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高中數(shù)學(xué) 313 空間向量的數(shù)量積運(yùn)算課件 新人教A版選修21

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高中數(shù)學(xué) 313 空間向量的數(shù)量積運(yùn)算課件 新人教A版選修21

掌握空間向量夾角的概念及表示方法,掌握兩個向量的數(shù)量積概念、性質(zhì)和計算方法及運(yùn)算規(guī)律 掌握兩個向量的數(shù)量積的主要用途,會用它解決立體幾何中一些簡單的問題3.1.3 空間向量的數(shù)量積運(yùn)算空間向量的數(shù)量積運(yùn)算【課標(biāo)要求課標(biāo)要求】【核心掃描核心掃描】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算空間向量的數(shù)量積運(yùn)算(重點重點) )利用空間向量的數(shù)量積求夾角及距離利用空間向量的數(shù)量積求夾角及距離( (難點難點) )空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律(易錯點易錯點) )12123 1空間向量的夾角自學(xué)導(dǎo)引自學(xué)導(dǎo)引定義定義記法記法_范圍范圍_當(dāng)當(dāng)a,b 時,時,_a,b0,ab 想一想:a,b與b,a相等嗎?a,b與a,b呢? 提示a,bb,a,a,ba,b 空間向量的數(shù)量積 (1)定義:已知兩個非零向量a,b,則|a|b|cos a,b叫做a,b的數(shù)量積,記作ab. (2)數(shù)量積的運(yùn)算律2數(shù)乘向量與向量數(shù)乘向量與向量數(shù)量積的結(jié)合律數(shù)量積的結(jié)合律(a)b_交換律交換律ab_分配律分配律a(bc)_(ab)baabac (3)數(shù)量積的性質(zhì)兩個兩個向量向量數(shù)量數(shù)量積的積的性質(zhì)性質(zhì)(1)若若a,b是非零向量,則是非零向量,則abab0.(2)若若a與與b同向,則同向,則ab|a|b|;若反向,則若反向,則ab|a|b|.特別地:特別地:aa|a|2或或|a|(3)若若為為a,b的夾角,則的夾角,則cos .(4)|ab|a|b|.想一想:想一想:類比平面向量,你能說出類比平面向量,你能說出ab的幾何意義嗎的幾何意義嗎?提示提示數(shù)量積數(shù)量積ab等于等于a的長度的長度|a|與與b在在a的方向上的投影的方向上的投影|b|cos 的乘積的乘積 空間向量夾角的理解 (1)任意兩個空間向量均是共面的,故空間向量夾角范圍同兩平面向量夾角范圍一樣,即0,;名師點睛名師點睛平面向量與空間向量數(shù)量積的關(guān)系平面向量與空間向量數(shù)量積的關(guān)系由于空間任意兩個向量都可以轉(zhuǎn)化為共面向量,所以空間由于空間任意兩個向量都可以轉(zhuǎn)化為共面向量,所以空間兩個向量的夾角的定義和取值范圍、兩個向量垂直的定義兩個向量的夾角的定義和取值范圍、兩個向量垂直的定義和表示符號、向量的模的概念和表示符號、以及運(yùn)算律等和表示符號、向量的模的概念和表示符號、以及運(yùn)算律等都與平面向量相同都與平面向量相同12 空間向量數(shù)量積的應(yīng)用 由于空間向量的數(shù)量積與向量的模和夾角有關(guān),所以立體幾何中的許多問題,如距離、夾角、垂直等問題的求解,都可借助于向量的數(shù)量積運(yùn)算解決(2)abab0,用于判斷兩個向量的垂直,用于判斷兩個向量的垂直(3)|a|2aa,用于對向量模的計算,求兩點間的距離或線,用于對向量模的計算,求兩點間的距離或線段的長度段的長度3 注意:數(shù)量積運(yùn)算不滿足消去律 若a,b,c(b0)為實數(shù),則abbcac;但對于向量就不正確,即abbc(b0)/ ac. 數(shù)量積運(yùn)算不滿足結(jié)合律 數(shù)量積的運(yùn)算只適合交換律,分配律及數(shù)乘結(jié)合律,但不適合乘法結(jié)合律,即(ab)c不一定等于a(bc)這是由于(ab)c表示一個與c共線的向量,而a(bc)表示一個與a共線的向量,而c與a不一定共線題型一題型一利用數(shù)量積求夾角利用數(shù)量積求夾角 如圖,在空間四邊形OABC中,OA8,AB6,AC4,BC5,OAC45,OAB60,求OA與BC所成角的余弦值【例例1】 規(guī)律方法 在異面直線上取兩個向量,則兩異面直線所成角的問題可轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角問題需注意的是:轉(zhuǎn)化前后的兩個角的關(guān)系可能相等也可能互補(bǔ) 如圖所示,已知S是邊長為1的正三角形ABC所在平面外一點,且SASBSC1,M、N分別是AB、SC的中點,求異面直線SM與BN所成角的余弦值【變式變式1】 如圖所示,平行六面體ABCDA1B1C1D1中,AB1,AD2,AA13,BAD90,BAA1DAA160,求AC1的長題型題型二二利用數(shù)量積求兩點間的距離利用數(shù)量積求兩點間的距離【例例2】如圖,已知線段AB平面,BC,CDBC,DF平面,且DCF30,D與A在的同側(cè),若ABBCCD2,求A,D兩點間的距離【變式變式2】 (12分)已知空間四邊形OABC中,AOBBOCAOC,且OAOBOC,M、N分別是OA、BC的中點,G是MN的中點求證:OGBC.題型題型三三利用數(shù)量積證明垂直關(guān)系利用數(shù)量積證明垂直關(guān)系【例例3】如圖所示,正四面體ABCD的每條棱長都等于a,點M,N分別是AB,CD的中點,求證:MNAB,MNCD.【變式變式3】 把空間向量轉(zhuǎn)化為平面向量,把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題來解決是轉(zhuǎn)化與化歸思想在本節(jié)中的應(yīng)用 如圖所示,在 ABCD中,AD4,CD3,ADC60,PA平面ABCD,PA6,求線段PC的長 方法技巧轉(zhuǎn)化與化歸思想在立體幾何中的應(yīng)用方法技巧轉(zhuǎn)化與化歸思想在立體幾何中的應(yīng)用【示示例例】 方法點評 把線段的長轉(zhuǎn)化為向量的模是解決該類問題常用的解 題方法用已知向量表示目標(biāo)向量是解決該類問題的關(guān)鍵

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