2014備考2013高考數(shù)學文真題含部分模擬新題分類匯編—N單元選修4系列 含解析
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1、N單元 選修4系列 N1選修4-1 幾何證明選講 21.N1[2013·江蘇卷]A.[選修4-1:幾何證明選講] 如圖1-1所示,AB和BC分別與圓O相切于點D,C,AC經過圓心O,且BC=2OC. 求證:AC=2AD. 圖1-1 證明:聯(lián)結OD,因為AB和BC分別與圓O相切于點D,C, 所以∠ADO=∠ACB=90°. 又因為∠A=∠A,所以Rt△ADO∽Rt△ACB, 所以=. 又BC=2OC=2OD. 故AC=2AD. N2[2013·江蘇卷] B.[選修4-2:矩陣與變換] 已知矩陣A= 0,2),B=1,0) 2,6),求矩陣A-1B.
2、 解:設矩陣A的逆矩陣為a,c) b,d), 則-1,0) 0,2)a,c) b,d)=1,0) 0,1). 即-a,2c)?。璪,2d)=1,0) 0,1), 故a=-1,b=0,c=0,d=, 從而A的逆矩陣為A-1= 0,))). 所以A-1B= 0,)))1,0) 2,6)=-1,0)?。?,3). N3[2013·江蘇卷] C.[選修4-4:坐標系與參數(shù)方程] 在平面直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),試求直線l和曲線C的普通方程,并求出它們的公共點的坐標. 解:因為直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),由x=t+1得t=
3、x-1,代入y=2t,得到直線l的普通方程為2x-y-2=0. 同理得到曲線C的普通方程為y2=2x. 聯(lián)立方程組解得公共點的坐標為(2,2),,-1. N4[2013·江蘇卷] D.[選修4-5:不等式選講] 已知a≥b>0,求證:2a3-b3≥2ab2-a2b. 證明:2a3-b3-(2ab2-a2b)=2a(a2-b2)+b(a2-b2)=(a2-b2)(2a+b)=(a-b)(a+b)(2a+b). 因為a≥b>0,所以a-b≥0,a+b>0,2a+b>0. 從而(a-b)(a+b)(2a+b)≥0,即2a3-b3≥2ab2-a2b. 22.N1[2013·遼寧卷]
4、選修4-1:幾何證明選講 如圖1-6,AB為⊙O直徑,直線CD與⊙O相切于E,AD垂直CD于D,BC垂直CD于C,EF垂直AB于F,聯(lián)結AE,BE,證明: (1)∠FEB=∠CEB; (2)EF2=AD·BC. 圖1-6 22.解:證明:(1)由直線CD與⊙O相切,得∠CEB=∠EAB.由AB為⊙O的直徑,得AE⊥EB,從而∠EAB+∠EBF=. 又EF⊥AB,得∠FEB+∠EBF=, 從而∠FEB=∠EAB.故∠FEB=∠CEB. (2)由BC⊥CE,EF⊥AB,∠FEB=∠CEB,BE是公共邊,得Rt△BCE≌Rt△BFE,所以BC=BF. 類似可證:Rt△ADE≌R
5、t△AFE,得AD=AF. 又在Rt△AEB中,EF⊥AB,故FE2=AF·BF. 所以EF2=AD·BC. B.N1[2013·陜西卷] (幾何證明選做題)如圖1-4所示,AB與CD相交于點E,過E作BC的平行線與AD的延長線交于點P,已知∠A=∠C,PD=2DA=2,則PE=________. 圖1-4 [解析] 利用已知圖形關系可得∠BCE=∠PED=∠BAP,可得△PDE∽△PEA,可得=,而PD=2DA=2,則PA=3,則PE2=PA·PD=6,PE=. 22.N1[2013·新課標全國卷Ⅰ] 選修4-1:幾何證明選講如圖1-6,直線AB為圓的切線,切點為B,點C在圓
6、上,∠ABC的平分線BE交圓于點E,DB垂直BE交圓于點D. (1)證明:DB=DC; (2)設圓的半徑為1,BC=,延長CE交AB于點F,求△BCF外接圓的半徑. 圖1-6 22.解:(1)聯(lián)結DE,交BC于點G.由弦切角定理得,∠ABE=∠BCE. 而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,BE=CE. 又因為DB⊥BE,所以DE為直徑,∠DCE=90°, 由勾股定理可得DB=DC. (2)由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC, 故DG是BC的中垂線,所以BG=. 設DE的中點為O,聯(lián)結BO,則∠BOG=60°, 從而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30
