高中數(shù)學(xué) 313 空間向量的數(shù)量積運算課件 新人教A版選修21

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1、 掌握空間向量夾角的概念及表示方法，掌握兩個向量的數(shù)量積概念、性質(zhì)和計算方法及運算規(guī)律 掌握兩個向量的數(shù)量積的主要用途，會用它解決立體幾何中一些簡單的問題3.1.3 空間向量的數(shù)量積運算空間向量的數(shù)量積運算【課標(biāo)要求課標(biāo)要求】【核心掃描核心掃描】空間向量的數(shù)量積運算空間向量的數(shù)量積運算(重點重點) )利用空間向量的數(shù)量積求夾角及距離利用空間向量的數(shù)量積求夾角及距離( (難點難點) )空間向量數(shù)量積的運算律空間向量數(shù)量積的運算律(易錯點易錯點) )12123 1空間向量的夾角自學(xué)導(dǎo)引自學(xué)導(dǎo)引定義定義記法記法_范圍范圍_當(dāng)當(dāng)a，b 時，時，_a，b0，ab 想一想：a，b與b，a相等嗎？a，b與a

2、，b呢？ 提示a，bb，a，a，ba，b 空間向量的數(shù)量積 (1)定義：已知兩個非零向量a，b，則|a|b|cos a，b叫做a，b的數(shù)量積，記作ab. (2)數(shù)量積的運算律2數(shù)乘向量與向量數(shù)乘向量與向量數(shù)量積的結(jié)合律數(shù)量積的結(jié)合律(a)b_交換律交換律ab_分配律分配律a(bc)_(ab)baabac (3)數(shù)量積的性質(zhì)兩個兩個向量向量數(shù)量數(shù)量積的積的性質(zhì)性質(zhì)(1)若若a，b是非零向量，則是非零向量，則abab0.(2)若若a與與b同向，則同向，則ab|a|b|；若反向，則若反向，則ab|a|b|.特別地：特別地：aa|a|2或或|a|(3)若若為為a，b的夾角，則的夾角，則cos .(4)

3、|ab|a|b|.想一想：想一想：類比平面向量，你能說出類比平面向量，你能說出ab的幾何意義嗎的幾何意義嗎？提示提示數(shù)量積數(shù)量積ab等于等于a的長度的長度|a|與與b在在a的方向上的投影的方向上的投影|b|cos 的乘積的乘積 空間向量夾角的理解 (1)任意兩個空間向量均是共面的，故空間向量夾角范圍同兩平面向量夾角范圍一樣，即0，；名師點睛名師點睛平面向量與空間向量數(shù)量積的關(guān)系平面向量與空間向量數(shù)量積的關(guān)系由于空間任意兩個向量都可以轉(zhuǎn)化為共面向量，所以空間由于空間任意兩個向量都可以轉(zhuǎn)化為共面向量，所以空間兩個向量的夾角的定義和取值范圍、兩個向量垂直的定義兩個向量的夾角的定義和取值范圍、兩個向量

4、垂直的定義和表示符號、向量的模的概念和表示符號、以及運算律等和表示符號、向量的模的概念和表示符號、以及運算律等都與平面向量相同都與平面向量相同12 空間向量數(shù)量積的應(yīng)用 由于空間向量的數(shù)量積與向量的模和夾角有關(guān)，所以立體幾何中的許多問題，如距離、夾角、垂直等問題的求解，都可借助于向量的數(shù)量積運算解決(2)abab0，用于判斷兩個向量的垂直，用于判斷兩個向量的垂直(3)|a|2aa，用于對向量模的計算，求兩點間的距離或線，用于對向量模的計算，求兩點間的距離或線段的長度段的長度3 注意：數(shù)量積運算不滿足消去律 若a，b，c(b0)為實數(shù)，則abbcac；但對于向量就不正確，即abbc(b0)/ a

5、c. 數(shù)量積運算不滿足結(jié)合律 數(shù)量積的運算只適合交換律，分配律及數(shù)乘結(jié)合律，但不適合乘法結(jié)合律，即(ab)c不一定等于a(bc)這是由于(ab)c表示一個與c共線的向量，而a(bc)表示一個與a共線的向量，而c與a不一定共線題型一題型一利用數(shù)量積求夾角利用數(shù)量積求夾角 如圖，在空間四邊形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求OA與BC所成角的余弦值【例例1】 規(guī)律方法 在異面直線上取兩個向量，則兩異面直線所成角的問題可轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角問題需注意的是：轉(zhuǎn)化前后的兩個角的關(guān)系可能相等也可能互補 如圖所示，已知S是邊長為1的正三角形ABC所在平面外一點，且SASBS

6、C1，M、N分別是AB、SC的中點，求異面直線SM與BN所成角的余弦值【變式變式1】 如圖所示，平行六面體ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA13，BAD90，BAA1DAA160，求AC1的長題型題型二二利用數(shù)量積求兩點間的距離利用數(shù)量積求兩點間的距離【例例2】如圖，已知線段AB平面，BC，CDBC，DF平面，且DCF30，D與A在的同側(cè)，若ABBCCD2，求A，D兩點間的距離【變式變式2】 (12分)已知空間四邊形OABC中，AOBBOCAOC，且OAOBOC，M、N分別是OA、BC的中點，G是MN的中點求證：OGBC.題型題型三三利用數(shù)量積證明垂直關(guān)系利用數(shù)量積證明垂直關(guān)系【例例3】如圖所示，正四面體ABCD的每條棱長都等于a，點M，N分別是AB，CD的中點，求證：MNAB，MNCD.【變式變式3】 把空間向量轉(zhuǎn)化為平面向量，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題來解決是轉(zhuǎn)化與化歸思想在本節(jié)中的應(yīng)用 如圖所示，在 ABCD中，AD4，CD3，ADC60，PA平面ABCD，PA6，求線段PC的長 方法技巧轉(zhuǎn)化與化歸思想在立體幾何中的應(yīng)用方法技巧轉(zhuǎn)化與化歸思想在立體幾何中的應(yīng)用【示示例例】 方法點評 把線段的長轉(zhuǎn)化為向量的模是解決該類問題常用的解 題方法用已知向量表示目標(biāo)向量是解決該類問題的關(guān)鍵