2011年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十一節(jié)變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 課下作業(yè) 新人教版

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1、第二章 第十一節(jié) 變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 題組一 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算 1.設(shè)f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，則x0＝ (　　) A．e2 B．e C. D．ln2 解析：f′(x)＝x×＋1×lnx＝1＋lnx，由1＋lnx0＝2， 知x0＝e. 答案：B 2．設(shè)f0(x)＝cosx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，則f2010(x)＝

2、 (　　) A．sinx B．－sinx C．cosx D．－cosx 解析：∵f1(x)＝(cosx)′＝－sinx，f2(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f3(x)＝(－cosx)′＝sinx，f4(x)＝(sinx)′＝cosx，…，由此可知fn(x)的值周期性重復(fù)出現(xiàn)，周期為4， 故f2010(x)＝f2(x)＝－cosx. 答案：D 3．(2009·安徽高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋x2＋tanθ，其中θ∈[0，]，則導(dǎo)數(shù)f′(1)的取值范圍是

3、 (　　) A．[－2,2] B．[，] C．[，2] D．[，2] 解析：∵f′(x)＝sinθ·x2＋cosθ·x， ∴f′(1)＝sinθ＋cosθ＝2sin(θ＋)． ∵θ∈[0，]，∴θ＋∈[，]． ∴sin(θ＋)∈[，1]，∴f′(1)∈[，2]． 答案：D 4．設(shè)f(x)＝(ax＋b)sinx＋(cx＋d)cosx，試確定常數(shù)a，b，c，d，使得f′(x)＝xcosx. 解：由已知f′(x)＝[(ax＋b)sinx＋(cx＋d)cosx]′ ＝[(ax＋b)

4、sinx]′＋[(cx＋d)cosx]′ ＝(ax＋b)′sinx＋(ax＋b)(sinx)′＋(cx＋d)′cosx＋(cx＋d)·(cosx)′ ＝asinx＋(ax＋b)cosx＋ccosx－(cx＋d)sinx ＝(a－cx－d)sinx＋(ax＋b＋c)cosx. 又∵f′(x)＝xcosx， ∴必須有即 解得a＝d＝1，b＝c＝0. 題組二 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 5.(2009·遼寧高考)曲線y＝在點(diǎn)(1，－1)處的切線方程為 (　　) A．y＝x－2 B．y＝－3x＋2 C．

5、y＝2x－3 D．y＝－2x＋1 解析：y′＝()′＝，∴k＝y(tǒng)′|x＝1＝－2. l：y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1. 答案：D 6．(2010·福建四地六校聯(lián)考)下列曲線的所有切線構(gòu)成的集合中，存在無(wú)數(shù)對(duì)互相垂直的切線的曲線是 (　　) A．f(x)＝ex B．f(x)＝x3 C．f(x)＝lnx D．f(x)＝sinx 解析：設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1，x2 則存在無(wú)數(shù)對(duì)互相垂直的切線，即f′(x1)·f′(x2)＝－1有無(wú)數(shù)對(duì)x1，x2使之成立 對(duì)于A由f′(x

6、)＝ex＞0， 所以不存在f′(x1)·f′(x2)＝－1成立； 對(duì)于B由于f′(x)＝3x2＞0， 所以也不存在f′(x1)·f′(x2)＝－1成立； 對(duì)于C由于f(x)＝lnx的定義域?yàn)?0，＋∞)， ∴f′(x)＝＞0， 對(duì)于Df′(x)＝cosx，∴f′(x1)·f′(x2)＝cosx1·cosx2，當(dāng)x1＝2kπ，x2＝(2k＋1)π，k∈Z，f′(x1)·f′(x2)＝－1恒成立． 答案：D 7．(2009·寧夏、海南高考)曲線y＝xex＋2x＋1在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為________________

7、． 解析：y′＝ex＋x·ex＋2，y′|x＝0＝3， ∴切線方程為y－1＝3(x－0)，∴y＝3x＋1. 答案：y＝3x＋1 8．(2009·福建高考)若曲線f(x)＝ax2＋lnx存在垂直于y軸的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析：f′(x)＝2ax＋. ∵f(x)存在垂直于y軸的切線， ∴f′(x)＝0有解，即2ax＋＝0有解， ∴a＝－，∴a∈(－∞，0)． 答案：(－∞，0) 9．已知函數(shù)f(x)＝x3＋x－16. (1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，－6)處的切線的方程； (2)直線l為曲線y＝f(x)的切線，且經(jīng)過原點(diǎn)，求

8、直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)； (3)如果曲線y＝f(x)的某一切線與直線y＝－x＋3垂直，求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線的方程． 解：(1)可判定點(diǎn)(2，－6)在曲線y＝f(x)上． ∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1， ∴在點(diǎn)(2，－6)處的切線的斜率為k＝f′(2)＝13. ∴切線的方程為y＝13(x－2)＋(－6)， 即y＝13x－32. (2)法一：設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)， 則直線l的斜率為f′(x0)＝3＋1， ∴直線l的方程為y＝(3＋1)(x－x0)＋＋x0－16， 又∵直線l過點(diǎn)(0,0)， ∴0＝(3＋1)(－x0)＋＋x0－16， 整理得，＝－8，∴x0＝

