2010高考數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)練系列 排列組合與二項(xiàng)式定理教案 蘇教版

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1、考綱導(dǎo)讀 排列、組合、二項(xiàng)式定理 1．掌握分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理、并能用它分析和解決一些簡單的應(yīng)用問題． 2．理解排列的意義，掌握排列數(shù)計(jì)算公式，并能用它解決一些簡單的應(yīng)用問題． 3．理解組合的意義，掌握組合數(shù)計(jì)算公式和組合數(shù)性質(zhì)，并能用它們解決一些簡單的應(yīng)用問題． 4．掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)展開式的性質(zhì)，并能用它們計(jì)算和證明一些簡單的問題． 知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 組合 排列組合 二項(xiàng)式定理 兩個(gè)計(jì)數(shù)原理 排列 排列概念 排列數(shù)公式 組合概念 組合數(shù)公式 組合數(shù)性質(zhì) 應(yīng)用 通項(xiàng)公式 二項(xiàng)式定理 二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì) 應(yīng)用

2、 高考導(dǎo)航 排列與組合高考重點(diǎn)考察學(xué)生理解問題、綜合運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理分析問題和解決問題的能力及分類討論思想．它是高中數(shù)學(xué)中從內(nèi)容到方法都比較獨(dú)特的一個(gè)組成部分，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率論的基礎(chǔ)知識(shí)．由于這部分內(nèi)容概念性強(qiáng)，抽象性強(qiáng)，思維方法新穎，同時(shí)解題過程中極易犯“重復(fù)”或“遺漏”的錯(cuò)誤，而且結(jié)果數(shù)目較大，無法一一檢驗(yàn)，因此學(xué)生要學(xué)好本節(jié)有一定的難度．解決該問題的關(guān)鍵是學(xué)習(xí)時(shí)要注意加深對(duì)概念的理解，掌握知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別，嚴(yán)謹(jǐn)而周密地去思考分析問題． 二項(xiàng)式定理是進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)，高考重點(diǎn)考查展開式及通項(xiàng)，難度與課本內(nèi)容相當(dāng)．另外

3、利用二項(xiàng)式定理及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)解決一些較簡單而有趣的小題，在高考中也時(shí)有出現(xiàn)． 第1課時(shí) 兩個(gè)計(jì)數(shù)原理 基礎(chǔ)過關(guān) 1．分類計(jì)數(shù)原理（也稱加法原理）：做一件事情，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝ 種不同的方法． 2．分步計(jì)數(shù)原理（也稱乘法原理）：做一件事情，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝

4、 種不同的方法． 3．解題方法：枚舉法、插空法、隔板法． 典型例題 例1. 高三(1)、(2)、(3)班分別有學(xué)生48,50,52人 (1) 從中選1人當(dāng)學(xué)生代表的方法有多少種？ (2) 從每班選1人組成演講隊(duì)的方法有多少種？ (3) 從這150名學(xué)生中選4人參加學(xué)代會(huì)有多少種方法？ (4) 從這150名學(xué)生中選4人參加數(shù)理化四個(gè)課外活動(dòng)小組，共有多少種方法？ 解：（1）48＋50＋52＝150種 （2）485052＝124800種 （3） （4） 變式訓(xùn)練1：在直角坐標(biāo)x－o－y平面上，平行直線x=n，（n=0，1，2，3，4，5），y=n

5、，（n=0，1，2，3，4，5），組成的圖形中，矩形共有（ ） A、25個(gè) B、36個(gè) C、100個(gè) D、225個(gè) 解：在垂直于x軸的6條直線中任意取2條，在垂直于y軸的6條直線中任意取2條，這樣的4 條直線相交便得到一個(gè)矩形，所以根據(jù)分步記數(shù)原理知道： 得到的矩形共有個(gè)， 故選D。 例2. (1) 將5封信投入6個(gè)信箱，有多少種不同的投法？ (2) 設(shè)I＝{1,2,3,4,5,6}，A與B都是I的子集，A∩B＝{1,3,5}，則稱(A,B)為理想配，所有理想配共有多少種？ (3) 隨著電訊事業(yè)的發(fā)展，

6、許多地方電話號(hào)碼升位，若某地由原來7位電話號(hào)碼升為8位電話號(hào)碼，問升位后可多裝多少門電話機(jī)？(電話號(hào)碼首位不為0) 解：（1）65 （2）27 （3）電話號(hào)碼首位不為0：9107－9106＝8.1107 變式訓(xùn)練2：一個(gè)圓分成6個(gè)大小不等的小扇形，取來紅、黃、蘭、白、綠、黑6種顏色。 請(qǐng)問：⑴6個(gè)小扇形分別著上6種顏色有多少種不同的著色方法? ⑵從這6種顏色中任選5種著色,但相鄰兩個(gè)扇形不能著相同的顏色, 則有 多少種不同的著色方法? 解：⑴6個(gè)小扇形分別著上6種不同的顏色,共有種著色方法. ⑵6個(gè)扇形從6種顏色中任選5種著色共有種不同的方法;其中相鄰兩個(gè)扇形是同一種顏色的著

