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1、第第8講函數(shù)與方程講函數(shù)與方程 知 識 梳 理 函數(shù)的零點(1)函數(shù)的零點的概念一般地，我們把使函數(shù)yf(x)的值為0的實數(shù)x稱為函數(shù)yf(x)的零點(2)函數(shù)的零點與方程的根的關系方程f(x)0有實數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與 有交點函數(shù)yf(x)有 x軸 零點 (3)零點存在性定理如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有 ，那么函數(shù)yf(x)在區(qū)間 內有零點，即存在c(a，b)，使得f(c)0，這個c也就是f(x)0的根對于在區(qū)間a，b上連續(xù)不斷且 的函數(shù)yf(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間 ，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫
2、做二分法f(a)f(b)0 (a，b) f(a)f(b)0 一分為二 辨 析 感 悟 函數(shù)零點概念的理解及應用(1)函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖象與x軸的交點()(2)對于定義域內的兩個變量x1，x2，若f(x1)f(x2)0，則函數(shù)f(x)有零點()(3)若f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)不斷，且f(a)f(b)0，則f(x)在(a，b)內沒有零點()(4)若函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且f(a)f(b)0，則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內至少有一個零點()(5)(2012湖北卷改編)函數(shù)f(x)xcos 2x在區(qū)間0,2上的零點的個數(shù)為2.()(6)(2013廣州模擬改編
3、)已知函數(shù)f(x)x2xa在區(qū)間(0,1)上有零點，則實數(shù)a的取值范圍是(2,0)() 感悟提升 1一點提醒函數(shù)的零點不是點，是方程f(x)0的根，如(1) 2三個防范一是嚴格把握零點存在性定理的條件，如(2)中沒有強調連續(xù)曲線；二是連續(xù)函數(shù)在一個區(qū)間的端點處函數(shù)值異號是這個函數(shù)在這個區(qū)間上存在零點的充分條件，而不是必要條件，如(3)；三是函數(shù)f(x)在a，b上單調且f(a)f(b)0，則f(x)在a，b上只有一個零點.規(guī)律方法 (1)直接求零點：令f(x)0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點.(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間a，b上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)0，還
4、必須結合函數(shù)的圖象與性質(如單調性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點(3)利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點答案(1)(2)1 規(guī)律方法 函數(shù)零點的應用主要表現(xiàn)在利用零點求參數(shù)范圍，若方程可解，通過解方程即可得出參數(shù)的范圍，若方程不易解或不可解，則將問題轉化為構造兩個函數(shù)，利用兩個函數(shù)圖象的關系求解，這樣會使得問題變得直觀、簡單，這也體現(xiàn)了數(shù)形結合思想的應用解析畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，觀察圖象可知，若方程f(x)a0有三個不同的實數(shù)根，則函數(shù)yf(x)的圖象與直線ya有3個不同的交點，此時需滿足0a1. 答
5、案(0,1) 考點三與二次函數(shù)有關的零點分布 【例3】 是否存在這樣的實數(shù)a，使函數(shù)f(x)x2(3a2)xa1在區(qū)間1,3上恒有一個零點，且只有一個零點？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由審題路線由f(x)在1,3上只有一個零點f(x)0在1,3上有且只有一個實數(shù)根計算知0恒成立令 f(1)f(3)0求出a的范圍對端點值檢驗得出結論規(guī)律方法 解決二次函數(shù)的零點問題：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判別式及根與系數(shù)之間的關系；(3)利用二次函數(shù)的圖象列不等式組 【訓練3】 已知關于x的二次方程x22mx2m10.(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(1,0)
6、內，另一根在區(qū)間(1,2)內，求m的范圍；(2)若方程兩根均在區(qū)間(0,1)內，求m的范圍 1函數(shù)零點的判定常用的方法有：(1)零點存在性定理；(2)數(shù)形結合；(3)解方程f(x)0. 2研究方程f(x)g(x)的解，實質就是研究G(x)f(x)g(x)的零點 3轉化思想：方程解的個數(shù)問題可轉化為兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)問題；已知方程有解求參數(shù)范圍問題可轉化為函數(shù)值域問題 創(chuàng)新突破2函數(shù)的零點與函數(shù)極值點的交匯 【典例】 (2013安徽卷改編)已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc有兩個極值點x1，x2.若f(x1)x1x2，則關于x的方程3(f(x)22af(x)b0的不同實根個數(shù)為_突破：條件“函
7、數(shù)f(x)x3ax2bxc有兩個極值點x1，x2”等價于“方程f(x)3x22axb0有兩個不等實數(shù)根x1，x2”；條件：“若f(x1)x1x2，關于x的方程3(f(x)22af(x)b0的根”等價于“方程3(f(x)22af(x)b0有兩個不等實根，f(x)x1，f(x)x2”解析f(x)3x22axb，原題等價于方程3x22axb0有兩個不等實數(shù)根x1，x2，且x1x2，x(，x1)時，f(x)0，f(x)單調遞增；x(x1，x2)時，f(x)0，f(x)單調遞減；x(x2，)時，f(x)0，f(x)單調遞增x1為極大值點，x2為極小值點方程3(f(x)22af(x)b0有兩個不等實根，f
8、(x)x1，f(x)x2.f(x1)x1，由圖知f(x)x1有兩個不同的解，f(x)x2僅有一個解答案3 反思感悟 (1)強化函數(shù)零點的求法，函數(shù)與方程的轉化技巧，本題的突破點是方程3(f(x)22af(x)b0的不同實根個數(shù)轉化為f(x)x1與f(x)x2的根的個數(shù)之和(2)本題把函數(shù)的零點與函數(shù)的極值點交匯在一起考查，體現(xiàn)了新課標高考的指導思想 【自主體驗】(2014廣州測試)已知e是自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)f(x)exx2的零點為a，函數(shù)g(x)ln xx2的零點為b，則f(a)，f(1)，f(b)的大小關系為_解析由題意，知f(x)ex10恒成立，所以函數(shù)f(x)在R上是單調遞增的，而f(0)e00210，f(1)e112e10，所以函數(shù)f(x)的零點a(0,1)；答案f(a)f(1)f(b)
江蘇省蘇州市第五中學高考數(shù)學總復習 第8講 函數(shù)與方程課件
