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1、第第6講隨機變量及其分布講隨機變量及其分布【2014年高考會這樣考】1在理解取有限個值的隨機變量及其分布的概念的基礎上，會求某些取有限個值的隨機變量的分布2考查兩點分布和超幾何分布的簡單應用.考點梳理考點梳理 (1)定義：如果隨機變量X的取值是x1，x2，xn，則Xxi是事件，用piP(Xi)表示事件Xi的概率，我們稱 _，i1，2，n是隨機變量X的概率分布 (2)性質(zhì) pi0； p1p2pn1.1隨機變量的概率分布隨機變量的概率分布piP(Xxi) (3)表示方法 如果X只取值0或1，概率分布是P(X1)p，P(X0) _，p(0，1)，就稱X服從兩點分布，記作_ 列表可表示為Xx1x2x3
2、pp1p2p32.兩點分布兩點分布B(1，p)1pXB(1，p)X01P1pp 3.超幾何分布就稱就稱X服從超幾何分布，記作服從超幾何分布，記作_列表可表示為列表可表示為XH(N，M，n) 一類表格 隨機變量的分布實質(zhì)是進行數(shù)據(jù)處理的一種表格第一行數(shù)據(jù)是隨機變量的取值；第二行數(shù)據(jù)是第一行數(shù)據(jù)代表事件的概率利用隨機變量的分布，很容易求出其期望和方差等特征值【助學助學微博微博】 兩條性質(zhì) (1)第二行數(shù)據(jù)中的數(shù)都在(0,1)內(nèi)； (2)第二行所有數(shù)的和等于1. 三種方法 (1)由統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到隨機變量分布； (2)由古典概型求出隨機變量分布； (3)由互斥事件、獨立事件的概率求出隨機變量分布 A取到
3、產(chǎn)品的件數(shù) B取到正品的概率 C取到次品的件數(shù) D取到次品的概率 解析A中取到的產(chǎn)品件數(shù)是一個常量而不是一個變量；B、D中的概率也是一個定值；而C中取到的次品數(shù)可能是0,1,2，是隨機變量 答案C考點自測考點自測110件產(chǎn)品中有件產(chǎn)品中有3件次品，從中任取件次品，從中任取2件，可作為隨機變量件，可作為隨機變量 的是的是 () 2設某項試驗的成功率是失敗率的2倍，用隨機變量X去 描述1次試驗的成功次數(shù)，則P(X0)等于 () 解析設X的分布為X01Pp2p答案答案D3(2013銀川模擬)一盒中有12個乒乓球，其中9個新的，3個舊的，從盒中任取3個球來用，用完后裝回盒中，此時盒中舊球個數(shù)X是一個隨
4、機變量，則P(X4)的值為 ()答案A A25 B10 C7 D6 解析X的可能取值為123,134,14523，15642,25734,358,459. 答案C4袋中有大小相同的袋中有大小相同的5只鋼球，分別標有只鋼球，分別標有1,2,3,4,5五個號五個號碼，任意抽取碼，任意抽取2個球，設個球，設2個球號碼之和為個球號碼之和為X，則，則X的所的所有可能取值個數(shù)為有可能取值個數(shù)為()5(湘教版教材習題改編)一實驗箱中裝有標號為1,2,3,3,4的5只白鼠，若從中任取1只，記取到的白鼠的標號為Y，則隨機變量Y的分布是_解析Y的所有可能值為1,2,3,4 答案【例1】 (2012廣東改編)某班5
5、0位學生期中考試數(shù)學成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：40,50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100考向一由統(tǒng)計數(shù)據(jù)求隨機變量的分布考向一由統(tǒng)計數(shù)據(jù)求隨機變量的分布 (1)求圖中x的值； (2)從成績不低于80分的學生中隨機選取2人，該2人中成績在90分以上(含90分)的人數(shù)記為，求的分布及數(shù)學期望 審題視點 (1)抓住總面積和為1即可算得x的值(2)的可能取值為0,1,2，算出其概率，即可列出的分布，從而求出的期望 解(1)由頻率分布直方圖知(0.00630.01x0.054)101，解得x0.018. (2)由頻率分布直方圖知成績不低于8
6、0分的學生人數(shù)為(0.0180.006)105012，成績在90分以上(含90分)的人數(shù)為0.00610503. 因此可能取0,1,2三個值 求隨機變量的分布的步驟：確定隨機變量所有的可能取值，以及取這些值時的意義；盡量尋求計算概率時的普遍規(guī)律；檢查計算結果是否滿足分布的性質(zhì) 【訓練1】 (2011北京改編)以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組 各四名同學的植樹棵數(shù) 甲組乙組分別從甲、乙兩組中各隨機選取一名同學分別從甲、乙兩組中各隨機選取一名同學(1)求這兩名同學的植樹總棵數(shù)求這兩名同學的植樹總棵數(shù)Y的分布；的分布；(2)每植一棵樹可獲每植一棵樹可獲10元，求這兩名同學獲得錢數(shù)的數(shù)學期望元，求這兩名同學
7、獲得錢數(shù)的數(shù)學期望解解(1)分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學的方法種數(shù)是分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學的方法種數(shù)是4416，這兩名同學植樹總棵數(shù)，這兩名同學植樹總棵數(shù)Y的取值分別為的取值分別為17,18,19,20,21， 設這名同學獲得錢數(shù)為X元，則X10Y， 則E(X)10E(Y)190. (1)求X的分布； (2)求X的數(shù)學期望E(X) 審題視點 本題是一道有關古典概型的題目，對變量的取值要做到不重不漏，計算要準確考向二用古典概型求隨機變量的分布考向二用古典概型求隨機變量的分布【例例2】 (2012浙江浙江)已知箱中裝有已知箱中裝有4個白球和個白球和5個黑球，且規(guī)個黑球，且規(guī)定：取
