2010高考數(shù)學導學練系列 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)教案 蘇教版

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1、函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 考綱導讀 （一）函數(shù) 1．了解構成函數(shù)的要素，了解映射的概念,會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域. 2．理解函數(shù)的三種表示法：解析法、圖象法和列表法，能根據(jù)不同的要求選擇恰當?shù)姆椒ū硎竞唵蔚暮瘮?shù)。 3．了解分段函數(shù)，能用分段函數(shù)來解決一些簡單的數(shù)學問題?！? 4．理解函數(shù)的單調性，會討論和證明一些簡單的函數(shù)的單調性；理解函數(shù)奇偶性的含義，會判斷簡單的函數(shù)奇偶性。 5．理解函數(shù)的最大（小）值及其幾何意義，并能求出一些簡單的函數(shù)的最大（小）值. 6．會運用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質. （二）指數(shù)函數(shù) 1．了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景。 2．理解有理指

2、數(shù)冪的含義，了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運算。 3．理解指數(shù)函數(shù)的概念，會求與指數(shù)函數(shù)性質有關的問題。 4．知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型。 （三）對數(shù)函數(shù) 1．理解對數(shù)的概念及其運算性質，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉化成自然對數(shù)或常用對數(shù)；了解對數(shù)在簡化運算中的作用。 2．理解對數(shù)函數(shù)的概念；會求與對數(shù)函數(shù)性質有關的問題. 3．知道對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型. 4．了解指數(shù)函數(shù) 與對數(shù)函數(shù) 互為反函數(shù)（ ）。 （四）冪函數(shù) 1．了解冪函數(shù)的概念。 2．結合函數(shù) 的圖像，了解它們的變化情況。 （五）函數(shù)與方程 1．了解函數(shù)零點的概念，結合二次函數(shù)的圖像，了解函數(shù)的

3、零點與方程根的聯(lián)系。 2．理解并掌握連續(xù)函數(shù)在某個區(qū)間上存在零點的判定方法。能利用函數(shù)的圖象和性質判別函數(shù)零點的個數(shù). （六）函數(shù)模型及其應用 1．了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長特征。知道直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義。 2．了解函數(shù)模型（如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型）的廣泛應用。 3．能利用給定的函數(shù)模型解決簡單的實際問題。 知識網(wǎng)絡 高考導航 根據(jù)考試大綱的要求，結合2009年高考的命題情況，我們可以預測2010年集合部分在選擇、填空和解答題中都有涉及，高考命題熱點有以下兩個方面：一

4、是集合的運算、集合的有關述語和符號、集合的簡單應用等作基礎性的考查，題型多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)；二是以函數(shù)、方程、三角、不等式等知識為載體，以集合的語言和符號為表現(xiàn)形式，結合簡易邏輯知識考查學生的數(shù)學思想、數(shù)學方法和數(shù)學能力，題型常以解答題的形式出現(xiàn). 函數(shù)是高考數(shù)學的重點內容之一，函數(shù)的觀點和思想方法貫穿整個高中數(shù)學的全過程，包括解決幾何問題.在近幾年的高考試卷中，選擇題、填空題、解答題三種題型中每年都有函數(shù)試題，而且?？汲Ｐ?以基本函數(shù)為模型的應用題和綜合題是高考命題的新趨勢. 考試熱點：①考查函數(shù)的表示法、定義域、值域、單調性、奇偶性、反函數(shù)和函數(shù)的圖象.②函數(shù)與方程、不等式、數(shù)

5、列是相互關聯(lián)的概念，通過對實際問題的抽象分析，建立相應的函數(shù)模型并用來解決問題，是考試的熱點.③考查運用函數(shù)的思想來觀察問題、分析問題和解決問題，滲透數(shù)形結合和分類討論的基本數(shù)學思想. 第1課時 函數(shù)及其表示 基礎過關 一、映射 1．映射：設A、B是兩個集合，如果按照某種對應關系f，對于集合A中的 元素，在集合B中都有 元素和它對應，這樣的對應叫做 到 的映射，記作 . 2．象與原象：如果f:A→B是一個A到B的映射，那么和A中的元素a對應的 叫做象，

6、 叫做原象。 二、函數(shù) 1．定義：設A、B是 ，f:A→B是從A到B的一個映射，則映射f:A→B叫做A到B的 ，記作 . 2．函數(shù)的三要素為 、 、 ，兩個函數(shù)當且僅當 分別相同時，二者才能稱為同一函數(shù)。 3．函數(shù)的表示法有 、 、 。 典型例題 例1.下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（ ）. A. B. C. D. 解：C 變式訓練1：下列函數(shù)中

7、，與函數(shù)y=x相同的函數(shù)是 （ ） A.y= B.y=()2 C.y=lg10x D.y= 解：C 例2.給出下列兩個條件：（1）f(+1)=x+2;(2)f(x)為二次函數(shù)且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.試分別求出f(x)的解析式. 解：（1）令t=+1,∴t≥1，x=（t-1）2. 則f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,即f(x)=x2-1,x∈［1，+∞). （2）設f(x)=ax2+bx+c (a≠0), ∴f(x+2

8、)=a(x+2)2+b(x+2)+c,則f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2. ∴，∴，又f(0)=3c=3,∴f(x)=x2-x+3. 變式訓練2：（1）已知f（）=lgx，求f（x）； （2）已知f（x）是一次函數(shù)，且滿足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，求f（x）； （3）已知f（x）滿足2f（x）+f（）=3x，求f（x）. 解：(1)令+1=t，則x=， ∴f（t）=lg，∴f（x）=lg,x∈(1,+∞). （2）設f（x）=ax+b，則 3f（x+1）-2f（x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+

