《高中數(shù)學 212 求曲線的方程課件 新人教A版選修21》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高中數(shù)學 212 求曲線的方程課件 新人教A版選修21(44頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第二章第二章圓錐曲線與方程圓錐曲線與方程 2.12.1曲線與方程曲線與方程2 21.21.2求曲線的方程求曲線的方程 1.掌握求曲線方程的方法步驟 2了解解析法的思想,體驗用坐標法研究幾何問題的方法與過程 3培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的能力. 新 知 視 界 1坐標法與解析幾何 借助于坐標系,用坐標表示點,把曲線看成滿足某種條件的點的集合或軌跡,用曲線上點的坐標(x,y)所滿足的方程f(x,y)0表示曲線,通過研究方程的性質(zhì)間接地來研究曲線的性質(zhì),這就是坐標法數(shù)學中,用坐標法研究幾何圖形的知識形成的學科叫做解析幾何 2平面解析幾何研究的主要問題是: (1)根據(jù)已知條件,求出表示平面曲線的方程; (2)通過方
2、程,研究平面曲線的性質(zhì) 3求曲線(圖形)的方程,有下面幾個步驟: (1)建立適當?shù)淖鴺讼?,用有序?qū)崝?shù)對(x,y)表示曲線上任意一點的坐標; (2)寫出適合條件的點的集合; (3)用坐標表示條件,列出方程f(x,y)0; (4)化簡方程f(x,y)0; (5)說明以化簡后的方程的解為坐標的點都在曲線上 一般地,步驟(5)可以省略不寫,如有特殊情況,可以適當說明另外也可以省略(2),直接列出曲線方程 嘗 試 應(yīng) 用 1動點P到點(1,2)的距離為3,則動點P的軌跡方程為() A(x1)2(y2)29 B(x1)2(y2)29 C(x1)2(y2)23 D(x1)2(y2)23 解析:由題意知,點P
3、的軌跡滿足圓的定義,圓心為(1,2),半徑為3,所以方程為(x1)2(y2)29. 答案:B 2已知在直角坐標系中一點A(3,1),一條直線l:x1,平面內(nèi)一動點P,點P到點A的距離與到直線l的距離相等,則點P的軌跡方程是() A(y1)28(x1) B(y1)28(x1) C(y1)28(x1) D(y1)28(x1) 解析:設(shè)點P的坐標為(x,y),則(x3)2(y1)2(x1)2,化簡整理,得(y1)28(x1),故應(yīng)選D. 答案:D 3ABC的頂點坐標分別為A(4,3),B(2,1),C(5,7),則AB邊上的中線的方程為_ 答案:3x2y10(1x5) 4到A(2,3)和B(4,1)
4、的距離相等的點的軌跡方程是_ 解析:動點的軌跡是線段AB的垂直平分線 答案:xy10 5動點P在曲線y2x21上運動,求點P與定點(0,1)連線的中點M的軌跡方程 典 例 精 析 類型一直接法求曲線方程 例1ABC的頂點A固定,角A的對邊BC的長是2a,邊BC上的高的長是b,邊BC沿一條定直線移動,求ABC外心的軌跡方程 分析首先建立直角坐標系,因BC在一條定直線上移動,故可選此定直線為x軸,過A點且垂直于x軸的直線為y軸另外,外心到三角形三個頂點的距離相等,利用這個等量關(guān)系就可以得出ABC外心的軌跡方程 解如圖1,以BC所在的定直線為x軸,以過A點與x軸垂直的直線為y軸,建立直角坐標系,則A
5、點的坐標為(0,b)設(shè)ABC的外心為M(x,y),作MNBC于N,則直線MN是BC的垂直平分線 點評(1)解本題的關(guān)鍵是建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?,充分利用三角形外心的性質(zhì)易錯處是用|BM|CM|列方程,而化簡后會發(fā)現(xiàn)得到的是一個恒等式原因是在求|BM|的長時已利用了|BM|CM|這個等量關(guān)系(2)對于本題,在建立直角坐標系時,也可以把BC邊所在的定直線作為y軸,過A點與定直線垂直的直線作為x軸,此時方程將有所變化 遷移體驗1一個動點到直線x8的距離是它到點A(2,0)的距離的2倍,求該動點的軌跡方程 類型二定義法求曲線方程 例2已知圓C:x2(y3)29,過原點作圓C的弦OP,求OP中點Q的軌跡方
6、程 分析關(guān)鍵是尋找Q點滿足的幾何條件可以考慮圓的幾何性質(zhì),如CQOP,還可考慮Q是OP的中點 遷移體驗2定長為6的線段,其端點A、B分別在x軸、y軸上移動,線段AB的中點為M,求M點的軌跡方程 類型三相關(guān)點法求曲線方程 例3已知ABC的兩頂點A、B的坐標分別為A(0,0)、B(6,0),頂點C在曲線yx23上運動,求ABC重心的軌跡方程 分析由重心坐標公式,可知ABC的重心坐標可以由A、B、C三點的坐標表示出來,而A、B是定點,且C在曲線yx23上運動,故重心與C相關(guān)聯(lián)因此,設(shè)出重心與C點坐標,找出它們之間的關(guān)系,代入曲線方程yx23即可 點評(1)本例是求軌跡方程中的常見題型,難度適中本題解
7、法稱為代入法(或相關(guān)點法),此法適用于已知一動點的軌跡方程,求另一動點的軌跡方程的問題 (2)應(yīng)注意的是,本例中曲線yx23上沒有與A、B共線的點,因此,整理方程就得到軌跡方程;若曲線方程為yx23,則應(yīng)去掉與A、B共線時所對應(yīng)的重心坐標 類型四求曲線方程的綜合應(yīng)用 例4在平面直角坐標系中,A(a,0),B(a,0),|PA|PB|,其中a0且0.求動點P的軌跡方程,并說明軌跡的類型 遷移體驗4已知sin,cos是方程x2axb0的兩根,求P(a,b)的軌跡方程 思 悟 升 華 1求曲線方程中應(yīng)注意的問題 求曲線方程時,(1)在第一步中,如果原題中沒有確定坐標系,首先選取適當?shù)淖鴺讼担ǔ_x取
8、特殊位置為原點,相互垂直的直線為坐標軸建立適當?shù)淖鴺讼?,會給運算帶來方便 (2)第二步是求方程的重要一環(huán),要仔細分析曲線的特征,注意揭示隱含條件,抓住與曲線上任意一點M有關(guān)的等量關(guān)系,列出幾何等式,此步驟也可以省略,而直接將幾何條件用動點的坐標表示 (3)在化簡的過程中,注意運算的合理性與準確性,盡量避免“失解”或“增解” (4)第五步的說明可以省略不寫,若有特殊情況,可以適當說明,如某些點雖然其坐標滿足方程,但不在曲線上,可以通過限定方程x(或y)的取值予以剔除 2求曲線方程的常用方法 (1)直接法:建立適當?shù)淖鴺讼岛?,設(shè)動點為(x,y),根據(jù)幾何條件尋求x,y之間的關(guān)系式 (2)定義法:如果所給幾何條件正好符合圓等曲線的定義,則可直接利用這些已知曲線的方程寫出動點的軌跡方程 (3)相關(guān)點法:利用所求曲線上的動點與某一已知曲線上的動點的關(guān)系,把所求動點轉(zhuǎn)換為已知動點具體地說,就是用所求動點的坐標(x,y)來表示已知動點的坐標,并代入已知動點滿足的曲線的方程,由此即可求得動點坐標(x,y)所滿足的關(guān)系