山東省日照市東港區(qū)三莊鎮(zhèn)中心初中九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《解直角三角形》課件 新人教版

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1、 28.2 28.2 解直角三角形解直角三角形A AC CB Bc cb ba a(1) (1) 三邊之間的關(guān)系：三邊之間的關(guān)系：a a2 2+b+b2 2=_=_(2)(2)銳角之間的關(guān)系：銳角之間的關(guān)系：A+B=_A+B=_(3)(3)邊角之間的關(guān)系：邊角之間的關(guān)系：sinAsinA=_=_，cosAcosA=_=_tanAtanA=_=_ 在在RtRtABCABC中，共有六個(gè)元素（三條邊，三個(gè)角），其中，共有六個(gè)元素（三條邊，三個(gè)角），其中中C=90C=90，那么其余五個(gè)元素之間有怎樣的關(guān)系呢？，那么其余五個(gè)元素之間有怎樣的關(guān)系呢？c290acbcab利用計(jì)算器可得利用計(jì)算器可得 . .

2、根據(jù)以上條件可以求出塔身中心線與垂直中根據(jù)以上條件可以求出塔身中心線與垂直中心線的夾角你愿意試著計(jì)算一下嗎？心線的夾角你愿意試著計(jì)算一下嗎？如圖設(shè)塔頂中心點(diǎn)為如圖設(shè)塔頂中心點(diǎn)為B B，塔身中心線與垂直中心線的夾角為，塔身中心線與垂直中心線的夾角為A A，過(guò)過(guò)B B點(diǎn)向垂直中心線引垂線，垂足為點(diǎn)點(diǎn)向垂直中心線引垂線，垂足為點(diǎn)C C，在，在RtRtABCABC中，中，C C9090，BCBC5.2m5.2m，ABAB54.5m54.5mABC0954. 05 .542 . 5sinABBCAA5 28 將上述問(wèn)題推廣到一般情形，就是：已知直角將上述問(wèn)題推廣到一般情形，就是：已知直角三角形的斜邊和一

3、條直角邊，求它的銳角的度數(shù)三角形的斜邊和一條直角邊，求它的銳角的度數(shù). .在在RtRtABCABC中中, ,（1 1）根據(jù)）根據(jù)A= 60A= 60, ,斜邊斜邊AB=30,AB=30,A A你發(fā)現(xiàn)你發(fā)現(xiàn)了什么了什么B BC CB AC BCB AC BC6A B ABA B AB一角一邊一角一邊兩邊兩邊2（2 2）根據(jù)）根據(jù)AC= AC= ，BC= BC= 你能求出這個(gè)三角形的其他元素嗎？你能求出這個(gè)三角形的其他元素嗎？26兩角兩角（3 3）根）根A=60A=60,B=30,B=30, ,你能求出這個(gè)三角形的其他元你能求出這個(gè)三角形的其他元 素嗎素嗎? ? 不能不能你能求出這個(gè)三角形的其他元

4、素嗎你能求出這個(gè)三角形的其他元素嗎? ?在直角三角形的六個(gè)元素中在直角三角形的六個(gè)元素中, ,除直角外除直角外, ,如果知道兩個(gè)元如果知道兩個(gè)元素素( (其中至少有一個(gè)是邊其中至少有一個(gè)是邊),),就可以求出其余三個(gè)元素就可以求出其余三個(gè)元素. .在直角三角形中在直角三角形中, ,由已知元素求未知元素的過(guò)程由已知元素求未知元素的過(guò)程, ,叫叫解直解直角三角形角三角形. .角形根據(jù)下列條件解直角三，中，在90 . 1CABCRt4, 34 )2( babCABc34a4【例例2 2】如圖，在如圖，在RtRtABCABC中，中，B B3535，b=20b=20，解這，解這個(gè)直角三角形（精確到個(gè)直角

5、三角形（精確到0.10.1）ABCab=c2035A 90 - B 90 -3555 . abBtan6 .2835tan20tanBbacbBsin. 9 .3435sin20sinBbc【解析】ABabcC議一議 在直角三角形中，在直角三角形中，（1）已知）已知a,b，怎樣求，怎樣求A的度數(shù)？的度數(shù)？ (2) 已知已知a,c，怎樣求，怎樣求A的度數(shù)？的度數(shù)？（3）已知）已知b,c，怎樣求，怎樣求A的度數(shù)？的度數(shù)？ 你能總結(jié)一下已知兩邊解直角三角形的你能總結(jié)一下已知兩邊解直角三角形的 方法嗎？與同伴交流。方法嗎？與同伴交流。（1）利用勾股定理求第三邊。）利用勾股定理求第三邊。 (2) 利用已

6、知兩邊的比值所對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值，求相應(yīng)的銳角。利用已知兩邊的比值所對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值，求相應(yīng)的銳角。（3）由直角三角形的兩銳角互余求另一銳角。）由直角三角形的兩銳角互余求另一銳角。（20102010江西中考）如圖，從點(diǎn)江西中考）如圖，從點(diǎn)C C測(cè)得樹的頂角為測(cè)得樹的頂角為3333，BCBC2020米，則樹高米，則樹高ABAB 米（用計(jì)算器計(jì)算，結(jié)果米（用計(jì)算器計(jì)算，結(jié)果精確到精確到0.10.1米）米） 【答案答案】13.013.0ABtanCBC由，得AB=AB=BCBCtanCtanC=20=20tan33tan33=13.0=13.0【解析】1 1、在下列直角三角形中不能求解的是（、在下列直