7、色方法共有;因此滿足條件的著色方法共有種著色方法. 例3. 如圖A，B，C，D為海上的四個(gè)小島，現(xiàn)在要建造三座橋，將這四個(gè)小島連接起來，則不同的建橋方案有（ ） D A A、8種 B、12種 C、16種 D、20種 B C 解：第一類：從一個(gè)島出發(fā)向其它三島各建一橋，共有=4種方法； 第二類：一個(gè)島最多建設(shè)兩座橋，例如：A—B—C—D，D—C—B—A，這樣的兩個(gè)排列對(duì)應(yīng)一種建橋方法，因此有種方法； 根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知道共有4+12=16種方法 變式訓(xùn)練3：某公司招聘進(jìn)8名員工，平均分給下屬的甲、乙兩個(gè)部門，其中兩名翻譯人員不能同時(shí)分給一

8、個(gè)部門，另三名電腦編程人員也不能同時(shí)分給一個(gè)部門，求有多少種不同的分配方案． 解：用分步計(jì)數(shù)原理．先分英語翻譯，再分電腦編程人員，最后分其余各人，故有2(3＋3)3＝36種． 例4. 如圖，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)之間的連線表示它們有網(wǎng)線相連，連線上標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時(shí)間內(nèi)可以通過的最大信息量，現(xiàn)從結(jié)點(diǎn)A向結(jié)點(diǎn)B傳遞信息，信息可以沿不同的路徑同時(shí)傳遞，則單位時(shí)間傳遞的最大信息量是（ ） A、26 B、24 C、20 D、19 3 5 12 B 4 6 A

9、 6 76 12 8 解：要完成的這件事是：“從A向B傳遞信息”，完成這件事有4類辦法： 第一類：12 5 3 第二類 ： 12 6 4 第三類 ：12 6 7 第四類；：12 8 6 可見：第一類中單位時(shí)間傳遞的最大信息量是3；第二類單位時(shí)間傳遞的最大信息量是4； 第三類單位時(shí)間傳遞的最大信息量是6；第四類單位時(shí)間傳遞的最大信息量是6。所以由分類記數(shù)原理知道共有：3+4+6+6=19，故選D 變式訓(xùn)練4：7個(gè)相同的小球，任意放入4個(gè)不同的盒子，則每個(gè)盒子都不空的放法有多少種？ 解

10、：首先要清楚：“每個(gè)盒子都不空”的含義是“每個(gè)盒子里至少有1個(gè)球”。 于是，我們采用“隔板法”來解決。在7個(gè)小球中的每兩個(gè)之間分別有6個(gè)空，我們從6個(gè)空中任意選3個(gè)分別插入3塊隔板，則這3塊隔板就把7個(gè)小球分成4部分，而且每一部分至少有1個(gè)球。即有=20種方法，又每一種分割方法都對(duì)應(yīng)著一種放球的放法。所以共有20種放球放法。 注；（1）本題若采取“分類討論”的方法來解決，則顯得很麻煩；大家可以試一試。 （2）隔板法只能用于“各個(gè)元素不加區(qū)別”的情況，否則不能使用. 兩個(gè)原理的區(qū)別在于，前者每次得到的是最后的結(jié)果，后者每次得到的是中間結(jié)果，即每次僅完成整件事情的一部分，當(dāng)且僅當(dāng)幾個(gè)步驟全

11、部做完后，整件事情才算完成． 第2課時(shí) 排 列 基礎(chǔ)過關(guān) 1．一般地說，從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列． 排列的定義包含兩個(gè)基本內(nèi)容：一是“取出元素”；二是“按照一定順序排列”．因此當(dāng)元素完全相同，并且元素的排列順序也完全相同時(shí)，才是同一個(gè)排列． 2．從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)為不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)Amn表示．排列數(shù)公式Amn＝ ． 這里m≤n，其中等式的右邊是 個(gè)連續(xù)的自然數(shù)相乘，最大的是

12、 ，最小的是 ． 3．n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列，叫做n個(gè)不同元素的一個(gè)全排列，全排列數(shù)用Ann表示，它等于自然數(shù)從1到n的連乘積，自然數(shù)從1到n的連乘積叫做n的階乘，用 表示． 4．解有約束條件的排列問題的方法有直接法、間接法、元素位置分析法、插空法、捆綁法、枚舉法、對(duì)稱法、隔板法． 5．排列問題常用框圖來處理． 典型例題 例1、(1) 元旦前某宿舍的四位同學(xué)各寫一張賀卡先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀卡，則四張賀卡的不同分配有多少種？ (2) 同一排6張編號(hào)1，2，3，4，5，6的電影票分給4人，每人至少1張，至