9、5a=2x+17， ∴a=2，b=7，故f（x）=2x+7. （3）2f（x）+f（）=3x， ① 把①中的x換成，得2f（）+f（x）= ② ①×2-②得3f（x）=6x-，∴f（x）=2x-. 例3. 等腰梯形ABCD的兩底分別為AD=2a，BC=a，∠BAD=45°，作直線MN⊥AD交AD于M，交折線ABCD于N，記AM=x，試將梯形ABCD位于直線MN左側的面積y表示為x的函數(shù)，并寫出函數(shù)的定義域. 解：作BH⊥AD，H為垂足，CG⊥AD，G為垂足， 依題意，則有AH=，AG=a. （1）當M位于點H的左側時，N∈AB， 由于AM=x

10、，∠BAD=45°.∴MN=x.∴y=S△AMN=x2（0≤x≤）. （2）當M位于HG之間時，由于AM=x，∴MN=，BN=x-. ∴y=S AMNB =［x+（x-）］=ax- （3）當M位于點G的右側時，由于AM=x，MN=MD=2a-x. ∴y=S ABCD-S△MDN= 綜上：y= 變式訓練3：已知函數(shù)f(x)= （1）畫出函數(shù)的圖象；（2）求f(1)，f(-1),f的值. 解：（1）分別作出f(x)在x＞0,x=0,x＜0段上的圖象，如圖所示，作法略. 小結歸納 （2）f(1)=12=1,f(-1)=-f=f(1)=1. 1．了解映射的概念

11、，應緊扣定義，抓住任意性和唯一性． 2．函數(shù)的解析式常用求法有：待定系數(shù)法、換元法（或湊配法）、解方程組法．使用換元法時，要注意研究定義域的變化． 3．在簡單實際問題中建立函數(shù)式，首先要選定變量，然后尋找等量關系，求得函數(shù)的解析式，還要注意定義域．若函數(shù)在定義域的不同子集上的對應法則不同，可用分段函數(shù)來表示． 第2課時 函數(shù)的定義域和值域 基礎過關 一、定義域： 1．函數(shù)的定義域就是使函數(shù)式 的集合. 2．常見的三種題型確定定義域： ① 已知函數(shù)的解析式，就是 . ② 復合函數(shù)f [g(x)]的有關定義域，就要保證內函數(shù)

12、g(x)的 域是外函數(shù)f (x)的 域. ③實際應用問題的定義域，就是要使得 有意義的自變量的取值集合. 二、值域： 1．函數(shù)y＝f (x)中，與自變量x的值 的集合. 2．常見函數(shù)的值域求法，就是優(yōu)先考慮 ，取決于 ，常用的方法有：①觀察法；②配方法；③反函數(shù)法；④不等式法；⑤單調性法；⑥數(shù)形法；⑦判別式法；⑧有界性法；⑨換元法（又分為 法和 法） 例如：① 形如y＝，可采用 法；② y＝，可采用 法或

13、 法；③ y＝a[f (x)]2＋bf (x)＋c，可采用 法；④ y＝x－，可采用 法；⑤ y＝x－，可采用 法；⑥ y＝可采用 法等. 典型例題 例1. 求下列函數(shù)的定義域： （1）y=; (2)y=; (3)y=. 解：（1）由題意得化簡得 即故函數(shù)的定義域為{x|x＜0且x≠-1}. （2）由題意可得解得 故函數(shù)的定義域為{x|-≤x≤且x≠±}. （3）要使函數(shù)有意義，必須有 即∴x≥1,故函數(shù)的定義域為［1，+∞）. 變式訓練1：求下列函數(shù)的定

14、義域： （1）y=+(x-1)0 ; (2)y=+(5x-4)0; (3)y=+lgcosx; 解：（1）由得所以-3＜x＜2且x≠1. 故所求函數(shù)的定義域為（-3，1）∪(1,2). （2）由得∴函數(shù)的定義域為 （3）由,得 借助于數(shù)軸，解這個不等式組，得函數(shù)的定義域為 例2. 設函數(shù)y=f(x)的定義域為［0，1］，求下列函數(shù)的定義域. （1）y=f(3x); (2)y=f(); (3)y=f(; (4)y=f(x+a)+f(x-a). 解：（1）0≤3x≤1,故0≤x≤

15、,y=f(3x)的定義域為［0, ］. （2）仿（1）解得定義域為［1，+∞). （3）由條件，y的定義域是f與定義域的交集. 列出不等式組 故y=f的定義域為. （４）由條件得討論： ①當即0≤a≤時，定義域為［a,1-a］; ②當即-≤a≤0時，定義域為［-a,1+a］. 綜上所述：當0≤a≤時，定義域為［a，1-a］；當-≤a≤0時，定義域為［-a，1+a］. 變式訓練2：若函數(shù)f(x)的定義域是［0，1］，則f(x+a)·f(x-a)（0＜a＜）的定義域是 （ ） A. B.［a，1-a］ C.［-a，1

16、+a］ D.［0，1］ 解：B 例3. 求下列函數(shù)的值域： （1）y= (2)y=x-; (3)y=. 解：（1）方法一 （配方法） ∵y=1-而 ∴0＜∴∴值域為. 方法二 （判別式法） 由y=得(y-1) ∵y=1時,1.又∵R，∴必須=(1-y)2-4y(y-1)≥0. ∴∵∴函數(shù)的值域為. （2）方法一 （單調性法） 定義域，函數(shù)y=x,y=-均在上遞增， 故y≤ ∴函數(shù)的值域為. 方法二 （換元法） 令=t,則t≥0，且x=∴y=-（t+1）2+1≤（t≥

17、0）, ∴y∈（-∞，］. （3）由y=得,ex=∵ex＞0,即＞0,解得-1＜y＜1. ∴函數(shù)的值域為{y|-1＜y＜1}. 變式訓練3：求下列函數(shù)的值域： （1）y=; (2)y=|x|. 解：（1）(分離常數(shù)法)y=-，∵≠0, ∴y≠-.故函數(shù)的值域是{y|y∈R,且y≠-}. (2)方法一 (換元法) ∵1-x2≥0,令x=sin,則有y=|sincos|=|sin2|, 故函數(shù)值域為［0，］. 方法二 y=|x|· ∴0≤y≤即函數(shù)的值域為. 例4．若函數(shù)f（x）=x2-x+a的定義域和值域均為［1，b］