9、－2， ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直線l的方程為y＝13x，切點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，－26)． 法二：設(shè)直線l的方程為y＝kx，切點(diǎn)為(x0，y0)， 則k＝＝， 又∵k＝f′(x0)＝3＋1， ∴＝3＋1， 解之得x0＝－2， ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直線l的方程為y＝13x，切點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，－26)． (3)∵切線與直線y＝－＋3垂直， ∴切線的斜率k＝4. 設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0，y0)，則f′(x0)＝3＋1＝4， ∴x0＝±

10、;1， ∴或 切線方程為y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18. 即y＝4x－18或y＝4x－14. 題組三 導(dǎo)數(shù)的靈活應(yīng)用 10.下圖中，有一個(gè)是函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象，則f(－1)＝ (　　) A． B．－ C. D．－或 解析：∵f′(x)＝x2＋2ax＋(a2－1)， ∴導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象開口向上． 又∵a≠0，∴其圖象必

11、為第(3)個(gè)圖． 由圖象特征知f′(0)＝0，且－a＞0，∴a＝－1. 故f(－1)＝－－1＋1＝－. 答案：B 11．(文)(2010·開原模擬)設(shè)a＞0，f(x)＝a2＋bx＋c，曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處切線的傾斜角的取值范圍為[0，]，則點(diǎn)P到曲線y＝f(x)對(duì)稱軸距離的取值范圍為(　　) A．[0，] B．[0，] C．[0，||] D．[0，||] 解析：∵y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處切線的傾斜角的范圍為[0，]，∴0≤f′(x0)≤1，即0≤2ax0＋b≤1，∴－≤x0≤，∴0≤x0＋≤，即點(diǎn)

12、P到曲線y＝f(x)對(duì)稱軸的距離的取值范圍為[0，]． 答案：B (理)曲線y＝ln(2x－1)上的點(diǎn)到直線2x－y＋3＝0的最短距離是 (　　) A. B．2 C．3 D．0 解析：設(shè)曲線上過點(diǎn)P(x0，y0)的切線平行于直線2x－y＋3＝0，此切點(diǎn)到直線2x－y＋3＝0的距離最短，即斜率是2，則 y′|x＝x0＝[·(2x－1)′]|x＝x0 ＝|x＝x0＝＝2. 解得x0＝1，所以y0＝0，即點(diǎn)P(1,0)， 點(diǎn)P到直線2x－y＋3＝0的距離為＝， ∴曲線y＝ln(2x－1)上的點(diǎn)到直線2x－

13、y＋3＝0的最短距離是. 答案：A 12．(文)設(shè)t≠0，點(diǎn)P(t,0)是函數(shù)f(x)＝x3＋ax與g(x)＝bx2＋c的圖象的一個(gè)公共點(diǎn)，兩函數(shù)的圖象在點(diǎn)P處有相同的切線．試用t表示a，b，c. 解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)，g(x)的圖象都過點(diǎn)(t,0)， 所以f(t)＝0， 即t3＋at＝0.因?yàn)閠≠0，所以a＝－t 2. g(t)＝0，即bt2＋c＝0，所以c＝ab. 又因?yàn)閒(x)，g(x)在點(diǎn)(t,0)處有相同的切線， 所以f′(t)＝g′(t)． 而f′(x)＝3x2＋a，g′(x)＝2bx， 所以3t2＋a＝2bt. 將a＝－t2代入上式得b＝t.因此c＝ab＝－

14、t3. 故a＝－t2，b＝t，c＝－t3. (理)已知函數(shù)f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12，和直線m：y＝kx＋9，又f′(－1)＝0. (1)求a的值； (2)是否存在k的值，使直線m既是曲線y＝f(x)的切線，又是曲線y＝g(x)的切線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解：(1)f′(x)＝3ax2＋6x－6a，f′(－1)＝0， 即3a－6－6a＝0，∴a＝－2. (2)∵直線m恒過定點(diǎn)(0,9)，先求直線m是曲線y＝g(x)的切線，設(shè)切點(diǎn)為(x0,3＋6x0＋12)， ∵g′(x0)＝6x0＋6， ∴切線方程為y－(

15、3＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，將點(diǎn)(0,9)代入，得x0＝±1， 當(dāng)x0＝－1時(shí)，切線方程為y＝9； 當(dāng)x0＝1時(shí)，切線方程為y＝12x＋9. 由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，即有x＝－1或x＝2， 當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝f(x)的切線方程為y＝－18； 當(dāng)x＝2時(shí)，y＝f(x)的切線方程為y＝9. ∴公切線是y＝9. 又有f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，∴x＝0或x＝1. 當(dāng)x＝0時(shí)，y＝f(x)的切線方程為y＝12x－11； 當(dāng)x＝1時(shí)，y＝f(x)的切線方程為y＝12x－10， ∴公切線不是y＝12x＋9. 綜上所述公切線是y＝9，此時(shí)存在，k＝0.