8、出一個白球得定：取出一個白球得2分，取出一個黑球得分，取出一個黑球得1分現(xiàn)從該箱分現(xiàn)從該箱中任取中任取(無放回，且每球取到的機會均等無放回，且每球取到的機會均等)3個球，記隨機變個球，記隨機變量量X為取出此為取出此3球所得分數(shù)之和球所得分數(shù)之和 求隨機變量分布的關鍵是概率的計算，概率計算的關鍵是理清事件之間的關系，把實際問題中隨機變量的各個值歸結為事件之間的關系，求出事件的概率也就求出了這個隨機變量的分布【訓練2】 (2012安徽)某單位招聘面試，每次從試題庫中隨機調(diào)用一道試題，若調(diào)用的是A類型試題，則使用后該試題回庫，并增補一道A類型試題和一道B類型試題入庫，此次調(diào)題工作結束；若調(diào)用的是B類
9、型試題，則使用后該試題回庫，此次調(diào)題工作結束，試題庫中現(xiàn)共有nm道試題，其中有n道A類型試題和m道B類型試題，以X表示兩次調(diào)題工作完成后，試題庫中A類型試題的數(shù)量(1)求求Xn2的概率；的概率；(2)設設mn，求，求X的分布和均值的分布和均值(數(shù)學期望數(shù)學期望) (2)設系統(tǒng)A在3次相互獨立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機變量，求的概率分布及數(shù)學期望E()考向三由獨立事件同時發(fā)生的概率求隨機變量的分布考向三由獨立事件同時發(fā)生的概率求隨機變量的分布 審題視點 (1)依據(jù)題意及相互對立事件間的概率關系列出相關方程，通過解方程得出結論；(2)根據(jù)獨立重復試驗的相關概率公式列出相應的分布，進而求出期望值
10、 解決隨機變量分布問題時，首先應先根據(jù)隨機變量的實際意義，利用試驗結果，找出隨機變量的取值，再正確求出隨機變量的各個取值對應的概率，同時要做到計算準確無誤 (1)求兩種樹各成活一株的概率； (2)設表示成活的株數(shù)，求的分布及數(shù)學期望 解(1)記“香樟成活一株”為事件A，“桂花成活一株”為事件B.則事件“兩種樹各成活一株”即為事件AB.【命題研究】 通過對近三年高考試題分析可以看出，本部分在高考中主要考查獨立事件的概率、隨機變量的概率分布、數(shù)學期望和方差的計算，以及概率統(tǒng)計在實際問題中的應用，題型以解答題為主預測2014年高考仍會堅持以實際問題為背景，結合常見的概率事件，考查隨機變量的分布、期望
11、和方差的求法，一般屬中等難度題目規(guī)范解答規(guī)范解答16求解隨機變量分布的答題技巧求解隨機變量分布的答題技巧 (1)求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率； (2)求這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率； (3)用X，Y分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數(shù)，記|XY|，求隨機變量的分布與數(shù)學期望 E()【真題探究真題探究】 (本小題滿分本小題滿分13分分)(2012天津天津)現(xiàn)有現(xiàn)有4個人去參個人去參加某娛樂活動，該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選加某娛樂活動，該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的擇為增加趣味性，約定：每個人通過
12、擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲，擲出點數(shù)為骰子決定自己去參加哪個游戲，擲出點數(shù)為1或或2的人去參的人去參加甲游戲，擲出點數(shù)大于加甲游戲，擲出點數(shù)大于2的人去參加乙游戲的人去參加乙游戲 教你審題 (1)本題是一個古典概型，根據(jù)上述規(guī)則可分別求出每個人參加甲游戲和乙游戲的概率，然后再利用二項分布的概率公式求解(2)4個人中參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)含“3人參加甲游戲”和“4人全部參加甲游戲”兩個互斥事件，利用二項分布和互斥事件的概率公式可求解(3)分析出的所有可能取值，求出各值對應的概率，建立概率分布表，利用期望的定義式求解數(shù)學期望 閱卷老師手記 掌握隨機變量的分布，需注意
13、 (1)分布的結構為兩行，第一行為隨機變量X所有可能取得的值；第二行是對應于隨機變量X的值的事件發(fā)生的概率看每一列，實際上是：上為“事件”，下為事件發(fā)生的概率，只不過“事件”是用一個反映其結果的實數(shù)表示的 (2)要會根據(jù)分布的性質(zhì)來檢驗求得的分布列的正誤 (3)公式運用正確和計算準確是不失分的關鍵 概率、隨機變量及其分布與實際問題的結合題型在新課標高考中經(jīng)常出現(xiàn)，其解題的一般步驟為： 第一步：理解以實際問題為背景的概率問題的題意，確定隨機變量的所有可能值； 第二步：利用排列、組合知識或互斥事件、獨立事件的概率公式求出隨機變量取每個可能值的概率； 第三步：畫出隨機變量的分布； 第四步：明確規(guī)范表述結論【試一試】 (2012江西)如圖，從A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1(0,0, 1)，C2(0,0,2)這6個點中隨機選取3個點，將這3個點及原點O兩兩相連構成一個“立體”，記該“立體”的體積為隨機變量V(如果選取的3個點與原點在同一個平面內(nèi)，此時“立體”的體積V0)(1)求V0的概率；(2)求V的分布及數(shù)學期望E(V)
高考數(shù)學一輪總復習 第十一篇 第6講 隨機變量及其分布課件 理 湘教版
