破解圖形中變幻莫測的“陰影”

上傳人:雪*** 文檔編號:47754598 上傳時間:2021-12-25 格式:DOC 頁數(shù):4 大?。?76KB
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1、破解圖形中變幻莫測的“陰影” 朱詠松 (南通市虹橋二中 226006) 近年來的中考數(shù)學試卷中,圍繞圖形面積而展開的試題漸多起來,并以它奇妙組合與非常變化困擾了不少學生,也成為學生心中的一個“陰影”.今天讓我們走進“陰影”,一起來探尋它的破解方法. 一、直接公式法 〖例 1〗如圖,正六邊形與正十二邊形內(nèi)接于同一個⊙O中,已知外接圓的半徑為2,則陰影部分面積為 . 〖分析〗本圖的陰影很明顯是由六個全等的等腰三角形所構成,只要求出一個等腰三角形的面積即可.等腰三角形是一個特殊的幾何圖形,求面積時通常首選“直接用公式”. 〖解答〗連結OA、OB、OC,

2、則OC⊥AB. 由圓內(nèi)接正六邊形得等邊△ABO,則∠BAO=60,AB=OA=2, 在⊙O中,OD⊥AB,則AD=AB=1,由勾股定理得OD=, ∴CD=2-,S△ABC=ABCD=2-,∴S陰=6S△ABC=12-6. 〖例 2〗如圖,AB是同心圓中大圓的弦,且與小圓相切于C點,若AB=8cm,則圖中的陰影部分面積為 . 〖分析〗本題是求一個圓環(huán)的面積,顯然是用大圓面積減去小圓面積.但題中并沒有給出大、小圓的半徑,只有大圓的弦AB的長,怎么辦呢? 〖解答〗連結OB,OC,由AB為小圓的切線,∴OC⊥AB, 在大圓中得BC=AB=4,由勾股定理知OB

3、2 -OC 2=BC 2=16, 由S陰=S大圓-S小圓=πOB 2 - OC 2=π(OB 2 -OC 2)=16π 【小結】“直接公式法”通常是針對一些特殊的規(guī)則圖形,且易于直接用公式來表示的問題.但這里也藏著一定的變化,命題者經(jīng)常會將直接需要的量隱藏在其它條件之中,這就要我們善于探尋這些條件間的聯(lián)系. 二、面積組合法 〖例 3〗在Rt△ABC中,∠ACB=90,S△ABC =30cm2,分別以AC、BC、AB為直徑所作的圓構成如圖所示的圖形,則圖中的陰影部分面積 為 . 〖分析〗本題所示的陰影部分的構成顯然是:S陰=S⊙M+S⊙N+S△ABC-S⊙O.但

4、題中只給出了△ABC的面積,沒有△ABC的三邊的具體長度,其中有什么奧妙呢? 〖解答〗由S陰=S⊙M+S⊙N+S△ABC -S⊙O = π[+-]+30 =π+30=30(cm2). 此外,從本題條件分析可知,“陰影部分面積”與“此三角形的具體邊長”沒有什么關系,只要此三角形面積一定,它的值就是定值.故本題也可自取一組合適的邊長(如AB=5cm,AC=12cm,則BC=13cm),代入上面所列的面積組合中進行計算. 〖例 4〗如圖,⊙Q內(nèi)切與扇形OAB,若扇形OAB的半徑為6cm, 圓心角為60,則圖中陰影部分的面積為 . 〖分析〗本題所示的陰影部分組合為

5、:S陰=S扇形OAB-S⊙Q.扇形OAB的面積很好解決,⊙Q的面積關鍵在于半徑,如何來求它的半徑呢? 〖解答〗連結QC、QD、QE,設⊙Q的半徑為r. ∵OA、OB切⊙Q與D、E,且∠AOB =60 ∴∠QOE =30 在Rt△OQE中,∠OEQ =90,∠QOE =30 ∴OQ =2EQ =2r 由⊙O與⊙Q內(nèi)切于點C ∴OC=OQ+QC 即3 r=6 則r=2 S陰=S扇形OAB-S⊙Q=(cm2). 〖例 5〗 如圖,五邊形ABCDE的邊長都大于2,分別以A、B、C、D、E為圓心作半徑為1的圓,則圖中陰影部分的面積為 . 〖分析〗

