高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù) 第4課時函數(shù)的奇偶性

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1、要點疑點考點 課 前 熱 身 能力思維方法 延伸拓展誤 解 分 析 (1)如果對于函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個定義域內(nèi)任意一個x，都有都有f(-x)=f(x)，那么函數(shù)那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)就叫做偶函數(shù). (2)如果對于函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個定義域內(nèi)任意一個x，都有都有f(-x)=-f(x)，那么函數(shù)那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)就叫做奇函數(shù) 如果函數(shù)如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，那么是奇函數(shù)或偶函數(shù)，那么我們就說函數(shù)我們就說函數(shù)f(x)具有奇偶性具有奇偶性 1.1.函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性 一般地，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，一般地，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對

2、稱，反過來，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，反過來，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，那么這個函數(shù)是奇函數(shù)；偶函數(shù)的圖象關(guān)于那么這個函數(shù)是奇函數(shù)；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，反過來，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，反過來，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，那么這個函數(shù)是偶函數(shù)軸對稱，那么這個函數(shù)是偶函數(shù) 2.2.具有奇偶性的函數(shù)圖象特點具有奇偶性的函數(shù)圖象特點 (2)利用定理，借助函數(shù)的圖象判定利用定理，借助函數(shù)的圖象判定 3.3.函數(shù)函數(shù)奇偶性的奇偶性的判定判定方法方法 (1)根據(jù)定義判定，首先看函數(shù)的定義域根據(jù)定義判定，首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，若不對稱則函數(shù)是非奇是否關(guān)于原點對稱，若不

3、對稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù)非偶函數(shù).若對稱，再判定若對稱，再判定f(-x)=f(x)或或f(-x)=-f(x). 有時判定有時判定f(-x)=f(x)比較困難，可考慮比較困難，可考慮判定判定f(-x)f(x)=0或判定或判定f(x)/ /f(-x)=1 返回返回 (3)性質(zhì)法判定性質(zhì)法判定 在定義域的公共部分內(nèi)兩奇函數(shù)之在定義域的公共部分內(nèi)兩奇函數(shù)之積積(商商)為偶函數(shù)；兩偶函數(shù)之積為偶函數(shù)；兩偶函數(shù)之積(商商)也為偶函也為偶函數(shù)；一奇一偶函數(shù)之積數(shù)；一奇一偶函數(shù)之積(商商)為奇函數(shù)為奇函數(shù)(注意取注意取商時分母不為零商時分母不為零)； 偶函數(shù)在區(qū)間偶函數(shù)在區(qū)間(a，b)上遞增上遞增(減減)，則

4、在，則在區(qū)間區(qū)間(-b，-a)上遞減上遞減(增增)；奇函數(shù)在區(qū)間；奇函數(shù)在區(qū)間(a，b)與與(-b，-a)上的增減性相同上的增減性相同. 1.已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(2a-3x1)是偶函數(shù)，則是偶函數(shù)，則a_，b_，c_2.設(shè)設(shè)f(x)(xR)是以是以3為周期的奇函數(shù)，且為周期的奇函數(shù)，且f(1)1，f(2)=a，則則( ) (A)a2 (B)a-2 (C)a1 (D)a- -1 3.已知奇函數(shù)已知奇函數(shù)f(x)在在x0時的表達式為時的表達式為f(x)=2x-1/2，則當(dāng)則當(dāng)x-1/4時，有時，有( ) (A)f(x)0 (B)f(x)0 (C)f(x)+f(-x)0 (D

5、)f(x)+f(-x)0 10RDB4.函數(shù)函數(shù) 的奇偶性是的奇偶性是( )(A)奇函數(shù)奇函數(shù) (B)偶函數(shù)偶函數(shù)(C)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) (D)非奇非偶非奇非偶 5.已知已知y=f(x-1)是偶函數(shù)，則是偶函數(shù)，則y=f(x)的圖象關(guān)于的圖象關(guān)于( ) A.直線直線x+1=0對稱對稱 B.直線直線x-1=0對稱對稱 C.直線直線x-1/2=0對稱對稱 D.y軸對稱軸對稱 242xxxfDA返回返回1.1.判斷下列函數(shù)的奇偶性：判斷下列函數(shù)的奇偶性： xxxf2212(1) 1lg2xxxf(2)【解題回顧】本題還可利用【解題回顧】本題還可利用f(-x)+f(x)=0求解