13、多2張，且這兩張票有連續(xù)編號(hào)，則不同分法有多少種？ （3）（06湖南理14）某工程隊(duì)有6項(xiàng)工程需要單獨(dú)完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進(jìn)行，工程丙必須在工程乙完成后才能進(jìn)行，工程丁必須在工程丙完成后立即進(jìn)行．那么安排這6項(xiàng)工程的不同排法有多少種數(shù)？ 解：（1）分類：9種 （2）假設(shè)五個(gè)連續(xù)空位為一個(gè)整元素a，單獨(dú)一個(gè)空位為一個(gè)元素b，另4人為四個(gè)元素c1、c2、c3、c4．問題化為a,b,c1,c2,c3,c4的排列，條件是a,b不相鄰，共有＝48種； （3）將丙，丁看作一個(gè)元素，設(shè)想5個(gè)位置，只要其余2項(xiàng)工程選擇好位置，剩下3個(gè)位置按甲、乙（兩丁）中唯一的，故有＝20種 變式

14、訓(xùn)練1：有2個(gè)紅球、3個(gè)黃球、4個(gè)白球，同色球不加以區(qū)分, 將這9個(gè)球排成一列有 ____ 種不同的方法. 解：9個(gè)球排成一列有種排法,再除去2紅、3黃、4白的順序即可, 故共有排法種。 答案:1260 例2．5男4女站成一排，分別指出滿足下列條件的排法種數(shù) (1) 甲站正中間的排法有 種，甲不站在正中間的排法有 種． (2) 甲、乙相鄰的排法有 種，甲乙丙三人在一起的排法有 種． (3) 甲站在乙前的排法有 種，甲站在乙前，乙站在丙前（不要求一定相鄰）的排法有 種．丙

15、在甲乙之間（不要求一定相鄰）的排法有 種． (4) 甲乙不站兩頭的排法有 種，甲不站排頭，乙不站排尾的排法種有 種． (5) 5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有 種． (6) 女生互不相鄰的排法有 種，男女相間的排法有 種． (7) 甲與乙、丙都不相鄰的排法有 種，甲乙丙三人有且只有兩人相鄰的排法有 種． (8) 甲乙丙三人至少有1人在兩端的排法有 種． (9) 甲乙之間有且只有4人的排法有 種． 解：(1)8！, 88！ (2)

16、28！,67！(3) 9！, 1, 21 (4) 7!8?。?77！ (5) 25！4！ (6) 5！, 5！4！2 (7) 9?。?8！2＋27！, 36！2 (8) 9?。?！ (9) 捆綁法．24！ 也可用枚舉法247！ 變式訓(xùn)練2：從包含甲的若干名同學(xué)中選出4人分別參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)和英語競(jìng)賽，每名同學(xué)只能參加一種競(jìng)賽，且任2名同學(xué)不能參加同一種競(jìng)賽，若甲不參加物理和化學(xué)競(jìng)賽，則共有72種不同的參賽方法，問一共有多少名同學(xué)？ 解：5． 例3. 在4000到7000之間有多少個(gè)四個(gè)數(shù)字均不相同的偶數(shù) 解：分兩類． ①類5在千位上：15＝280 ②類

17、4或6在千位上：24＝448 故有280＋448＝728個(gè) 變式訓(xùn)練3：3張卡片的正反面上分別有數(shù)字0和1，3和4，5和6，當(dāng)把它們拼在一起組成三位數(shù)字的時(shí)可得到多少個(gè)不同的三位數(shù)（6可做9用） 解：若6不能做9用，由于0不能排百位，此時(shí)有542＝40個(gè)．這40個(gè)三位數(shù)中含數(shù)字6的有232＋142＝20個(gè)，故6可做9用時(shí)，可得三位數(shù)40＋20＝60個(gè) 例4. (1) 從6名短跑運(yùn)動(dòng)員中選4人參加4100米接力賽，問其中不跑第一棒的安排方法有多少種？ (2) 一排長椅上共有10個(gè)座位，現(xiàn)有4人就坐，恰有5個(gè)連續(xù)空位的坐法有多少種？ 解：（1）①先安排第四棒，再安排其他三棒的人選，故有

18、5＝300種 ② 60對(duì)． （2）假設(shè)五個(gè)連續(xù)空位為一個(gè)元素A，B為單獨(dú)一個(gè)空位元素，另4個(gè)為元素C1，C2，C3，C4間題轉(zhuǎn)化為A，B，C1，C2，C3，C4排列，條件A，B不相鄰，有＝480種. 變式訓(xùn)練4：某地奧運(yùn)火炬接力傳遞路線共分6段，傳遞活動(dòng)分別由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產(chǎn)生，則不同的傳遞方案共有 種．（用數(shù)字作答）． 解：96 小結(jié)歸納 1．解排列應(yīng)用問題首先必須認(rèn)真分析題意．看能否把問題歸結(jié)為排隊(duì)（即排列）問題，較簡單的排列問題常用框圖或樹型來處理（注意也有個(gè)別問題不能用框圖來