6、本題既可以直接看成是五個陰影扇形面積之和,也可以看成五個等圓的面積和減去五個空白扇形面積和.但這五邊形是任意的,我們不知道每個內(nèi)角的具體度數(shù),怎么辦呢? 〖解答〗因為五邊形的內(nèi)角和為540, 則這五個空白扇形的面積之和為:; 所以 S陰 =. 【小結】“面積組合法”是求陰影部分面積中最常用的一種方法,它既考查了學生對常見幾何圖形面積公式的認識,又考查了學生對幾何圖形的拆解組合能力,還考查了學生對求解中未知條件分析應變能力.故而這種方法是我們在學習中要特別關注的. 三、等積形補法 〖例 6〗如圖,矩形ABCD中,AB=8cm,AD=6cm,以D為圓心,DC為半徑作弧交DA延長線與

7、E,交AB于F,若F點恰為CE的中點,則圖中陰影部分的面積為 . 〖分析〗本題這兩塊陰影面積連結DF后,可以分別用“面積組合法”求出.雖不難,但計算過程還是有些繁的,有沒有更好的方法呢? 〖解答〗過F點作FG⊥CD于G, 因為點F點恰為CE的中點,且FA⊥DE,F(xiàn)G⊥DC, 由圖形的對稱性可知:圖中E、A、F構成的封閉區(qū)域與C、G、F構 成的封閉區(qū)域是全等的,所以它們的面積也相等, ∴S陰 =S矩形BCGF=(cm2). 〖例 7〗如圖,⊙O的半徑為6cm,AB是⊙O中的弦,且與半徑相等,OC∥AB,則圖中的陰影部分面積為 .

8、〖分析〗本題可以把陰影部分拆分為一個弓形與一個三角形分別計算,有沒有更好的選擇呢? 〖解答〗過O作OG⊥AB,過C作CH⊥AB, ∵OC∥AB ∴OG=CH(平行線間的距離處處相等) 由△OAB與△CAB同底等高,得S△OAB =S△CAB ∴S陰 =S扇形OAB=(cm2). 〖例 8〗⊙A、⊙B、⊙C、⊙D是四個半徑為5cm的等圓,位置如圖所示,則圖中的陰影部分面積為 . 〖分析〗本題陰影部分中的⊙B面積好求,但三個兩兩外切的圓的中間部分面積計算起來有些費力,能不能不走此路解決問題呢? 〖解答〗如圖,延長AB,CB交⊙B與F、E,則S陰 =

9、S菱形ABCD ∵⊙A、⊙B、⊙C、⊙D的半徑都為5cm,AB=10cm,∠A=60 ∴S陰 =S菱形ABCD =(cm2). 【小結】“等積形補法”可以看作是一種技巧性解題手段.通過“等積形補”,它能把一些不規(guī)則的,復雜的圖形變成常用的標準圖形,從而減少了繁雜的計算,提高了解答的正確率.因為這類問題能夠充分考查學生對圖形的辨析能力,思路寬,解題方法多,十分吻合新課程改革的要求,故倍受命題人青睞. 四、單位面積法 〖例 9〗圖中的虛線網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格,四邊形ABCD的四個頂點都在格點上,若每個小正方形的面積都為1,則陰影部分面積為 . 〖分析〗正方形網(wǎng)格是這類問題

10、中最常用的一種,這里主要用圖形的切割或外擴成矩形進行面積組合. 〖解答〗如圖把ABCD外擴入一個矩形之中, 則S陰 =S矩形EFCG-S△EAB-S△BCF-S△CDG-S△DEA . 〖例10〗圖中的虛線網(wǎng)格是正三角形網(wǎng)格,四邊形ABCD的四個頂點都在格點上,若每個小正三角形的面積都為1,則陰影部分面積為 . 〖分析〗正三角形網(wǎng)格是正形網(wǎng)格的一種變形,解題的手法與正方形網(wǎng)格相似,但在組合時通常沿網(wǎng)格線進行切割,一般可擴成等腰梯形或平行四邊形. 〖解答〗如圖把ABCD外擴入一個等腰梯形之中, 則S陰 =S梯形AMNP-S△MAB-S△BCN-S△CDN-S△DPA. 【小結】“單位面積法” 是針對網(wǎng)格面積問題的一種重要解題手段.這里關鍵是要充分利用構成網(wǎng)格的單位圖形,把要求的陰影圖形依托網(wǎng)格線進切割或外擴,并把所分割出來的圖形與單位圖形行面積對比,從而解決問題. 以上所介紹的四種方法是處理陰影圖形面積的主要方法.在此要提醒的是,解題時還需要注意認真審題,拾階而上,切不可把簡單問題復雜化.

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