18、（b＞1），求a、b的值. 解：∵f（x）=(x-1)2+a-. ∴其對稱軸為x=1，即［1，b］為f（x）的單調遞增區(qū)間. ∴f（x）min=f（1）=a-=1 ① f（x）max=f（b）=b2-b+a=b ② 由①②解得 變式訓練4：已知函數(shù)f(x)=x2-4ax+2a+6 (x∈R). （1）求函數(shù)的值域為［0，+∞)時的a的值； （2）若函數(shù)的值均為非負值，求函數(shù)f(a)=2-a|a+3|的值域. 解： (1）∵函數(shù)的值域為［0，+∞), ∴Δ=16a2-4(2a+6)=02a2-a-3=0∴a=-1或a=.

19、 （2）對一切x∈R，函數(shù)值均非負,∴Δ=8(2a2-a-3)≤0-1≤a≤,∴a+3＞0, ∴f(a)=2-a(a+3)=-a2-3a+2=-(a+)2+(a). ∵二次函數(shù)f(a)在上單調遞減，∴f（a）min=f=-，f（a）max=f（-1）=4， ∴f(a)的值域為. 小結歸納 1．求函數(shù)的定義域一般有三類問題：一是給出解釋式（如例1），應抓住使整個解式有意義的自變量的集合；二是未給出解析式（如例2），就應抓住內函數(shù)的值域就是外函數(shù)的定義域；三是實際問題，此時函數(shù)的定義域除使解析式有意義外，還應使實際問題或幾何問題有意義. 2．求函數(shù)的值域沒有通用方法和固

20、定模式，除了掌握常用方法（如直接法、單調性法、有界性法、配方法、換元法、判別式法、不等式法、圖象法）外，應根據(jù)問題的不同特點，綜合而靈活地選擇方法. 第3課時 函數(shù)的單調性 基礎過關 一、單調性 1．定義：如果函數(shù)y＝f (x)對于屬于定義域I內某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1、、x2，當x1、

21、一個單調區(qū)間，則f(x)稱為 . 2．判斷單調性的方法： (1) 定義法，其步驟為：① ；② ；③ . (2) 導數(shù)法，若函數(shù)y＝f (x)在定義域內的某個區(qū)間上可導，①若 ，則f (x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)；②若 ，則f (x)在這個區(qū)間上是減函數(shù). 二、單調性的有關結論 1．若f (x), g(x)均為增(減)函數(shù)，則f (x)＋g(x) 函數(shù)； 2．若f (x)為增(減)函數(shù)，則－f (x)為 ； 3．互為反函數(shù)的兩個函數(shù)有 的

22、單調性； 4．復合函數(shù)y＝f [g(x)]是定義在M上的函數(shù)，若f (x)與g(x)的單調相同，則f [g(x)]為 ，若f (x), g(x)的單調性相反，則f [g(x)]為 . 5．奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調性 ，偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調性 . 典型例題 例1. 已知函數(shù)f(x)=ax+ (a＞1)，證明：函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù). 證明 方法一 任取x1,x2∈(-1,+∞), 不妨設x1＜x2,則x2-x1＞0, ＞1且＞0, ∴，又∵x1+1＞0,x2+1＞0, ∴＞0,

23、 于是f(x2)-f(x1)=+＞0, 故函數(shù)f(x)在（-1,+∞）上為增函數(shù). 方法二 f(x)=ax+1-(a＞1), 求導數(shù)得=axlna+,∵a＞1,∴當x＞-1時，axlna＞0,＞0, ＞0在（-1，+∞）上恒成立，則f(x)在（-1,+∞）上為增函數(shù). 方法三 ∵a＞1,∴y=ax為增函數(shù)， 又y=，在（-1，+∞）上也是增函數(shù). ∴y=ax+在（-1，+∞）上為增函數(shù). 變式訓練1：討論函數(shù)f（x）=x+（a＞0）的單調性. 解：方法一 顯然f（x）為奇函數(shù)，所以先討論函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調性， 設x1＞x2＞0,則

24、 f(x1)-f(x2) =（x1+）-（x2+）=(x1-x2)·（1-）. ∴當0＜x2＜x1≤時，＞1, 則f（x1）-f（x2）＜0，即f(x1)＜f(x2),故f（x）在（0，］上是減函數(shù). 當x1＞x2≥時，0＜＜1，則f（x1）-f（x2）＞0,即f(x1)＞f(x2), 故f（x）在［，+∞）上是增函數(shù).∵f（x）是奇函數(shù)， ∴f（x）分別在（-∞，-］、［，+∞）上為增函數(shù)； f（x）分別在［-，0）、（0，］上為減函數(shù). 方法二 由=1-=0可得x=± 當x＞或x＜-時，＞0∴f（x）分別在（，+∞）、（-∞，-］上是增函數(shù). 同理0＜x

25、＜或-＜x＜0時，＜0 即f（x）分別在（0，］、［-，0）上是減函數(shù). 例2. 判斷函數(shù)f(x)=在定義域上的單調性. 解： 函數(shù)的定義域為{x|x≤-1或x≥1}, 則f(x)= , 可分解成兩個簡單函數(shù). f(x)= =x2-1的形式.當x≥1時，u(x)為增函數(shù)，為增函數(shù). ∴f（x）=在［1，+∞)上為增函數(shù).當x≤-1時，u（x)為減函數(shù)，為減函數(shù)， ∴f(x)=在（-∞,-1］上為減函數(shù). 變式訓練2：求函數(shù)y=（4x-x2）的單調區(qū)間. 解： 由4x-x2＞0，得函數(shù)的定義域是（0，4）.令t=4x-x2，則y=t. ∵t=4x-x2=