7、°, 所以CF⊥BF,故Rt△BCF外接圓的半徑等于. 13.N1[2013·天津卷] 如圖1-2所示,在圓內接梯形ABCD中,AB∥DC.過點A作圓的切線與CB的延長線交于點E.若AB=AD=5,BE=4,則弦BD的長為________. 圖1-2 13.[解析] 聯(lián)結AC.由圓內接梯形的性質得,∠DCB=∠ABE,∠DAB+∠DCB=180°,∠ABC+∠DCB=180°,∴∠DAB=∠ABC,∠DAB+∠ABE=180°,又∵∠ADB=∠ACB,∴∠CAB=∠DBA,又∠ADB=∠ABD,∴∠BAC=∠BCA,∴BC=AB=5.由切割線定理得AE2=BE·EC=4×(4+5)
8、=36, 由cos∠ABE=-cos∠DAB, 得-=, 即-=,解之得BD=. 22.N1[2013·新課標全國卷Ⅱ] 選修4-1:幾何證明選講 如圖1-10,CD為△ABC外接圓的切線,AB的延長線交直線CD于點D,E,F(xiàn)分別為弦AB與弦AC上的點,且BC·AE=DC·AF,B,E,F(xiàn),C四點共圓. (1)證明:CA是△ABC外接圓的直徑; (2)若DB=BE=EA,求過B,E,F(xiàn),C四點的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值. 圖1-10 22.解:(1)因為CD為△ABC外接圓的切線,所以∠DCB=∠A,由題設知=,故△CDB∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA.
9、 因為B,E,F(xiàn),C四點共圓,所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90°. 所以∠CBA=90°,因此CA是△ABC外接圓的直徑. 圖1-11 (2)聯(lián)結CE,因為∠CBE=90°, 所以過B,E,F(xiàn),C四點的圓的直徑為CE, 由DB=BE,有CE=DC. 又BC2=DB·BA=2DB2, 所以CA2=4DB2+BC2=6DB2. 而DC2=DB·DA=3DB2, 故過B,E,F(xiàn),C四點的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值為. 15.N1[2013·廣東卷] (幾何證明選講選做題)如圖1-3,在矩形ABCD中,AB=,BC=3,BE⊥AC,垂足為E,則ED=
10、________. 圖1-3 15.[解析] AB=,BC=3AC==2 ,∵AB2=AE·AC,∴AE=.又∵tan∠ACB==,∴∠ACB=,故∠EAD=.在△AED中,由余弦定理得ED2=AE2+AD2-2AE·ADcos ∠EAD=+9-2××3cos =,故ED=. N2選修4-2 矩陣 N3選修4-4 參數(shù)與參數(shù)方程 14.N3[2013·廣東卷] (坐標系與參數(shù)方程選做題)已知曲線C的極坐標方程為ρ=2cos θ.以極點為原點,極軸為x軸的正半軸建立直角坐標系,則曲線C的參數(shù)方程為________. 14.(θ為參數(shù)) [解析] 將曲
11、線C的極坐標方程ρ=2cos θ化為普通方程為(x-1)2+y2=1,則其參數(shù)方程為(θ為參數(shù)). 11.N3[2013·湖南卷] 在平面直角坐標系xOy中,若直線l1:(s為參數(shù))和直線l2:(t為參數(shù))平行,則常數(shù)a的值為________. 11.4[解析] l1:即x-2y-1=0,l2:即2x-ay-a=0.由兩直線平行,得=≠,解得a=4. 23.N3[2013·遼寧卷] 選修4-4:坐標系與參數(shù)方程 在直角坐標系xOy中,以O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,圓C1,直線C2的極坐標方程分別為ρ=4sin θ,ρcosθ-=2 . (1)求C1與C2交點的極坐標;
12、(2)設P為C1的圓心,Q為C1與C2交點連線的中點.已知直線PQ的參數(shù)方程為(t∈R為參數(shù)),求a,b的值. 23.解:(1)圓C1的直角坐標方程為x2+(y-2)2=4. 直線C2的直角坐標方程為x+y-4=0. 解得 所以C1與C2交點的極坐標為4,,2 ,. 注:極坐標系下點的表示不唯一. (2)由(1)可得,P點與Q點的直角坐標分別為(0,2),(1,3),故直線PQ的直角坐標方程為x-y+2=0. 由參數(shù)方程可得y=x-+1. 所以解得a=-1,b=2. 23.N3[2013·新課標全國卷Ⅱ] 選修4-4:坐標系與參數(shù)方程 已知動點P,Q都在曲線C:(t為參數(shù))