6、較簡便求解較簡便 xxxxf111(4) 01lglg22xxxxf(3)【解題回顧】本題應(yīng)先化簡【解題回顧】本題應(yīng)先化簡f(x)，再判斷再判斷f(x)的奇偶的奇偶性，若直接判斷性，若直接判斷f(x)的奇偶性，即的奇偶性，即 f(x)為偶函數(shù)，這樣就遺漏為偶函數(shù)，這樣就遺漏f(x)也是奇函數(shù)也是奇函數(shù) xfxxxxxf22221lglg1lglg【解題回顧】判斷函數(shù)的奇偶性時，應(yīng)首先注意其【解題回顧】判斷函數(shù)的奇偶性時，應(yīng)首先注意其定義域是否關(guān)于原點對稱定義域是否關(guān)于原點對稱.2.(1)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱，判斷下列函的定義域關(guān)于原點對稱，判斷下列函數(shù)的奇偶性：數(shù)的奇偶性：

7、 F(x)=f(x)+f(-x)/2;G(x)=f(x)-f(-x)/2; (2)試將函數(shù)試將函數(shù)y=2x表示為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和表示為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和.【解題回顧】本題的結(jié)論揭示了這樣一個事實：任意【解題回顧】本題的結(jié)論揭示了這樣一個事實：任意一個定義在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的函數(shù)，總可以表一個定義在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的函數(shù)，總可以表示成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和示成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和. 【解題回顧】本題應(yīng)注意充分挖掘已知條件【解題回顧】本題應(yīng)注意充分挖掘已知條件.即將即將-x代代x得到關(guān)于得到關(guān)于f(x)和和g(x)的二元一次方程組的二元一次方程組.3.設(shè)設(shè)f(x

8、)與與g(x)分別為奇函數(shù)和偶函數(shù)，若分別為奇函數(shù)和偶函數(shù)，若f(x)-g(x)=(1/2)x，比較比較f(1)、g(0)、g(-2)的大小的大小.4.已知已知 (1)判斷判斷f(x)的奇偶性；的奇偶性；(2)求證求證f(x)0 21121xxxf【解題回顧】【解題回顧】(1)判斷判斷 的奇偶性要比直的奇偶性要比直接接判斷判斷f(x)的奇偶性要簡潔；的奇偶性要簡潔；(2)因為因為f(x)是偶函數(shù)，所以求證是偶函數(shù)，所以求證f(x)0的關(guān)鍵是證當(dāng)?shù)年P(guān)鍵是證當(dāng)x0時，時，f(x)0 21121xxg變題變題1：已知：已知g(x)為奇函數(shù)，且為奇函數(shù)，且 ，判斷判斷f(x)的奇偶性的奇偶性 2112

9、1xxgxf變題變題2 已知函數(shù)已知函數(shù) 是偶函數(shù)，試求是偶函數(shù)，試求a的值的值. axxfx121返回返回【解題回顧】數(shù)學(xué)解題的過程就是充分利用已知條【解題回顧】數(shù)學(xué)解題的過程就是充分利用已知條件實施由條件向結(jié)論的轉(zhuǎn)化過程件實施由條件向結(jié)論的轉(zhuǎn)化過程.當(dāng)條件不能直接推當(dāng)條件不能直接推出結(jié)論時就要想方設(shè)法創(chuàng)造使用條件的氛圍，采用出結(jié)論時就要想方設(shè)法創(chuàng)造使用條件的氛圍，采用逐步逼近的手法達到解題目的逐步逼近的手法達到解題目的.5.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱，且滿足的定義域關(guān)于原點對稱，且滿足()()存在正常數(shù)存在正常數(shù)a，使使f(a)=1求證：求證：(1)f(x)是奇函數(shù)；是奇函數(shù)

10、； (2)f(x)是周期函數(shù)，并且有一個周期為是周期函數(shù)，并且有一個周期為4a 122121xfxf1xfxfxxf返回返回1判斷函數(shù)是否具有奇偶性首先要看函數(shù)的定義判斷函數(shù)是否具有奇偶性首先要看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱即函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱域是否關(guān)于原點對稱即函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件是函數(shù)具有奇偶性的必要條件2.判斷函數(shù)是否具有奇偶性一般要對解析式進行化判斷函數(shù)是否具有奇偶性一般要對解析式進行化簡，這樣才能得出正確結(jié)論，如判斷函數(shù)簡，這樣才能得出正確結(jié)論，如判斷函數(shù)f(x)=1-x2+x2-1的奇偶性，在解答上很容易得出如下結(jié)論：的奇偶性，在解答上很容易得出如下結(jié)論：f(-x)=1-(-x)2+(-x)2-1=f(x),f(x)是偶函數(shù)是偶函數(shù).事實上函數(shù)的定義域為事實上函數(shù)的定義域為-1，1，將，將f(x)=1-x2 +x2-1化簡得化簡得f(x)=0.f(x)既是偶函數(shù)，又是奇函數(shù)既是偶函數(shù)，又是奇函數(shù). 返回返回