26、-（x-2）2+4，∴t=4x-x2的單調減區(qū)間是［2，4），增區(qū)間是（0，2］. 又y=t在（0，+∞）上是減函數(shù)， ∴函數(shù)y=（4x-x2）的單調減區(qū)間是（0，2］，單調增區(qū)間是［2，4). 例3. 求下列函數(shù)的最值與值域： （1）y=4-; (2)y=x+;(3)y=. 解：（1）由3+2x-x2≥0得函數(shù)定義域為［-1，3］，又t=3+2x-x2=4-(x-1)2. ∴t∈［0，4］，∈［0，2］， 從而，當x=1時，ymin=2，當x=-1或x=3時，ymax=4.故值域為［2，4］. (2)方法一 函數(shù)y=x+是定義域為{x|x≠0}上的奇函數(shù),故其圖

27、象關于原點對稱,故只討論 x＞0時,即可知x＜0時的最值. ∴當x＞0時,y=x+≥2=4，等號當且僅當x=2時取得.當x＜0時，y≤-4, 等號當且僅當x=-2時取得.綜上函數(shù)的值域為（-∞，-4］∪［4，+∞），無最值. 方法二 任取x1,x2,且x1＜x2, 因為f(x1)-f(x2)=x1+-(x2+)= 所以當x≤-2或x≥2時，f(x)遞增,當-2＜x＜0或0＜x＜2時，f(x)遞減. 故x=-2時，f(x)最大值=f(-2)=-4,x=2時，f(x)最小值=f(2)=4, 所以所求函數(shù)的值域為（-∞，-4］∪［4，+∞），無最大（小）值. （

28、3）將函數(shù)式變形為y=, 可視為動點M（x,0）與定點A（0，1）、B（2，-2）距離之和，連結AB，則直線AB與x軸的交點（橫坐標）即為所求的最小值點. ymin=|AB|=，可求得x=時，ymin=. 顯然無最大值.故值域為［，+∞）. 變式訓練3：在經(jīng)濟學中，函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)Mf(x)定義為Mf（x）=f（x+1）-f（x）.某公司每月最多生產100臺報警系統(tǒng)裝置，生產x（x＞0）臺的收入函數(shù)為R（x）=3 000x-20x2 (單位：元)，其成本函數(shù)為C（x）=500x+4 000（單位：元），利潤是收入與成本之差. （1）求利潤函數(shù)P（x）及邊際利潤函數(shù)M

29、P（x）； （2）利潤函數(shù)P（x）與邊際利潤函數(shù)MP（x）是否具有相同的最大值？ 解：（1）P（x）=R（x）-C（x）=（3 000x-20x2）-（500x+4 000）=-20x2+2 500x-4 000 （x∈［1，100］且x∈N,） MP（x）=P（x+1）-P（x）=-20（x+1）2+2 500（x+1）-4 000-（-20x2+2 500x-4 000） =2 480-40x （x∈［1，100］且x∈N）. （2）P（x）=-20(x-2+74 125，當x=62或63時，P(x)max=74 120（元）. 因為MP（x）=2 480-40x是減

30、函數(shù)，所以當x=1時，MP(x)max=2 440(元）. 因此，利潤函數(shù)P（x）與邊際利潤函數(shù)MP（x）不具有相同的最大值. 例4．（2009·廣西河池模擬）已知定義在區(qū)間（0，+∞）上的函數(shù)f(x)滿足f(=f(x1)-f(x2)，且當x＞1時，f(x)＜0. （1）求f(1)的值； （2）判斷f(x）的單調性； （3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2. 解：（1）令x1=x2＞0,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0. （2）任取x1,x2∈(0,+∞)，且x1＞x2,則＞1,由于當x＞1時，f(x)＜0, 所以f＜0,即f

31、(x1)-f(x2)＜0,因此f(x1)＜f(x2), 所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是單調遞減函數(shù). （3）由f()=f(x1)-f(x2)得f(=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2. 由于函數(shù)f(x)在區(qū)間（0,+∞）上是單調遞減函數(shù)， 由f(|x|)＜f(9),得|x|＞9,∴x＞9或x＜-9.因此不等式的解集為{x|x＞9或x＜-9}. 變式訓練4：函數(shù)f(x)對任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且當x＞0時，f(x)＞1. （1）求證：f(x)是R上的增函數(shù)； （2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-

32、m-2)＜3. 解：（1）設x1,x2∈R，且x1＜x2, 則x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＞1. f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1＞0. ∴f（x2）＞f(x1). 即f(x)是R上的增函數(shù). （2）∵f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5， ∴f（2）=3， ∴原不等式可化為f(3m2-m-2)＜f(2), ∵f(x)是R上的增函數(shù)，∴3m2-m-2＜2, 小結歸納 解得-1＜m＜,故解集為（-1,）. 1．證明一個函數(shù)在區(qū)間D

33、上是增(減)函數(shù)的方法有：(1) 定義法.其過程是：作差——變形——判斷符號，而最常用的變形是將和、差形式的結構變?yōu)榉e的形式的結構；(2) 求導法.其過程是：求導——判斷導函數(shù)的符號——下結論. 2．確定函數(shù)單調區(qū)間的常用方法有：(1)觀察法；(2)圖象法（即通過畫出函數(shù)圖象，觀察圖象，確定單調區(qū)間）；(3)定義法；(4)求導法.注意：單調區(qū)間一定要在定義域內. 3．含有參量的函數(shù)的單調性問題，可分為兩類：一類是由參數(shù)的范圍判定其單調性；一類是給定單調性求參數(shù)范圍，其解法是由定義或導數(shù)法得到恒成立的不等式，結合定義域求出參數(shù)的取值范圍. 第4課時 函數(shù)的奇偶性 基礎過關