19、處理 如不相鄰問題等） 2．解有約束條件的排列問題的幾種策略． a. 特殊元素，特殊位置優(yōu)先定位（也有個(gè)別例外情況，見例1） b. 相鄰問題捆綁處理不相鄰問題插空處理 c. 正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)換 3．解排列應(yīng)用問題思路一定要清晰，并隨時(shí)注意轉(zhuǎn)換解題角度，通過練習(xí)要認(rèn)真理會(huì)解排列問題的各種方法． 4．由于排列問題的結(jié)果一般數(shù)目較大．不易直接驗(yàn)證，解題時(shí)要深入分析，嚴(yán)密周詳，要防止重復(fù)和遺漏．為此可用多種不同的方法求解看看結(jié)果是否相同． 第3課時(shí) 組 合 基礎(chǔ)過關(guān) 1．一般地說，從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)

20、組合． 2．排列與組合的共同點(diǎn)，就是都要“從n個(gè)不同元素中，任取個(gè)元素”，而不同點(diǎn)就是前者要“按一定的順序成一列”，而后者卻是“不論怎樣的順序并成一組”． 從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)Cmn表示． 組合數(shù)公式＝ ＝ 在求具體的組合數(shù)時(shí)，常用上面的公式，分子由連續(xù)個(gè)自然數(shù)之積，最大的數(shù)為，最小的數(shù)是，分母是，如果進(jìn)行抽象的證明時(shí)，一般常用下面的公式＝ ，它的分子是，分母是與的積． 3．組合數(shù)性質(zhì)： ① ② ③ ④ ⑤ 典型例題

21、 例1. 某培訓(xùn)班有學(xué)生15名，其中正副班長各一名，先選派5名學(xué)生參加某種課外活動(dòng). (1) 如果班長和副班長必須在內(nèi)有多少種選派法. (2) 如果班長和副班長有且只有1人在內(nèi)有多少種派法. (3) 如果班長和副班長都不在內(nèi)有多少種派法. (4) 如果班長和副班長至少有1人在內(nèi)，有多少種派法. 解；(1) ＝286 (2) ＝1430 (3) ＝1287 (4) －＝1716 變式訓(xùn)練1：從4名男生和3名女生中選4人參加某個(gè)座談會(huì)，若這4個(gè)人中必須既有男生又有女生，則不同的選法有 （ ） A．140 B．120 C．3

22、5 D．34 解：D 例2. 從4名男生和3名女生中選出3人,分別從事三項(xiàng)不同的工作,若這3人中至少有1名女生,則選派方案共有( ) A、108種 B、186種 C.216種 D、270種 解：沒有女生的選法有, 至少有1名女生的選法有種, 所以選派方案總共有：31=186種。 故選B. 變式訓(xùn)練2：從5位男教師和4位女教師中選出3位教師派到3個(gè)班擔(dān)任班主任(每班一位班主任)，要求這3位班主任中男女教師都要有，則不同的選派方案共有 （ ） A．210種 B．420種 C．630種 D．840種

23、 解：B 例3. (1) 把10本相同的書分給編號(hào)1,2,3的閱覽室，要求每個(gè)閱覽室分得的書數(shù)不大于其編號(hào)數(shù)，則不同的分法有多少種？ (2) 以平行六面體ABCD—A1B1C1D21的任意三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，從中隨機(jī)取出兩個(gè)三角形，則這兩個(gè)三角形不共面情況有多少種？ (3) 一次文藝演出中需要給舞臺(tái)上方安裝一排完全相同的彩燈15只，現(xiàn)以不同的亮燈方式來增加舞臺(tái)效果，設(shè)計(jì)者按照每次亮燈時(shí)恰好有6只是關(guān)的，且相鄰的燈不能同時(shí)關(guān)掉，兩端的燈必須要亮的要求進(jìn)行設(shè)計(jì)，求有多少不同的亮燈方式？ 解：（1）先在編號(hào)為1，2，3的閱覽室中依次放入0，1，2本書，再用隔板法分配剩下的書有＝15種，（

