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工程矩陣?yán)碚撛嚲順泳?0b
一、已知的子空間
，，分別求的一組基及它們的維數(shù)。
解：的基為：，2維。
的基為：，2維。
設(shè)，比較，則，，所以基為，1維。
為由生成的空間，，其極大線性無關(guān)組為：，即為的基，3維。
二、設(shè)上的線性變換定義為：
，，其中，表示矩陣X的跡。
1、求在V的基，，，下的矩陣A；
2、求的值域及核子空間的基及它們的維數(shù)；
3、問：是否為直和？為什么？
解：1、
，
2、的值域：
的基為，，，，故
故的基即為的極大線性無關(guān)組：，為1維。
核子空間：，的基礎(chǔ)
2、解系：，為3維。
3、觀察得：的基與線性無關(guān)，維數(shù)的和為4，故是直和。
三、已知矩陣A的特征多項(xiàng)式及最小多項(xiàng)式相等，均等于，矩陣。分別求A和B的jordan標(biāo)準(zhǔn)形；問：A與B是否相似？為什么？
解：由矩陣A的特征多項(xiàng)式及最小多項(xiàng)式相等，均等于，得
，。A與B相似，因?yàn)樗鼈冇邢嗤膉ordan標(biāo)準(zhǔn)形。
四、已知矩陣，求A的廣義逆矩陣
解：對A進(jìn)行滿秩分解：
，A應(yīng)該分解為
五、已知矩陣，其中，矩陣A，B的F范數(shù)及算子2范數(shù)分別是，，，，試求和。
解：F范數(shù)定義為，
算子2范數(shù)定義為，表示A中特征值最大為3，表示B中特征值最大為2，M的特征值即為A、B全部特
3、征值，故為A、B中特征值的最大值，。
六、設(shè)V是一n維歐氏空間，是一單位向量，是一參數(shù)，V上的線性變換定義為：，問：當(dāng)取何值時(shí)，是正交變換？
解：擴(kuò)充為V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，則：
若是正交變換，則A必須為正交矩陣，A的行向量或列向量必須為標(biāo)準(zhǔn)正交基。
七、證明題：
1、假如A是H陣，證明：是酉矩陣。
證明：要證是酉矩陣，即證
根據(jù)矩陣多項(xiàng)式的性質(zhì)， （與可交換）
是酉矩陣
2、設(shè)是相容矩陣范數(shù)，證明：對任意方陣A，A的譜半徑。
證明：設(shè)A的特征值，為與對應(yīng)的的特征向量，有
兩邊取范數(shù)，
是相容范數(shù)，
，，，
（若考慮僅為方陣上的相容矩陣范數(shù)，則只需將擴(kuò)充為的方陣即可）
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