34、 1．奇偶性： ① 定義：如果對于函數(shù)f (x)定義域內的任意x都有 ，則稱f (x)為奇函數(shù)；若 ，則稱f (x)為偶函數(shù). 如果函數(shù)f (x)不具有上述性質，則f (x)不具有 . 如果函數(shù)同時具有上述兩條性質，則f (x) . ② 簡單性質： 1） 圖象的對稱性質：一個函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關于 對稱；一個函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關于 對稱. 2） 函數(shù)f(x)具有奇偶性的必要條件是其定義域關于 對稱. 2．與

35、函數(shù)周期有關的結論： ①已知條件中如果出現(xiàn)、或（、均為非零常數(shù)，），都可以得出的周期為 ； ②的圖象關于點中心對稱或的圖象關于直線軸對稱，均可以得到周期 典型例題 例1. 判斷下列函數(shù)的奇偶性. （1）f(x)=; (2)f(x)=log2(x+) (x∈R); (3)f(x)=lg|x-2|. 解：（1）∵x2-1≥0且1-x2≥0,∴x=±1,即f(x)的定義域是{-1，1}. ∵f（1）=0，f(-1)=0,∴f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1), 故f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

36、（2）方法一 易知f(x)的定義域為R， 又∵f(-x)=log2［-x+］=log2=-log2(x+)=-f(x), ∴f(x)是奇函數(shù). 方法二 易知f(x)的定義域為R， 又∵f（-x）+f（x）=log2［-x+］+log2(x+)=log21=0,即f(-x)=-f(x), ∴f(x)為奇函數(shù). （3）由|x-2|＞0，得x≠2. ∴f（x）的定義域{x|x≠2}關于原點不對稱，故f(x)為非奇非偶函數(shù). 變式訓練1：判斷下列各函數(shù)的奇偶性： （1）f（x）=（x-2）； （2）f（x）=； （3）f（x）= 解：（1）由≥0，得定

37、義域為［-2，2），關于原點不對稱，故f（x）為非奇非偶函數(shù). （2）由得定義域為（-1，0）∪（0，1）. 這時f（x）=. ∵f（-x）=-∴f（x）為偶函數(shù). （3）x＜-1時，f（x）=x+2，-x＞1,∴f（-x）=-（-x）+2=x+2=f（x）. x＞1時，f（x）=-x+2，-x＜-1，f(-x)=x+2=f(x). -1≤x≤1時，f（x）=0，-1≤-x≤1,f（-x）=0=f（x）. ∴對定義域內的每個x都有f（-x）=f（x）.因此f（x）是偶函數(shù). 例2 已知函數(shù)f(x),當x,y∈R時，恒有f(x+y)=f(x)+f(y). （

38、1）求證：f(x)是奇函數(shù)； （2）如果x∈R+，f（x）＜0,并且f(1)=-,試求f(x)在區(qū)間［-2，6］上的最值. （1）證明： ∵函數(shù)定義域為R，其定義域關于原點對稱. ∵f（x+y）=f（x）+f（y），令y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0, ∴f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.∴f（x）+f（-x）=0，得f(-x)=-f(x), ∴f(x)為奇函數(shù). （2）解：方法一 設x,y∈R+，∵f（x+y）=f（x）+f（y）， ∴f（x+y）-f（x）=f（y）.∵x∈R+，f（x）＜0, ∴f(x+y)-f(x

39、)＜0,∴f(x+y)＜f(x). ∵x+y＞x,∴f(x)在（0，+∞）上是減函數(shù).又∵f（x）為奇函數(shù)，f（0）=0， ∴f（x）在（-∞,+∞）上是減函數(shù).∴f（-2）為最大值，f(6)為最小值. ∵f(1)=-,∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2［f（1）+f（2）］=-3. ∴所求f(x)在區(qū)間［-2，6］上的最大值為1，最小值為-3. 方法二 設x1＜x2,且x1,x2∈R. 則f(x2-x1)=f［x2+(-x1)］=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1). ∵x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＜0.∴

40、f(x2)-f(x1)＜0.即f(x)在R上單調遞減. ∴f（-2）為最大值，f（6）為最小值.∵f（1）=-， ∴f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，f（6）=2f（3）=2［f（1）+f（2）］=-3. ∴所求f(x）在區(qū)間［-2，6］上的最大值為1，最小值為-3. 變式訓練2：已知f(x)是R上的奇函數(shù)，且當x∈(-∞,0)時，f(x)=-xlg(2-x),求f(x)的解析式. 解：∵f（x）是奇函數(shù)，可得f(0)=-f(0),∴f(0)=0. 當x＞0時，-x＜0,由已知f(-x)=xlg(2+x),∴-f（x）=xlg（2+x）， 即f（x）=-x

41、lg(2+x) （x＞0）.∴f(x)= 即f(x)=-xlg(2+|x|) (x∈R). 例3 已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且滿足f(x+2)=-f(x). （1）求證：f(x)是周期函數(shù)； （2）若f(x)為奇函數(shù)，且當0≤x≤1時，f(x)=x,求使f(x)=-在［0，2 009］上的所有x的個數(shù). （1）證明： ∵f（x+2）=-f（x）， ∴f（x+4）=-f（x+2）=-［-f（x）］=f（x）， ∴f（x）是以4為周期的周期函數(shù). （2）解： 當0≤x≤1時，f(x)=x, 設-1≤x≤0,則0≤-x≤1,∴f（-x）=（-x）=-x. ∵

42、f(x)是奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x）, ∴-f（x）=-x，即f(x)= x. 故f(x)= x(-1≤x≤1) 又設1＜x＜3,則-1＜x-2＜1, ∴f(x-2)=(x-2), 又∵f（x-2）=-f（2-x）=-f（（-x）+2）=-［-f（-x）］=-f（x）， ∴-f（x）=（x-2）， ∴f（x）=-（x-2）（1＜x＜3）. ∴f（x）= 由f(x)=-,解得x=-1. ∵f（x）是以4為周期的周期函數(shù).故f(x)=-的所有x=4n-1 (n∈Z). 令0≤4n-1≤2 009,則≤n≤, 又∵n∈Z，∴1≤n≤502 （n

