn)G，EF，在菱形ABCD中，不妨設(shè)GB=1易證EG⊥AC，通過(guò)計(jì)算可證EG⊥FG，根據(jù)線面垂直判定定理可知EG⊥平面AFC，由面面垂直判定定理知平面AFC⊥平面AEC；（Ⅱ）以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，y軸正方向，為單位長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz，利用向量法可求出異面直線AE與CF所成角的余弦值. 試題解析：（Ⅰ）連接BD，設(shè)BD∩AC=G，連接EG，F(xiàn)G，EF，在菱形ABCD中，不妨設(shè)GB=1，由∠ABC=120°，可得AG=GC=. 由BE⊥平面ABCD，AB=BC可知，AE=EC， 又∵AE⊥E

17、C，∴EG=，EG⊥AC， 在Rt△EBG中，可得BE=，故DF=. 在Rt△FDG中，可得FG=. 在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，DF=可得EF=， ∴，∴EG⊥FG， ∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC， ∵EG面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC. （Ⅱ）如圖，以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，y軸正方向，為單位長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz，由（Ⅰ）可得A（0，－，0），E（1,0, ），F(xiàn)（－1,0，），C（0，，0），∴=（1，，），=（-1，-，）.…10分 故. 所以直線AE與CF所成的角的余弦值為. 考點(diǎn)：空間垂直判定與性質(zhì)；異面直

18、線所成角的計(jì)算；空間想象能力，推理論證能力 19.【答案】（Ⅰ）適合作為年銷售關(guān)于年宣傳費(fèi)用的回歸方程類型；（Ⅱ）（Ⅲ）46.24 【解析】 試題分析：（Ⅰ）由散點(diǎn)圖及所給函數(shù)圖像即可選出適合作為擬合的函數(shù)；（Ⅱ）令，先求出建立關(guān)于的線性回歸方程，即可關(guān)于的回歸方程；（Ⅲ）（ⅰ）利用關(guān)于的回歸方程先求出年銷售量的預(yù)報(bào)值，再根據(jù)年利率z與x、y的關(guān)系為z=0.2y-x即可年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值；（ⅱ）根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)果知，年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值，列出關(guān)于的方程，利用二次函數(shù)求最值的方法即可求出年利潤(rùn)取最大值時(shí)的年宣傳費(fèi)用. 試題解析： （Ⅰ）由散點(diǎn)圖可以判斷，適合作為年銷售關(guān)于年宣傳費(fèi)用的回歸方

19、程類型. （Ⅱ）令，先建立關(guān)于的線性回歸方程，由于=， ∴=563-68×6.8=100.6. ∴關(guān)于的線性回歸方程為， ∴關(guān)于的回歸方程為. （Ⅲ）（?。┯桑á颍┲?dāng)=49時(shí)，年銷售量的預(yù)報(bào)值 =576.6， . （ⅱ）根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)果知，年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值 ， ∴當(dāng)=，即時(shí)，取得最大值. 故宣傳費(fèi)用為46.24千元時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大.……12分 考點(diǎn)：非線性擬合；線性回歸方程求法；利用回歸方程進(jìn)行預(yù)報(bào)預(yù)測(cè)；應(yīng)用意識(shí) 20.【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）存在 【解析】 試題分析：（Ⅰ）先求出M,N的坐標(biāo)，再利用導(dǎo)數(shù)求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用設(shè)而

20、不求思想即將代入曲線C的方程整理成關(guān)于的一元二次方程，設(shè)出M,N的坐標(biāo)和P點(diǎn)坐標(biāo)，利用設(shè)而不求思想，將直線PM，PN的斜率之和用表示出來(lái)，利用直線PM，PN的斜率為0,即可求出關(guān)系，從而找出適合條件的P點(diǎn)坐標(biāo). 試題解析：（Ⅰ）由題設(shè)可得，，或，. ∵，故在=處的到數(shù)值為，C在處的切線方程為 ，即. 故在=-處的到數(shù)值為-，C在處的切線方程為 ，即. 故所求切線方程為或. （Ⅱ）存在符合題意的點(diǎn)，證明如下： 設(shè)P（0，b）為復(fù)合題意得點(diǎn)，，，直線PM，PN的斜率分別為. 將代入C得方程整理得. ∴. ∴==. 當(dāng)時(shí)，有=0，則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補(bǔ)，