24、2）平行六面體中能構(gòu)成三角形個(gè)數(shù)＝56為任取兩個(gè)有種情況，其中共面的有12，因而不共面的有—12種 （3） 變式訓(xùn)練3：馬路上有編號(hào)為1， 2， 3， 4…..10的十盞路燈，為節(jié)約用電，又不影響照明可以把其中的三盞關(guān)掉，但不能關(guān)掉相鄰的兩盞，也不能關(guān)掉兩端的路燈，則滿足條件的關(guān)燈方法種數(shù)有_______種. 解：20 用插排法，把七盞亮燈排成一排，七盞亮燈之間有6個(gè)間隔，再將三盞不亮的燈插入其中的3個(gè)間隔，一種插法對(duì)應(yīng)一種關(guān)燈的方法，故有種關(guān)燈方法． 例4. 四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共有10個(gè)點(diǎn)， (1) 在其中取4個(gè)共面的點(diǎn)，共有多少種不同的取法？ (2) 在其中取4個(gè)不共

25、面的點(diǎn)，共有多少種不同的取法． 解：(1)四個(gè)點(diǎn)共面的取法可分三類．第一類：再同一個(gè)面上取，共有4個(gè)面；第二類：在一條棱上取三點(diǎn)，再在它所對(duì)的棱上取中點(diǎn)，共有6個(gè)面；第三類：在六條棱的六個(gè)中點(diǎn)中取，取兩對(duì)對(duì)棱的4個(gè)中點(diǎn)，共有＝3個(gè)面．故有69種． (2) 用間接法．共＝141個(gè)面． 變式訓(xùn)練4：在1， 2， 3…100這100個(gè)數(shù)中任選不同的兩個(gè)數(shù)，求滿足下列條件時(shí)各有多少種不同的取法． (1) 其和是3的倍數(shù) (2) 其差是3的倍數(shù)(大數(shù)減小數(shù)). (3) 相加，共有多少個(gè)不同的和. (4) 相乘，使其積為7的倍數(shù). 解：(1) 1650 (2) 1617 (3)

26、 197 (4)1295 小結(jié)歸納 1．解有關(guān)組合應(yīng)用問題時(shí)，首先要判斷這個(gè)問題是不是組合問題．區(qū)別組合問題和排列問題的唯一標(biāo)準(zhǔn)是“順序”．需要考慮順序的是排列問題不需要考慮順序的的才是組合問題． 2．要注意準(zhǔn)確理解“有且僅有” “至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等詞語的確切含義． 3．組合問題的一般可抽象為“選派”模型來處理．另外有的問題也可用框圖結(jié)合對(duì)應(yīng)思想來處理。 4．避免重復(fù)和遺漏． 第4課時(shí) 排列組合綜合題 基礎(chǔ)過關(guān) 1．解排列組合題中常用的方法有直接法、間接法、兩個(gè)原理、元素位置分析法、捆綁法、插空法、 枚舉法、隔板法、對(duì)稱法；常用的數(shù)

27、學(xué)思想主要有分類討論、思想轉(zhuǎn)化、化歸思想、對(duì)應(yīng)思想. 2．解排列組合綜合題一般要遵循以下的兩個(gè)原則(1)按元素性質(zhì)進(jìn)行分類(2)按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步. 3．處理排列組合綜合性問題時(shí)一般方法是先取(選)后排，但有時(shí)也可以邊取(選)邊排. 4．對(duì)于有多個(gè)約束條件的問題，先應(yīng)該深入分析每個(gè)約束條件，再綜合考慮如何分類或分步，但對(duì)于綜合性較強(qiáng)的問題則需要交叉使用兩個(gè)原理來解決問題. 典型例題 例1. 五個(gè)人站成一排，求在下列條件下的不同排法種數(shù)： （1）甲必須在排頭； （2）甲必須在排頭，并且乙在排尾； （3）甲、乙必須在兩端； （4）甲不在排頭，并且乙不在排尾； （5

28、）甲、乙不在兩端； （6）甲在乙前； （7）甲在乙前，并且乙在丙前； （8）甲、乙相鄰； （9）甲、乙相鄰，但是與丙不相鄰； （10）甲、乙、丙不全相鄰 解析：（1）特殊元素是甲，特殊位置是排頭；首先排“排頭”有種，再排其它4個(gè)位置有種，所以共有：=24種 （2）甲必須在排頭，并且乙在排尾的排法種數(shù)：=6種 （3）首先排兩端有種，再排中間有種， 所以甲、乙必須在兩端排法種數(shù)為：=12種 （4）甲不在排頭，并且乙不在排尾排法種數(shù)為：－2+=78種 （5）因?yàn)閮啥宋恢梅蠗l件的排法有種，中間位置符合條件的排法有種， 所以甲、乙不在兩端排法種數(shù)為=36種 （6）因?yàn)榧?、乙?/p>