43、∈Z）, ∴在［0，2 009］上共有502個x使f(x)=-. 變式訓練3：已知函數(shù)f(x)=x2+|x-a|+1,a∈R. （1）試判斷f(x)的奇偶性； （2）若-≤a≤，求f(x)的最小值. 解：(1)當a=0時，函數(shù)f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x), 此時,f(x)為偶函數(shù).當a≠0時，f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1, f(a)≠f(-a),f(a)≠-f(-a),此時，f(x) 為非奇非偶函數(shù). （2）當x≤a時,f(x)=x2-x+a+1=(x-)2+a+, ∵a≤,故函數(shù)f(x)在（-∞，a］上單調遞減， 從

44、而函數(shù)f(x)在（-∞，a］上的最小值為f(a)=a2+1. 當x≥a時，函數(shù)f(x)=x2+x-a+1=(x+)2-a+, ∵a≥-，故函數(shù)f(x)在［a，+∞）上單調遞增，從而函數(shù)f(x)在［a，+∞)上的 最小值為f(a)=a2+1. 綜上得，當-≤a≤時，函數(shù)f(x)的最小值為a2+1. 小結歸納 1．奇偶性是某些函數(shù)具有的一種重要性質，對一個函數(shù)首先應判斷它是否具有這種性質. 判斷函數(shù)的奇偶性應首先檢驗函數(shù)的定義域是否關于原點對稱，然后根據(jù)奇偶性的定義判斷（或證明）函數(shù)是否具有奇偶性. 如果要證明一個函數(shù)不具有奇偶性，可以在定義域內找到一對非零實數(shù)a與－a

45、，驗證f(a)±f(－a)≠0. 2．對于具有奇偶性的函數(shù)的性質的研究，我們可以重點研究y軸一側的性質，再根據(jù)其對稱性得到整個定義域上的性質. 3．函數(shù)的周期性：第一應從定義入手，第二應結合圖象理解. 第5課時 指數(shù)函數(shù) 基礎過關 1．根式： (1) 定義：若，則稱為的次方根 ① 當為奇數(shù)時，次方根記作__________； ② 當為偶數(shù)時，負數(shù)沒有次方根，而正數(shù)有兩個次方根且互為相反數(shù)，記作________(a>0). (2) 性質： ① ； ② 當為奇數(shù)時，； ③ 當為偶數(shù)時，_______＝ 2．指數(shù)： (1) 規(guī)定： ① a0＝

46、 (a≠0)； ② a-p＝ ； ③ . (2) 運算性質： ① (a>0, r、Q) ② (a>0, r、Q) ③ (a>0, r、Q) 注：上述性質對r、R均適用. 3．指數(shù)函數(shù)： ① 定義：函數(shù) 稱為指數(shù)函數(shù)，1) 函數(shù)的定義域為 ；2) 函數(shù)的值域為 ；3) 當________時函數(shù)為減函數(shù)，當_______時為增函數(shù). ② 函數(shù)圖像： 1) 過點 ，圖象在

47、 ；2) 指數(shù)函數(shù)以 為漸近線(當時，圖象向 無限接近軸，當時，圖象向 無限接近x軸)；3)函數(shù)的圖象關于 對稱. ③ 函數(shù)值的變化特征： ① ② ③ ① ② ③ 典型例題 例1. 已知a=,b=9.求： （1） （2）. 解：（1）原式=.÷［a·］= =a. ∵a=，∴原式=3. （2）方法一 化去負指數(shù)后解. ∵a=∴a+b= 方法二 利用運算性質解. ∵a=∴a+b

48、= 變式訓練1：化簡下列各式（其中各字母均為正數(shù)）: （1） （2） 解：（1）原式= （2）原式=- 例2. 函數(shù)f(x)=x2-bx+c滿足f(1+x)=f(1-x)且f(0)=3,則f(bx)與f(cx)的大小關系是 （ ） A.f(bx)≤f(cx) B.f(bx)≥f(cx) C.f(bx)＞f(cx) D.大小關系隨x的不同而不同 解：A 變式訓練2：已知實數(shù)a、b滿足等式，下列五個關系式：①0＜b＜a;②a＜b＜0;③0＜a＜b;④b＜a＜0;⑤a=b.

49、其中不可能成立的關系式有 （ ） A.1個  B.2個 C.3個 D.4個 解：B 例3. 求下列函數(shù)的定義域、值域及其單調區(qū)間： （1）f(x)=3;（2）g(x)=-(. 解：（1）依題意x2-5x+4≥0,解得x≥4或x≤1, ∴f（x）的定義域是（-∞，1］∪［4，+∞）. 令u=∵x∈（-∞，1］∪［4，+∞）， ∴u≥0，即≥0，而f(x)=3≥30=1, ∴函數(shù)f(x)的值域是［1，+∞）. ∵u=,∴當x∈（-∞，1］時，u是減函數(shù)，

50、當x∈［4，+∞）時，u是增函數(shù).而3＞1,∴由復合函數(shù)的單調性可知， f（x）=3在（-∞，1］上是減函數(shù)，在［4，+∞）上是增函數(shù). 故f（x）的增區(qū)間是［4，+∞），減區(qū)間是（-∞，1］. （2）由g(x)=-( ∴函數(shù)的定義域為R，令t=(x (t＞0),∴g(t)=-t2+4t+5=-(t-2)2+9, ∵t＞0,∴g(t)=-(t-2)2+9≤9,等號成立的條件是t=2, 即g(x)≤9,等號成立的條件是(=2，即x=-1，∴g（x）的值域是（-∞，9］. 由g(t)=-(t-2)2+9 (t＞0),而t=(是減函數(shù)，∴要求g(x)的增區(qū)間實際上是求g(