13、上,對應參數(shù)分別為t=α與t=2α(0<α<2π),M為PQ的中點. (1)求M的軌跡的參數(shù)方程; (2)將M到坐標原點的距離d表示為α的函數(shù),并判斷M的軌跡是否過坐標原點. 23.解:(1)依題意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α). M的軌跡的參數(shù)方程為(α為參數(shù),0<α<2π). (2)M點到坐標原點的距離 d==(0<α<2π). 當α=π時,d=0,故M的軌跡過坐標原點. C.N3[2013·陜西卷] (坐標系與參數(shù)方程選做題)圓錐曲線(t為參數(shù))的焦點坐標是______
14、__. (1,0) [解析] 由所給的曲線的參數(shù)方程化為普通方程為:y2=4x,為拋物線,其焦點坐標為(1,0). 23.N3[2013·新課標全國卷Ⅰ] 選修4-4:坐標系與參數(shù)方程 已知曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρ=2sin θ. (1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標方程; (2)求C1與C2交點的極坐標(ρ≥0,0≤θ<2π). 23.解:(1)將消去參數(shù)t,化為普通方程(x-4)2+(y-5)2=25, 即C1:x2+y2-8x-10y+16=0. 將代入x2+y2-8x-10y+16=0,
15、得ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. 所以C1的極坐標方程為 ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. (2)C2的普通方程為x2+y2-2y=0, 由解得或 所以C1與C2交點的極坐標分別為,. N4選修4-5 不等式選講 21.B12,N4[2013·湖北卷] 設a>0,b>0,已知函數(shù)f(x)=. (1)當a≠b時,討論函數(shù)f(x)的單調性; (2)當x>0時,稱f(x)為a,b關于x的加權平均數(shù). (i)判斷f(1),f,f是否成等比數(shù)列,并證明f≤f; (ii)a,b的幾何平均數(shù)記為G,稱為a,b的調和平均數(shù),記為H.若
16、H≤f(x)≤G,求x的取值范圍. 21.解:(1)f(x)的定義域為(-∞,-1)∪(-1,+∞), f′(x)==. 當a>b時,f′(x)>0,函數(shù)f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上單調遞增; 當a<b時,f′(x)<0,函數(shù)f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上單調遞減. (2)(i)計算得f(1)=>0,f=>0, f=>0. 故f(1)f=·=ab=,即 f(1)f=.① 所以f(1),f,f成等比數(shù)列. 因≥,即f(1)≥f,結合①得f≤f. (ii)由(i)知f=H,f=G,故由H≤f(x)≤G, 得f≤f(x)≤f.② 當a=b時,f=f
17、(x)=f=a. 這時,x的取值范圍為(0,+∞); 當a>b時,0<<1,從而<,由f(x)在(0,+∞)上單調遞增與②式,得≤x≤,即x的取值范圍為; 當a<b時,>1,從而>,由f(x)在(0,+∞)上單調遞減與②式, 得≤x≤,即x的取值范圍為. 24.N4[2013·遼寧卷]選修4-5:不等式選講 已知函數(shù)f(x)=|x-a|,其中a>1. (1)當a=2時,求不等式f(x)≥4-|x-4|的解集; (2)已知關于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2的解集為{x|1≤x≤2},求a的值. 24.解:(1)當a=2時,f(x)+|x-4|= 當x≤2時,由f
18、(x)≥4-|x-4|得-2x+6≥4,解得x≤1;
當2 19、2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
由題設得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.