29、有2！種順序，所以甲在乙前排法種數(shù)為：2！=60種 （7）因?yàn)榧?、乙、丙共?！種順序， 所以甲在乙前，并且乙在丙前排法種數(shù)為：3！=20種 （8）把甲、乙看成一個(gè)人來排有種，而甲、乙也存在順序變化，所以甲、乙相鄰排法種數(shù)為=48種 （9）首先排甲、乙、丙外的兩個(gè)有，從而產(chǎn)生3個(gè)空，把甲、乙看成一個(gè)人與丙插入這3個(gè)空中的兩個(gè)有，而甲、乙也存在順序變化，所以甲、乙相鄰，但是與丙不相鄰排法種數(shù)為=24種 （10）因?yàn)榧?、乙、丙相鄰有? 所以甲、乙、丙不全相鄰排法種數(shù)為－=84種 變式訓(xùn)練1：某棟樓從二樓到三樓共10級(jí)，上樓只許一步上一級(jí)或兩級(jí)，若規(guī)定從二樓到三樓用8步走完，則不同的上

30、樓方法有 （ ） A．45種 B．36種 C．28種 D．25種 解：C. 8步走10級(jí)，則其中有兩步走兩級(jí)，有6步走一級(jí)．一步走兩級(jí)記為a，一步走一級(jí)記為b，所求轉(zhuǎn)化為2個(gè)a和6個(gè)b排成一排，有多少種排法．故上樓的方法有C＝28種；或用插排法． 例2. (1) 某校從8名教師中選派4名教師同時(shí)去4個(gè)遠(yuǎn)地區(qū)支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能事去或同不去，則不同的選派方案菜有多少處？ (2) 5名乒乓選手的球隊(duì)中，有2名老隊(duì)員和3名新隊(duì)員，現(xiàn)從中選出3名隊(duì)員排成1、2、3號(hào)參加團(tuán)體比賽，則入選的3名隊(duì)員中至少有一名老隊(duì)員，且1、2號(hào)中至少有1名新

31、隊(duì)員的排法有多少種？ 解：（1）分類：第一為甲丙都去，第二類不去共有種 （2）分類：第一類兩名老隊(duì)員都去，第二類去一名老隊(duì)員共有種 變式訓(xùn)練2：某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的六個(gè)節(jié)目已安排成節(jié)目單，開演前又增加了三個(gè)新節(jié)目，如果將這三個(gè)節(jié)目插入原來的節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)是 （ ） A．504 B．210 C．336 D．120 解：A＝504 故選A 例3. 已知直線ax+by+c=0中的系數(shù)a，b，c是從集合{-3，-2，-1，0，1，2，3}中取出的三個(gè)不同的元素，且該直線的傾斜角為銳角，請(qǐng)問這樣的直線有多少條？ 解：首先把決定“直線條數(shù)”的特征性質(zhì)，

32、轉(zhuǎn)化為對(duì)“a，b，c”的情況討論。 設(shè)直線的傾斜角為，并且為銳角。 則tan=－＞0,不妨設(shè)a＞b,那么b＜0 當(dāng)c≠0時(shí),則a有3種取法,b有3種取法,c有4種取法,并且其中任意兩條直線不重合,所以這樣的直線有334=36條 當(dāng)c=0時(shí), a有3種取法,b有3種取法, 其中直線:3x-3y=0,2x-2y=0,x-y=0重合,所以這樣的直線有33-2=7條 故符合條件的直線有7+36=43條 變式訓(xùn)練3：將5名大學(xué)生畢業(yè)生分配到某公司所屬的三個(gè)部門中去，要求每個(gè)部門至少分配一人，則不同的分配方案共有______種. 解： 例4. 從集合{1，2，3，……20}中任選3個(gè)不同

33、的數(shù)，使這3個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，這樣的等差數(shù)列可以有多少個(gè)？ 解：a，b，c a，b，c成等差數(shù)列 要么同為奇數(shù)，要么同為偶數(shù)，故滿足題設(shè)的等差數(shù)列共有A＋A＝180(個(gè)) 變式訓(xùn)練4：某賽季足球比賽中的計(jì)分規(guī)則是：勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分，一球 隊(duì)打完15場(chǎng)，積33分，若不考慮順序，該隊(duì)勝負(fù)平的情況共有多少種？ 解：設(shè)該隊(duì)勝負(fù)平的情況是：勝x場(chǎng)，負(fù)y場(chǎng)，則平15－(x＋y)場(chǎng)，依題意有：x≥9 。故有3種情況，即勝、負(fù)、平的場(chǎng)數(shù)是：9，0，6；10，2，3；11，4，0． 小結(jié)歸納 1．排列組合應(yīng)用題的背景豐富無特定的模式和規(guī)律可循，背景陌生時(shí)，必須