51、t)的減區(qū)間，求g(x)的減區(qū)間實際上是求g(t)的增區(qū)間. ∵g（t）在（0，2］上遞增，在［2，+∞）上遞減， 由0＜t=(≤2,可得x≥-1,由t=(≥2,可得x≤-1. ∴g（x）在［-1，+∞）上遞減，在（-∞，-1］上遞增， 故g(x)的單調遞增區(qū)間是（-∞，-1］，單調遞減區(qū)間是［-1，+∞）. 變式訓練3：求下列函數(shù)的單調遞增區(qū)間：（1）y=(;(2)y=2. 解：（1）函數(shù)的定義域為R. 令u=6+x-2x2,則y=(. ∵二次函數(shù)u=6+x-2x2的對稱軸為x=, 在區(qū)間［，+∞）上，u=6+x-2x2是減函數(shù)， 又函數(shù)y=(u

52、是減函數(shù)， ∴函數(shù)y=(在［，+∞）上是增函數(shù). 故y=(單調遞增區(qū)間為［，+∞）. （2）令u=x2-x-6,則y=2u, ∵二次函數(shù)u=x2-x-6的對稱軸是x=, 在區(qū)間［，+∞）上u=x2-x-6是增函數(shù). 又函數(shù)y=2u為增函數(shù)， ∴函數(shù)y=2在區(qū)間［，+∞）上是增函數(shù). 故函數(shù)y=2的單調遞增區(qū)間是［，+∞）. 例4．設a＞0,f(x)=是R上的偶函數(shù). （1）求a的值； （2）求證：f(x)在（0，+∞）上是增函數(shù). （1）解： ∵f（x）是R上的偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x），∴ ∴（a-=0對一切x均成立， ∴a-=0，而a

53、＞0,∴a=1. （2）證明 在（0，+∞)上任取x1、x2，且x1＜x2, 則f(x1)-f(x2)= +-- = ( ∵x1＜x2,∴有 ∵x1＞0,x2＞0,∴x1+x2＞0,∴＞1, -1＜0.∴f(x1)-f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2), 故f(x)在（0,+∞）上是增函數(shù). 變式訓練4：已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)有最小正周期2，且當x∈(0,1)時，f(x)=. （1）求f（x)在［-1，1］上的解析式； （2）證明：f(x)在（0，1）上是減函數(shù). （1）解： 當x∈(-1,0)時，-x∈(0,1). ∵f（x）是奇函

54、數(shù)，∴f（x）=-f（-x）=- 由f(0)=f(-0)=-f(0)，且f(1)=-f(-1)=-f(-1+2)=-f(1), 得f(0)=f(1)=f(-1)=0.∴在區(qū)間［-1，1］上，有f（x）= (2)證明 當x∈(0,1)時，f(x)= 設0＜x1＜x2＜1, 則f(x1)-f(x2)= ∵0＜x1＜x2＜1,∴＞0，2-1＞0,∴f(x1)-f(x2)＞0,即f(x1)＞f(x2), 故f(x)在（0，1）上單調遞減. 小結歸納 1． ＝a，ab＝N，logaN＝b(其中N>0，a>0，a≠1)是同一數(shù)量關系的三種不同表示形式，因此在許多問題中需

55、要熟練進行它們之間的相互轉化，選擇最好的形式進行運算.在運算中，根式常?；癁橹笖?shù)式比較方便，而對數(shù)式一般應化為同底. 2．處理指數(shù)函數(shù)的有關問題，要緊密聯(lián)系函數(shù)圖象，運用數(shù)形結合的思想進行求解. 3．含有參數(shù)的指數(shù)函數(shù)的討論問題是重點題型，解決這類問題最基本的分類方案是以“底”大于1或小于1分類. 4．含有指數(shù)的較復雜的函數(shù)問題大多數(shù)都以綜合形式出現(xiàn)，與其它函數(shù)(特別是二次函數(shù))形成的 函數(shù)問題，與方程、不等式、數(shù)列等內容形成的各類綜合問題等等，因此要注意知識的相互滲透或綜合. 第6課時 對數(shù)函數(shù) 基礎過關 1．對數(shù)： (1) 定義：如果，那么稱 為

56、 ，記作 ，其中稱為對數(shù)的底，N稱為真數(shù). ① 以10為底的對數(shù)稱為常用對數(shù)，記作___________． ② 以無理數(shù)為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)，記作_________． (2) 基本性質： ① 真數(shù)N為 (負數(shù)和零無對數(shù))；② ；③ ； ④ 對數(shù)恒等式： ． (3) 運算性質： ① loga(MN)＝___________________________； ② loga＝____________________________； ③ logaMn＝ (n∈R). ④ 換底公

57、式：logaN＝ (a>0，a≠1，m>0，m≠1，N>0) ⑤ . 2．對數(shù)函數(shù)： ① 定義：函數(shù) 稱為對數(shù)函數(shù)，1) 函數(shù)的定義域為( ；2) 函數(shù)的值域為 ；3) 當______時，函數(shù)為減函數(shù)，當______時為增函數(shù)； 4) 函數(shù)與函數(shù) 互為反函數(shù). ② 1) 圖象經(jīng)過點( )，圖象在 ；2) 對數(shù)函數(shù)以 為漸近線(當時，圖象向上無限接近y軸；當時，圖象向下無限接近y軸)； 4) 函數(shù)y＝logax與 的圖象關于x軸對

58、稱． ③ 函數(shù)值的變化特征： ① ② ③ ① ② ③ 典型例題 例1 計算：（1） （2）2(lg)2+lg·lg5+; （3）lg-lg+lg. 解：（1）方法一 利用對數(shù)定義求值 設=x,則(2+)x=2-==（2+）-1,∴x=-1. 方法二 利用對數(shù)的運算性質求解 = =(2+)-1=-1. （2）原式=lg（2lg+lg5）+=lg(lg2+lg5)+|lg-1| =lg+(1-lg)=1. （3）原式=（lg3