21、故∠OPM=∠OPN，所以符合題意. 考點(diǎn)：拋物線的切線；直線與拋物線位置關(guān)系；探索新問(wèn)題；運(yùn)算求解能力 21..【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）當(dāng)或時(shí)，由一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn). 【解析】 試題分析：（Ⅰ）先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出關(guān)于切點(diǎn)的方程組，解出切點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)應(yīng)的值；（Ⅱ）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)將分為研究的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，若零點(diǎn)不容易求解，則對(duì)再分類討論. 試題解析：（Ⅰ）設(shè)曲線與軸相切于點(diǎn)，則，，即，解得. 因此，當(dāng)時(shí)，軸是曲線的切線. （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，從而， ∴在（1，+∞）無(wú)零點(diǎn). 當(dāng)=1時(shí)，若，則，,故=1是的零點(diǎn)；若，則，,故=1不是的零點(diǎn).

22、 當(dāng)時(shí)，，所以只需考慮在（0,1）的零點(diǎn)個(gè)數(shù). （?。┤艋颍瑒t在（0,1）無(wú)零點(diǎn)，故在（0,1）單調(diào)，而，，所以當(dāng)時(shí)，在（0，1）有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0時(shí)，在（0，1）無(wú)零點(diǎn). （ⅱ）若，則在（0，）單調(diào)遞減，在（，1）單調(diào)遞增，故當(dāng)=時(shí)，取的最小值，最小值為=. ①若＞0，即＜＜0，在（0,1）無(wú)零點(diǎn). ②若=0，即，則在（0,1）有唯一零點(diǎn)； ③若＜0，即，由于，，所以當(dāng)時(shí)，在（0,1）有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在（0,1）有一個(gè)零點(diǎn).…10分 綜上，當(dāng)或時(shí)，由一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn). 考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線；對(duì)新概念的理解；分段函數(shù)的零點(diǎn)；分類整合思想

23、 22.【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）60° 【解析】 試題分析：（Ⅰ）由圓的切線性質(zhì)及圓周角定理知，AE⊥BC，AC⊥AB，由直角三角形中線性質(zhì)知DE=DC，OE=OB，利用等量代換可證∠DEC+∠OEB=90°，即∠OED=90°，所以DE是圓O的切線；（Ⅱ）設(shè)CE=1,由得，AB=，設(shè)AE=，由勾股定理得，由直角三角形射影定理可得，列出關(guān)于的方程，解出，即可求出∠ACB的大小. 試題解析：（Ⅰ）連結(jié)AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB， 在Rt△AEC中，由已知得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE， 連結(jié)OE，∠OBE=∠OEB， ∵∠ACB+∠

24、ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°， ∴∠OED=90°，∴DE是圓O的切線. （Ⅱ）設(shè)CE=1，AE=,由已知得AB=，， 由射影定理可得，， ∴，解得=，∴∠ACB=60°. 考點(diǎn)：圓的切線判定與性質(zhì)；圓周角定理；直角三角形射影定理 23.【答案】（Ⅰ）,（Ⅱ） 【解析】 試題分析：（Ⅰ）用直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)互化公式即可求得，的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）將將代入即可求出|MN|，利用三角形面積公式即可求出的面積. 試題解析：（Ⅰ）因?yàn)椋? ∴的極坐標(biāo)方程為，的極坐標(biāo)方程為.……5分 （Ⅱ）將代入，得，解得=，=，|M

25、N|=－=， 因?yàn)榈陌霃綖?，則的面積=. 考點(diǎn)：直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)互化；直線與圓的位置關(guān)系 24.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（2，+∞） 【解析】 試題分析：（Ⅰ）利用零點(diǎn)分析法將不等式f（x）>1化為一元一次不等式組來(lái)解；（Ⅱ）將化為分段函數(shù)，求出與軸圍成三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出三角形的面積，根據(jù)題意列出關(guān)于的不等式，即可解出的取值范圍. 試題解析：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，不等式f（x）>1化為|x+1|-2|x-1|＞1， 等價(jià)于或或，解得， 所以不等式f（x）>1的解集為. （Ⅱ）由題設(shè)可得，， 所以函數(shù)的圖像與軸圍成的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，，所以△ABC的面積為. 由題設(shè)得＞6，解得. 所以的取值范圍為（2，+∞）. 考點(diǎn)：含絕對(duì)值不等式解法；分段函數(shù)；一元二次不等式解法 專心---專注---專業(yè)