34、認(rèn)真審題，把握問題的本質(zhì)特征，并善于把問題轉(zhuǎn)化為排列組合的常規(guī)模式進(jìn)而求解. 2．排列組合應(yīng)用題題形多變，但首先要弄清是有序還是無序，這是一個(gè)核心問題. 3．對(duì)于用直接法解較難的問題時(shí)，則采用間接法解. 基礎(chǔ)過關(guān) 第5課時(shí) 二項(xiàng)式定理 1．(a＋b)n＝ (n∈N)，這個(gè)公式稱做二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫做(a＋b)n的二項(xiàng)展開式，其中的系數(shù) 叫做二項(xiàng)式系數(shù)．式中的 叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用Tr＋1表示，即通項(xiàng)公式Tr＋1＝ 是表示展開式的第r＋1項(xiàng)． 2．二項(xiàng)式定理中，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)有： ① 在二項(xiàng)式展開式

35、中，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即： ② 如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等并且最大，即當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，n+1是奇數(shù)，展開式共有n+1項(xiàng)，中間一項(xiàng)，即： 第 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，為 ；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，n+1是偶數(shù)，展開式共有n+1項(xiàng)，中間兩項(xiàng)，即第 項(xiàng)及每 項(xiàng)，它們的二項(xiàng)式系數(shù)最大，為 ③ 二項(xiàng)式系數(shù)的和等于—————————，即———————————— ④ 二項(xiàng)展開式中，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和等于奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和＝ 即

36、 ⑤ 展開式中相鄰兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的比是： 3．二項(xiàng)式定理主要有以下應(yīng)用 ①近似計(jì)算 ②解決有關(guān)整除或求余數(shù)問題 ③用二項(xiàng)式定理證明一些特殊的不等式和推導(dǎo)組合公式（其做法稱為“賦值法”） 注意二項(xiàng)式定理只能解決一些與自然數(shù)有關(guān)的問題 ④ 楊輝三角形 典型例題 例1. (1) （06湖南理11）若(ax－1)5的展開式中x3的系數(shù)是－80，則實(shí)數(shù)a的值是 ． (2) （06湖北文8）在的展開式中，x的冪指數(shù)是整數(shù)的有 項(xiàng)． (3) (1+x)+(1+x)2+(1+x)3+……+(1+x)6展開式中x2項(xiàng)的系數(shù)為 ． 解：（

37、1）－2 （2）5項(xiàng) （3）35 變式訓(xùn)練1：若多項(xiàng)式, 則( ) A、9 B、10 C、－9 D、－10 解：根據(jù)左邊的系數(shù)為1,易知，左邊的系數(shù)為0,右邊的系數(shù)為,∴ 故選D。 例2. 已知f(x)＝(1+x)m+(1+x)n，其中m、n∈N展開式中x的一次項(xiàng)系數(shù)為11，問m、n為何值時(shí)，含x3項(xiàng)的系數(shù)取得最小值？最小值是多少？ 由題意，則含x3項(xiàng)的系數(shù)為＋ ，當(dāng)n＝5或6時(shí)x3系數(shù)取得最小值為30 變式訓(xùn)練2：分已知的展開式中第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比

38、為,其中,則展開式中常數(shù)項(xiàng)是( ) A、 －45i B、 45i C、 －45 D、45 解析： 第三項(xiàng),第五項(xiàng)的系數(shù)分別為, 依據(jù)題意有：, 整理得 即解方程(n－10)(n＋5)＝0 則只有n=10適合題意.由, 當(dāng) 時(shí),有r=8, 故常數(shù)項(xiàng)為=45 故選D 例3. 若求（）+（）+……+（） 解：對(duì)于式子： 令x=0，便得到：=1 令x=1，得到=1 又原式：（）+（）+……+（） = ∴原式：（）+（）+……+（）=2004 注意：“二項(xiàng)式系數(shù)”同二項(xiàng)式展開式中“項(xiàng)的系數(shù)”的區(qū)別與聯(lián)

39、系. 變式訓(xùn)練3：若，則的值是 （ ） A． B．1 C．0 D．2 解：A 例4. 已知二項(xiàng)式，（n∈N）的展開式中第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)的 比是10：1， （1）求展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和 （2）求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)以及二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng) 解：（1）∵第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)的比是10：1， ∴，解得n=8 令x=1得到展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為(1-2)=1 (2) 展開式中第r項(xiàng), 第r+1項(xiàng),第r+2項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值分別為,,, 若第r+1項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值最大,則必須滿足： ≤ 并且 ≤，解得5≤r≤6； 所以系數(shù)最大的項(xiàng)為T=179

40、2；二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T=1120 變式訓(xùn)練4：①已知()n的第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第三項(xiàng)的二項(xiàng)系數(shù)的比是14:3，求展開式中不含x的項(xiàng). ②求(x－1)－(x－1)2＋(x－1)3－(x－1)4＋(x－1)5的展開式中x2項(xiàng)的系數(shù). 解： 小結(jié)歸納 1．注意(a＋b)n及(a－b)n展開式中，通項(xiàng)公式分別為及這里且展開式都有n+1項(xiàng)，在使用時(shí)要注意兩個(gè)公式的區(qū)別，求二項(xiàng)式的展開式中的指定項(xiàng)，要扣住通項(xiàng)公式來解決問題． 2．二項(xiàng)式的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是兩個(gè)不同的概念，前者僅與二項(xiàng)式的指數(shù)及項(xiàng)數(shù)有關(guān)，與二項(xiàng)式無關(guān)，后者與二項(xiàng)式，二項(xiàng)式的指