所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.
(2)因為+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,
故+++(a+b+c)≥2(a+b+c),
即++≥a+b+c.
所以++≥1.
A.N4[2013·陜西卷] (不等式選做題)設a,b∈R,|a-b|>2,則關于實數(shù)x的不等式|x-a|+|x-b|>2的解集是________.
(-∞,+∞) [解析]利用絕對值不等式的性質可得|x-a|+|x-b|≥|( 20、x-a)-(x-b)|=|b-a|=|a-b|.又由|a-b|>2恒成立,故不等式解集為(-∞,+∞).
14.N4[2013·天津卷] 設a+b=2,b>0,則+的最小值為________.
14.[解析] +=+=++≥+2≥-+1=.
24.N4[2013·新課標全國卷Ⅰ] 選修4-5:不等式選講
已知函數(shù)f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.
(1)當a=-2時,求不等式f(x)<g(x)的解集;
(2)設a>-1,且當x∈時,f(x)≤g(x),求a的取值范圍.
24.解:(1)當a=-2時,不等式f(x) 21、3<0.
設函數(shù)y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,
則y=
其圖像如圖所示,從圖像可知,當且僅當x∈(0,2)時,
y<0,所以原不等式的解集是{x|0 22、=+,n=6;s=++,n=8,此時輸出s,故輸出結果是++=.
1.[2013·漳州五校期末] 在平面直角坐標系xOy中,已知曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)).以直角坐標系原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為ρcos=2 .
(1)求直線l的直角坐標方程;
(2)點P為曲線C上的動點,求點P到直線l距離的最大值.
2.解:(1)ρcos=2 化簡為ρcos θ+ρsin θ=4,
∴直線l的直角坐標方程為x+y=4.
(2)設點P的坐標為(2cos α,sin α),
得P到直線l的距離d=,
即d=,其中cos φ=,sin φ=.
當sin( 23、α+φ)=-1時,dmax=2 +.
4.[2013·云南師大附中月考] 如圖X8-4所示,已知圓O外有一點P,作圓O的切線PM,M為切點,過PM的中點N,作割線NAB,交圓于A,B兩點,聯(lián)結PA并延長,交圓O于點C,連PB交圓O于點D,若MC=BC.
(1)求證:△APM∽△ABP;
(2)求證:四邊形PMCD是平行四邊形.
圖X8-4
4.證明:(1)∵PM是圓O的切線,NAB是圓O的割線,N是PM的中點,
∴MN2=PN2=NA·NB,∴=.
又∵∠PNA=∠BNP,∴△PNA∽△BNP,
∴∠APN=∠PBN,即∠APM=∠PBA.
∵MC=BC,∴∠MAC=∠BAC,
∴∠MAP=∠PAB,
∴△APM∽△ABP.
(2)∵∠ACD=∠PBN,∠PBN=∠APN,
∴∠ACD=∠APN,即∠PCD=∠CPM,
∴PM∥CD.
∵△APM∽△ABP,∴∠PMA=∠BPA.
∵PM是圓O的切線,∴∠PMA=∠MCP,
∴∠BPA=∠MCP,即∠MCP=∠DPC,
∴MC∥PD,∴四邊形PMCD是平行四邊形.
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