59、2-lg49）-lg8+lg245 = (5lg2-2lg7)-×+ (2lg7+lg5) =lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5 =lg(2×5)= lg10=. 變式訓練1：化簡求值. （1）log2+log212-log242-1; （2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25; （3）(log32+log92)·(log43+log83). 解：(1)原式=log2+log212-log2-log22=log2 （2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2. （3）原式=( 例2

60、 比較下列各組數(shù)的大小. （1）log3與log5;（2）log1.10.7與log1.20.7; （3）已知logb＜loga＜logc,比較2b,2a,2c的大小關系. 解：（1）∵log3＜log31=0,而log5＞log51=0,∴l(xiāng)og3＜log5. (2)方法一 ∵0＜0.7＜1,1.1＜1.2,∴0＞, ∴, 即由換底公式可得log1.10.7＜log1.20.7. 方法二 作出y=log1.1x與y=log1.2x的圖象. 如圖所示兩圖象與x=0.7相交可知log1.10.7＜log1.20.7. (3)∵y=為減函數(shù)，且,

61、 ∴b＞a＞c,而y=2x是增函數(shù)，∴2b＞2a＞2c. 變式訓練2：已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，則loga的大小關系是 （ ） A.loga B. C. D. 解： C 例3已知函數(shù)f(x)=logax(a＞0,a≠1)，如果對于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立， 試求a的取值范圍. 解：當a＞1時，對于任意x∈［3，+∞），都有f(x)＞0. 所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=loga

62、x在［3，+∞）上為增函數(shù)， ∴對于任意x∈［3，+∞），有f(x)≥loga3. 因此，要使|f(x)|≥1對于任意x∈［3，+∞）都成立. 只要loga3≥1=logaa即可，∴1＜a≤3. 當0＜a＜1時，對于x∈［3，+∞），有f(x)＜0, ∴|f(x)|=-f(x). ∵f（x）=logax在［3，+∞）上為減函數(shù)， ∴-f（x）在［3，+∞）上為增函數(shù). ∴對于任意x∈［3，+∞）都有 |f(x)|=-f(x)≥-loga3. 因此，要使|f(x)|≥1對于任意x∈［3，+∞）都成立， 只要-loga3≥1成立即可， ∴l(xiāng)oga3≤-

63、1=loga,即≤3,∴≤a＜1. 綜上，使|f(x)|≥1對任意x∈［3，+∞）都成立的a的取值范圍是：(1，3］∪［，1）. 變式訓練3：已知函數(shù)f（x）=log2(x2-ax-a)在區(qū)間（-∞,1-］上是單調遞減函數(shù).求實數(shù)a的取值范圍. 解：令g(x)=x2-ax-a, 則g(x)=（x-）2-a-,由以上知g(x）的圖象關于直線x=對稱且此拋物線開口向上. 因為函數(shù)f(x)=log2g(x)的底數(shù)2＞1, 在區(qū)間（-∞,1-］上是減函數(shù)， 所以g(x)=x2-ax-a在區(qū)間（-∞,1-］上也是單調減函數(shù)，且g(x)＞0. ∴ 解得2-2≤a＜2.

64、 故a的取值范圍是{a|2-2≤a＜2}. 例4 已知過原點O的一條直線與函數(shù)y=log8x的圖象交于A、B兩點，分別過A、B作y軸的平行與函數(shù)y=log2x的圖象交于C、D兩點. （1）證明:點C、D和原點O在同一直線上； （2）當BC平行于x軸時，求點A的坐標. （1）證明 設點A、B的橫坐標分別為x1、x2, 由題設知x1＞1,x2＞1,則點A、B的縱坐標分別為log8x1、log8x2. 因為A、B在過點O的直線上，所以 點C、D的坐標分別為(x1,log2x1)、(x2,log2x2), 由于log2x1==3log8x1,log2x2=3log8x2

65、, OC的斜率為k1=, OD的斜率為由此可知k1=k2,即O、C、D在同一直線上. （2）解： 由于BC平行于x軸，知log2x1=log8x2，即得log2x1=log2x2,x2=x31, 代入x2log8x1=x1log8x2，得x31log8x1=3x1log8x1,由于x1＞1,知log8x1≠0,故x31=3x1, 又因x1＞1,解得x1=,于是點A的坐標為（，log8). 變式訓練4：已知函數(shù)f(x)=log2+log2(x-1)+log2(p-x). （1）求f(x)的定義域； （2）求f(x)的值域. 解：（1）f(x)有意義時，有

66、由①、②得x＞1,由③得x＜p,因為函數(shù)的定義域為非空數(shù)集，故p＞1,f(x)的定義域是(1,p). （2）f(x)=log2［(x+1)(p-x)］ =log2［-（x-）2+］ (1＜x＜p), ①當1＜＜p，即p＞3時， 0＜-(x-, ∴l(xiāng)og2≤2log2(p+1)-2. ②當≤1，即1＜p≤3時， ∵0＜-(x- ∴l(xiāng)og2＜1+log2(p-1). 綜合①②可知： 當p＞3時，f(x)的值域是（-∞,2log2(p+1)-2］; 當1＜p≤3時，函數(shù)f(x)的值域是(-∞,1+log2(p-1)). 小結歸納 1．處理對數(shù)函數(shù)的有關問題，要緊密聯(lián)系函數(shù)圖象，運用數(shù)形結合的思想進行求解. 2．對數(shù)函數(shù)值的變化特點是解決含對數(shù)式問題時使用頻繁的關鍵知識，要達到熟練、運用自如的水平，使用時常常要結合對數(shù)的特殊值共同分析. 3．含有參數(shù)的指對數(shù)函數(shù)的討論問題是重點題型，解決這類問題最基本的分類方案是以“底”大于1或小于1分類. 4．含有指數(shù)、對數(shù)的較復雜的函數(shù)問題大多數(shù)都以綜合形式出現(xiàn)，與其它函數(shù)(特別是二次函數(shù))形成的函