《線性回歸方程》課件（2）

線性回歸方程 【課標要求】 1通過收集現(xiàn)實問題中兩個有關聯(lián)變量的數據作出散點圖，并利用散點圖直觀認識變量間的相關關系； 2在兩個變量具有線性相關關系時，會用線性回歸方程進行預測； 3知道最小平方法的含義，知道最小平方法的思想，能根據給出的線性回歸方程系數公式建立線性回歸方程 【核心掃描】 1散點圖的畫法，回歸直線方程的求解方法(重點) 2回歸直線方程的求解方法，回歸直線方程在現(xiàn)實生活與生產中的應用(難點) 1與函數關系不同，相關關系是一種 的關系 2能用直線方程bea近似表示的相關關系叫做線性相關關系，該方程叫 ，給出一組數據(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，線性回歸方程中的系數a，b滿足有關系，但不是確定性線性回歸方程自學導引 想一想：1.相關關系是不是都為線性關系？ 提示不是有些變量間的相關關系是非線性相關的 2散點圖只描述具有相關關系的兩個變量所對應點的圖形嗎？ 提示不是兩個變量統(tǒng)計數據所對應的點的圖形都是散點圖 名師點睛 1相關關系與函數關系的異同點關系異同點函數關系相關關系相同點兩者均是指兩個變量之間的關系不同點是一種確定性關系是一種非確定的關系是兩個變量之間的關系一個為變量，另一個為隨機變量；兩個都是隨機變量是一種因果關系不一定是因果關系，也可能是伴隨關系 2.回歸直線方程 (1)回歸直線方程的思想方法 回歸直線：觀察散點圖的特征，發(fā)現(xiàn)各點大致分布在一條直線的附近，就稱這兩個變量之間具有線性相關的關系，這條直線叫做回歸直線 可見，根據不同的標準可畫出不同的直線來近似表示這種線性關系比如，可以連接最左側點和最右側點得到一條直線；也可以讓畫出的直線上方的點和下方的點數目相等，這些辦法，能保證各點與此直線在整體上是最接近的嗎？它們雖然都有一定的道理，但總讓人感到可靠性不強 最小二乘法：實際上，求回歸直線方程的關鍵是如何用數學的方法來刻畫“從整體上看各點與此直線的距離最小”，即最貼近已知的數據點，最能代表變量x與y之間的關系 題型一相關關系的判斷 【例1】 下列兩個變量之間的關系中，角度和它的余弦值；正方形的邊長和面積；正n邊形的邊數和其內角度數之和；人的年齡和身高不是函數關系的是_(填序號) 思路探索 函數關系是一種變量之間確定性的關系而相關關系是非確定性關系 解析選項都是函數關系，可以寫出它們的函數表達式：f()cos ，g(a)a2，h(n)n2，不是函數關系，對于相同年齡的人群中，仍可以有不同身高的人 答案 規(guī)律方法(1)兩變量間主要有兩種關系：一是確定的函數關系，另一是不確定的相關關系同時要注意，兩變量間也可能無相關關系，數學中只有統(tǒng)計部分研究不確定的相關關系 (2)函數關系與相關關系的區(qū)別的關鍵是“確定性”還是“隨機性” 【變式1】 下列兩個變量中具有相關關系的是_(填寫相應的序號) 正方體的棱長和體積；角的弧度數和它的正弦值；單產為常數時，土地面積和總產量；日照時間與水稻的畝產量 解析正方體的棱長x和體積V存在著函數關系Vx3；角的弧度數和它的正弦值y存在著函數關系ysin ；單產為常數a公斤/畝土地面積x(畝)和總產量y(公斤)之間也存在著函數關系yax.日照時間長，則水稻的畝產量高，這只是相關關系，應選. 答案 題型二線性回歸方程的求法 【例2】 假設關于某設備的使用年限x(年)和所支出的維修費用y(萬元)有如下統(tǒng)計資料： 若由資料知y對x呈線性相關關系，求線性回歸方程bxa. 思路探索 本題已知x與y具有線性相關關系，故無需畫散點圖進行判斷，可直接用公式求解使用年限x(年)23456維修費用y(萬元)2.23.85.56.57.0 解制表i12345合計xi2345620yi2.23.8 5.5 6.5 7.025xiyi4.411.422.032.542.0112.3xi24916253690 【變式2】 某商店統(tǒng)計了近6個月某商品的進價x與售價y(單位：元)，對應數據如下： 求y對x的回歸直線方程x3528912y46391214 題型三利用回歸直線對總體進行估計 【例3】 (14分)下表提供了某廠節(jié)能降耗技術改造后生產甲產品過程中記錄的產量x(噸)與相應的生產能耗y(噸標準煤)的幾組對照數據. (1)請畫出上表數據的散點圖； (2)請根據上表提供的數據，用最小平方法求出y關于x的線性回歸方程； (3)已知該廠技改前100噸甲產品的生產能耗為90噸標準煤試根據(2)求出的線性回歸方程預測生產100噸甲產品的生產能耗比技改前降低多少噸標準煤？(參考數值：32.5435464.566.5)x3456y2.5344.5 【題后反思】 解決此類問題首先根據所給數據畫出散點圖，根據散點圖判斷兩個變量之間是否具有相關關系，如果兩個變量之間不具有相關關系，或者說，它們之間的關系不顯著，即使求得了線性回歸方程也是毫無意義的，而且用其估計和預測的結果也是不可信的 【變式3】 以下是某地搜集到的新房屋的銷售價格y和新房屋的面積x的數據： (1)畫出數據對應的散點圖； (2)求線性回歸方程，并在散點圖中加上回歸直線； (3)據(2)的結果估計當新房屋面積為150 m2時的銷售價格新房屋面積(m2)11511080135105銷售價格(萬元)24.821.618.429.222 誤區(qū)警示最小二乘法的原理不清而出錯 【示例】 已知x、y之間的一組數據如下表：x13678y12345 思維突破 題目要求利用最小二乘法思想判斷哪條直線擬合程度更好，不是用散點圖上的點到擬合直線的距離之和最小來判斷 追本溯源 最小二乘法思想是：計算散點圖上的各散點與擬合直線ybxa在垂直方向(縱軸方向)上的距離的平方和S，用來衡量擬合直線ybxa與散點圖中所有點的接近程度，使S達到最小值的a，b的值就是最好的擬合直線ybxa方程中的a，b，這種方法叫做最小二乘法.