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1、4.2二次函數的性質二次函數的性質1.yax2(a0)的圖象二次函數yax2(a0)的圖象可由yx2的圖象各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍得到，其中a決定了圖象的 和在同一直角坐標系中的 .2.ya(xh)2k(a0)的圖象一般地，二次函數ya(xh)2k(a0)，a決定了二次函數圖象的開口大小及方向；h決定了二次函數圖象的 平移，而且“h正 移，h負 移”；k決定了二次函數圖象的 平移，而且“k正 移，k負 移”.a開口方向開口方向開口大小開口大小左右左右左左右右上下上下上上下下二次函數yax2bxc(a0)的性質函數函數二次函數二次函數yax2bxc(a，b，c是常是常數，數，a0)圖圖象象a0
2、a0性性質質(1)拋物線開口向上，并向上無拋物線開口向上，并向上無限延伸限延伸(1)拋物線開口向下，并向下拋物線開口向下，并向下無限延伸無限延伸(2)對稱軸是對稱軸是 ，頂點坐標是頂點坐標是(2)對稱軸是對稱軸是 ，頂點坐標是頂點坐標是(3)在區(qū)間在區(qū)間 上是減函上是減函數，在區(qū)間數，在區(qū)間 上是增上是增函數函數(3)在區(qū)間在區(qū)間 上是增上是增函數，在區(qū)間函數，在區(qū)間 上上是減函數是減函數(4)拋物線有最低點，拋物線有最低點，當當 時，時，y有最小值，有最小值，ymin(4)拋物線有最高點，拋物線有最高點，當當 時，時，y有最大值，有最大值，ymax2bxa 2bxa 24(,)24bacba
3、a24(,)24bacbaa,2ba ,2ba ,2ba,2ba2bxa 2bxa 244acba244acba二次函數在其對稱軸的兩側單調性一定相反嗎？【提示】yax2bxc(a0)，在其對稱軸兩側的單調性一定相反，可以借助于二次函數的圖象進行說明.二次函數圖象的對稱性二次函數圖象的對稱性 已知函數f(x)2x23x1，(1)求這個函數圖象的頂點坐標和對稱軸；(2)求這個函數的最小值；(3)不直接計算函數值，試比較f(1)和f(1)的大小.【思路點撥】首先把f(x)配方得頂點式，從而得出(1)(2)的結果.要比較f(1)和f(1)的大小，只比較1和1與對稱軸哪一個最近. 討論二次函數的性質一
4、定要結合二次函數的圖象，為了方便，通常畫草圖，有時可以省去y軸，利用單調性比較兩個數值的大小，關鍵是利用對稱性將它們轉化到同一單調區(qū)間上，這里體現(xiàn)了數形結合及化歸等重要思想方法.二次函數的值域（最值）二次函數的值域（最值） 求f(x)x22ax1在區(qū)間0,2上的最大值和最小值.【思路點撥】二次函數的對稱軸xa變化，導致函數最值變化.當a0時，由圖可知，f(x)minf(0)1，f(x)maxf(2)34a.當0a1時，由圖可知，f(x)minf(a)1a2，f(x)maxf(2)34a.當1a2時，由圖可知，f(x)minf(a)1a2，f(x)maxf(0)1.當a2時，由圖可知，f(x)m
5、inf(2)34a，f(x)maxf(0)1.【解析】f(x)(xa)21a2，對稱軸為xa. (1)求函數在某區(qū)間上的最值，一般應先判定函數在該區(qū)間的單調性.(2)求二次函數的最值時，應判斷它的開口方向、對稱軸與區(qū)間的關系，若含有字母，要根據對稱軸和區(qū)間的關系對字母進行討論，解題時要注意數形結合. 2.已知二次函數f(x)x22x3，(1)當x2,0時，求f(x)的最值；(2)當x2,3)時，求f(x)的最值；(3)當xt，t1時，求f(x)的最小值g(t).【解析】f(x)x22x3(x1)22，其對稱軸為x1，開口向上.(1)當x2,0時，f(x)在2,0上是單調遞減的，故當x2時，f(
6、x)有最大值f(2)11；當x0時，f(x)有最小值f(0)3.(2)當x2,3)時，f(x)在2,3)上是先減后增的，故當x1時，f(x)有最小值f(1)2，又|21|31|，f(x)的最大值為f(2)11.二次函數的單調性及應用二次函數的單調性及應用 (1)若f(x)x22ax在(，2)上是增函數，求實數a的取值范圍.(2)已知函數f(x)x22ax的增區(qū)間為(，2)，求實數a的值.【思路點撥】解答本題應對(1)(2)兩問中的題設條件進行分析，(1)中區(qū)間(，2)應為f(x)增區(qū)間的子區(qū)間；(2)中(，2)中的“2”是增減的分界點，即x2是對稱軸.【解析】f(x)(xa)2a2，其函數圖象
7、開口向下，對稱軸為xa.(1)f(x)的增區(qū)間為(，a，由題意(，a(，2)，a2.(2)由題意，f(x)的對稱軸為xa2，即a2. 二次函數的對稱軸是其單調區(qū)間的分界線，解答此類問題的關鍵在于借助于函數的對稱軸，通過集合間的關系來建立變量間的關系，得出參數的取值范圍. 3.若f(x)x22ax，在區(qū)間0,1上是增函數，在區(qū)間2,3上是減函數，求實數a的取值范圍.【解析】f(x)x22ax(xa)2a2，f(x)的單調增區(qū)間為(，a，單調減區(qū)間為a，).又f(x)在0,1上是增函數，在2,3上是減函數.0,1(，a且2,3a，)，1a2.a、b、c的代數的代數式式作用作用說明說明a1.決定拋物
8、線的決定拋物線的開口方向與開開口方向與開口大小口大小2決定單調性決定單調性a0開口向上，開口向上，a越小，開口越小，開口越大越大在上遞減，在上遞增在上遞減，在上遞增a0開口向下，開口向下，|a|越小，開口越小，開口越大越大在上遞增，在上遞減在上遞增，在上遞減b決定函數的奇決定函數的奇偶性偶性b0偶函數偶函數b0既不是奇函數也不是偶既不是奇函數也不是偶函數函數c決定拋物線與決定拋物線與y軸交點的位置，軸交點的位置，交點坐標為交點坐標為(0，c)c0c0c0交點在交點在x軸上方軸上方拋物線過原點拋物線過原點交點在交點在x軸下方軸下方1.拋物線y2x2不具有的性質是 ()A.開口向下B.對稱軸是y軸C.與y軸不相交 D.最高點是原點【答案】C2.已知函數f(x)x2mxn滿足f(1)f(1)0，則f(0) ()A.1 B.0C.1 D.2【答案】C3.拋物線yx2(a2)x1的頂點在y軸上，則a.【答案】2
高中數學 第二章《二次函數的性質》教學課件 北師大版必修1