41、數(shù)及項(xiàng)數(shù)均有關(guān)． 3．應(yīng)用二項(xiàng)式定理計(jì)算一個(gè)數(shù)的乘方的近似值時(shí)，應(yīng)根據(jù)題設(shè)中對(duì)精確度的要求，決定展開式中各項(xiàng)的取舍． 4．求余數(shù)或證明整除問題，被除數(shù)是冪指數(shù)問題時(shí)，解決問題的關(guān)鍵是將底數(shù)轉(zhuǎn)化為除數(shù)的倍數(shù)加1或減1．通過練習(xí)要仔細(xì)地去體會(huì)其中的變形技巧． 排列組合二項(xiàng)式定理章節(jié)測(cè)試題 一、選擇題： 1. 的展開式中的系數(shù)為（ ） A．10 B．5 C． D．1 1 2 3 3 1 2 2 3 1 2.將1，2，3填入的方格中，要求每行、每列都沒有重復(fù)數(shù)字，下面是一種填法，則不同的填寫方法共有（ ） A

42、．6種 B．12種 C．24種 D．48種 3. 的展開式中的系數(shù)是（ ） A． B． C．3 D．4 4.設(shè)則中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 5. 12名同學(xué)合影，站成前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法的總數(shù)是 ( ) A． B． C． D． 6.某班級(jí)要從4名男士、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務(wù)，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數(shù)為（ ） A.14 B.24

43、 C.28 D.48 7.從5名男生和5名女生中選3人組隊(duì)參加某集體項(xiàng)目的比賽，其中至少有一名女生入選的組隊(duì)方案數(shù)為（ ） A.100 B.110 C.120 D.180 8.某市擬從4個(gè)重點(diǎn)項(xiàng)目和6個(gè)一般項(xiàng)目中各選2個(gè)項(xiàng)目作為本年度啟動(dòng)的項(xiàng)目，則重點(diǎn)項(xiàng)目A和一般項(xiàng)目B至少有一個(gè)被選中的不同選法種數(shù)是( ) A．15 B．45 C．60 D．75 9. 展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（ ） A．1

44、 B． C． D． 10. 4張卡片上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為（ ） A． B． C． D． 11.一生產(chǎn)過程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人中安排4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排1人，第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1人，則不同的安排方案共有（ ） A．24種 B．36種 C．48種 D．72種 12.在的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是（ ） （A）-15 （B）85

45、 （C）-120 （D）274 13.若(x+)n的展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)，則展開式中x4項(xiàng)的系數(shù)為（ ） (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 二、填空題： 14.從10名男同學(xué)，6名女同學(xué)中選3名參加體能測(cè)試，則選到的3名同學(xué)中既有男同學(xué)又有女同學(xué)的不同選法共有 種（用數(shù)字作答） 15. 的展開式中常數(shù)項(xiàng)為 ；各項(xiàng)系數(shù)之和為 ．（用數(shù)字作答） 16.（x+）9展開式中x2的系數(shù)是 .（用數(shù)字作答） 17.記的展開式中第m項(xiàng)的系數(shù)為，

46、若，則=__________. 18. 展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 ． 19.的展開式中的系數(shù)為 ．(用數(shù)字作答) 20.某地奧運(yùn)火炬接力傳遞路線共分6段，傳遞活動(dòng)分別由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產(chǎn)生，則不同的傳遞方案共有 種．（用數(shù)字作答）． 21. 展開式中的系數(shù)為_______________。 22.從甲、乙等10名同學(xué)中挑選4名參加某校公益活動(dòng)，要求甲、乙中至少有1人參加，則不同的挑選方法共有_______________種。 23. 的二項(xiàng)展開式中的系數(shù)為

47、 （用數(shù)字作答）． 24.有4張分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的紅色卡片和4張分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的藍(lán)色卡片，從這8張卡片中取出4張卡片排成一行．如果取出的4張卡片所標(biāo)的數(shù)字之和等于10，則不同的排法共有 種（用數(shù)字作答）． 25.用1，2，3，4，5，6組成六位數(shù)（沒有重復(fù)數(shù)字），要求任何相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同，且1和2相鄰，這樣的六位數(shù)的個(gè)數(shù)是 （用數(shù)字作答) 三、解答題 26．由0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字。 （1）能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？ （2）能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？ （3）能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字且被25個(gè)整除的四位數(shù)？ （4）組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中比4032大的數(shù)有多少個(gè)？ 27．已知的展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列． （1）求n的值； （2）求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．