東南大學(xué)《工程矩陣?yán)碚摗吩嚲順泳砑按鸢福ㄐ薷模?共4頁)

精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上 工程矩陣?yán)碚撛嚲順泳?0b 一、已知的子空間 ，，分別求的一組基及它們的維數(shù)。 解：的基為：，2維。 的基為：，2維。 設(shè)，比較，則，，所以基為，1維。 為由生成的空間，，其極大線性無關(guān)組為：，即為的基，3維。 二、設(shè)上的線性變換定義為： ，，其中，表示矩陣X的跡。 1、求在V的基，，，下的矩陣A； 2、求的值域及核子空間的基及它們的維數(shù)； 3、問：是否為直和？為什么？ 解：1、 ， 2、的值域： 的基為，，，，故 故的基即為的極大線性無關(guān)組：，為1維。 核子空間：，的基礎(chǔ)解系：，為3維。 3、觀察得：的基與線性無關(guān)，維數(shù)的和為4，故是直和。 三、已知矩陣A的特征多項(xiàng)式及最小多項(xiàng)式相等，均等于，矩陣。分別求A和B的jordan標(biāo)準(zhǔn)形；問：A與B是否相似？為什么？ 解：由矩陣A的特征多項(xiàng)式及最小多項(xiàng)式相等，均等于，得 ，。A與B相似，因?yàn)樗鼈冇邢嗤膉ordan標(biāo)準(zhǔn)形。 四、已知矩陣，求A的廣義逆矩陣 解：對A進(jìn)行滿秩分解： ，A應(yīng)該分解為 五、已知矩陣，其中，矩陣A，B的F范數(shù)及算子2范數(shù)分別是，，，，試求和。 解：F范數(shù)定義為， 算子2范數(shù)定義為，表示A中特征值最大為3，表示B中特征值最大為2，M的特征值即為A、B全部特征值，故為A、B中特征值的最大值，。 六、設(shè)V是一n維歐氏空間，是一單位向量，是一參數(shù)，V上的線性變換定義為：，問：當(dāng)取何值時(shí)，是正交變換？ 解：擴(kuò)充為V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，則： 若是正交變換，則A必須為正交矩陣，A的行向量或列向量必須為標(biāo)準(zhǔn)正交基。 七、證明題： 1、假如A是H陣，證明：是酉矩陣。 證明：要證是酉矩陣，即證 根據(jù)矩陣多項(xiàng)式的性質(zhì)， （與可交換） 是酉矩陣 2、設(shè)是相容矩陣范數(shù)，證明：對任意方陣A，A的譜半徑。 證明：設(shè)A的特征值，為與對應(yīng)的的特征向量，有 兩邊取范數(shù)， 是相容范數(shù)， ，，， （若考慮僅為方陣上的相容矩陣范數(shù)，則只需將擴(kuò)充為的方陣即可） 專心---專注---專業(yè)