二次函數(shù)知識點

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1、二次函數(shù)知識點 二次函數(shù) I.定義與定義表達式 一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系： y=ax^2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.） 則稱y為x的二次函數(shù)。 二次函數(shù)表達式的右邊通常為二次三項式。 II.二次函數(shù)的三種表達式 一般式：y=ax^2;+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0） 頂點式：y=a(x-h)^2;+k [拋物線的頂點P（h，k）] 交點式：y=a(x-x1)(x-x2) [僅限于

2、與x軸有交點A（x1，0）和 B（x2，0）的拋物線] 注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系: h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a III.二次函數(shù)的圖像 在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x2的圖像， 可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。 IV.拋物線的性質(zhì) 1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線 x = -b/2a。 對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。 特別地，當(dāng)b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0） 2.拋物線有一個頂點P，坐標(biāo)為 P [ -b/2a ，(4ac-

3、b^2;)/4a ]。 當(dāng)-b/2a=0時，P在y軸上；當(dāng)Δ= b^2-4ac=0時，P在x軸上。 3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。 當(dāng)a＞0時，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時，拋物線向下開口。 |a|越大，則拋物線的開口越小。 4.一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。 當(dāng)a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。 5.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。 拋物線與y軸交于（0，c） 6.拋物線與x軸交點個數(shù) Δ= b^2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點。 Δ= b^2-4ac

4、=0時，拋物線與x軸有1個交點。 Δ= b^2-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點。 V.二次函數(shù)與一元二次方程 特別地，二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）y=ax^2;+bx+c， 當(dāng)y=0時，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱方程）， 即ax^2;+bx+c=0 此時，函數(shù)圖像與x軸有無交點即方程有無實數(shù)根。 函數(shù)與x軸交點的橫坐標(biāo)即為方程的根。 答案補充 畫拋物線y＝ax2時，應(yīng)先列表，再描點，最后連線。列表選取自變量x值時常以0為中心，選取便于計算、描點的整數(shù)值，描點連線時一定要用光滑曲線連接，并注意變化趨勢。 二次函數(shù)解析式的幾種形式 (1

5、)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c為常數(shù)，a≠0). (2)頂點式：y＝a(x-h)2+k(a,h,k為常數(shù)，a≠0). (3)兩根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是拋物線與x軸的交點的橫坐標(biāo)，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個根，a≠0. 說明：(1)任何一個二次函數(shù)通過配方都可以化為頂點式y(tǒng)＝a(x-h)2+k，拋物線的頂點坐標(biāo)是(h,k)，h＝0時，拋物線y＝ax2+k的頂點在y軸上；當(dāng)k＝0時，拋物線a(x-h)2的頂點在x軸上；當(dāng)h＝0且k＝0時，拋物線y＝ax2的頂點在原點 答案補充 如果圖像經(jīng)過原點，并且對稱軸

6、是y軸，則設(shè)y=ax^2；如果對稱軸是y軸，但不過原點，則設(shè)y=ax^2+k 定義與定義表達式 一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系： y=ax^2+bx+c （a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下。IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大。） 則稱y為x的二次函數(shù)。 二次函數(shù)表達式的右邊通常為二次三項式。 x是自變量，y是x的函數(shù) 二次函數(shù)的三種表達式 ①一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0) ②頂點式[拋物線的頂點 P(h，k) ]：y=a(x-h)^2+k ③交點式[僅限于與x軸有交點 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的拋物線]：y=a(x-x1)(x-x2) 以上3種形式可進行如下轉(zhuǎn)化： ①一般式和頂點式的關(guān)系 對于二次函數(shù)y=ax^2+bx+c，其頂點坐標(biāo)為(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)，即 h=-b/2a=(x1+x2)/2 k=(4ac-b^2)/4a ②一般式和交點式的關(guān)系 x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)