7、角三角形中不能求解的是（ ）(A)(A)已知一直角邊一銳角已知一直角邊一銳角(B)(B)已知一斜邊一銳角已知一斜邊一銳角(C)(C)已知兩邊已知兩邊(D)(D)已知兩角已知兩角(E)(E)已知一直角邊一銳角三角函數(shù)值已知一直角邊一銳角三角函數(shù)值D DABCm2.2.（20102010東營(yíng)中考）如圖，小明為東營(yíng)中考）如圖，小明為了測(cè)量其所在位置，了測(cè)量其所在位置，A A點(diǎn)到河對(duì)岸點(diǎn)到河對(duì)岸B B點(diǎn)點(diǎn)之間的距離，沿著與之間的距離，沿著與ABAB垂直的方向走垂直的方向走了了m m米，到達(dá)點(diǎn)米，到達(dá)點(diǎn)C C，測(cè)得，測(cè)得ACBACB，那么那么ABAB等于（等于（ ）(A) (A) msinmsin米米

8、(B) (B) mtanmtan米米 (C) (C) mcosmcos米米 (D) (D) 米米tanmB B3. 3. (2011(2011濱州中考濱州中考) )邊長(zhǎng)為邊長(zhǎng)為6cm6cm的等邊三角形中，其一邊的等邊三角形中，其一邊上高的長(zhǎng)度為上高的長(zhǎng)度為_cm._cm.【解析解析】一邊上的高一邊上的高=6=6sin60sin60= =【答案答案】 3 33 34.4.（20102010重慶中考）已知：如圖，在重慶中考）已知：如圖，在RtRtABCABC中，中，C C9090，ACAC 點(diǎn)點(diǎn)D D為為BCBC邊上一點(diǎn)，且邊上一點(diǎn)，且BDBD2AD2AD，ADCADC6060求求ABCABC的周

9、長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）的周長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）3的長(zhǎng)，求線的平分，中，如圖，在BCABADAACCABCRt34690. 2BACD34612233461cos0301030B12sinBACABABC例例3 .如圖，如圖，ABC中，中， B=45， C=30， AB=2，求，求AC的長(zhǎng)的長(zhǎng).解：過(guò)解：過(guò)A作作ADBC于于D， 在在Rt ABD中中,B=45B=45,AB=2,AB=2，222D454530302 2AD=AD= sinB =ABAD在在RtACD中，中，C=30C=30ABABsinBsinB= =22 2sin45sin45= =2AC=2AD=22的長(zhǎng)，求的面積為，邊上一點(diǎn)，為

10、中，在ABACDCDADBDBCDABC33012146ABCDE，的延長(zhǎng)線于，交解：如圖，作ECBCBAE 12, 33021CDAECDSACD又35AE，中，在14ADADERt11)35(142222AEADED5611BDEDBE105)35(2222EBAEABABERt中，在61412355的長(zhǎng)，求的面積為，邊上一點(diǎn)，為中，在ABACDCDADBDBCDABC33012146ECBAE于點(diǎn)解：如圖，作12, 33021CDAECDSACD又35AE，中，在14ADADERt11)35(142222AEADED17611BDEDBE91217)35(2222EBAEABABERt中

11、，在ABCDE614123511 如圖，在小島上有一觀察站如圖，在小島上有一觀察站A.A.據(jù)測(cè)，燈塔據(jù)測(cè)，燈塔B B在觀察站在觀察站A A北偏西北偏西45450 0的方向，燈塔的方向，燈塔C C在在B B正東方向，且相距正東方向，且相距1010海里，燈塔海里，燈塔C C與觀察與觀察站站A A相距相距10 10 海里，請(qǐng)你測(cè)算燈塔海里，請(qǐng)你測(cè)算燈塔C C處在觀察站處在觀察站A A的什么方向？的什么方向？2北北A A B BC C10210F 如圖，在小島上有一觀察站如圖，在小島上有一觀察站A.A.據(jù)測(cè)，燈塔據(jù)測(cè)，燈塔B B在觀察站在觀察站A A北偏北偏西西45450 0的方向，燈塔的方向，燈塔C

12、 C在在B B正東方向，且相距正東方向，且相距1010海里，燈塔海里，燈塔C C與觀察與觀察站站A A相距相距10 10 海里，請(qǐng)你測(cè)算燈塔海里，請(qǐng)你測(cè)算燈塔C C處在觀察站處在觀察站A A的什么方向？的什么方向？解：過(guò)點(diǎn)解：過(guò)點(diǎn)C C作作CD AB,CD AB,垂足為垂足為D D北北A A B BC CD D21052210F燈塔燈塔B B在觀察站在觀察站A A北偏西北偏西4545的方向的方向 B=45 B=45sinBsinB = =CBCDCD=CD= BCsinBBCsinB= =1010sin45sin45= =1010 = =22在在RtRtDACDAC中，中， sin DAC=s

13、in DAC=ACCD2102521 DAC=30 DAC=30CAF=CAF= BAF -DAC=BAF -DAC=4545-30-30=15=1545454545燈塔燈塔C C處在觀察站處在觀察站A A的北偏西的北偏西1515的方向的方向25 如圖，在小島上有一觀察站如圖，在小島上有一觀察站A.A.據(jù)測(cè)，燈塔據(jù)測(cè)，燈塔B B在觀察站在觀察站A A北偏北偏西西45450 0的方向，燈塔的方向，燈塔C C在在B B正東方向，且相距正東方向，且相距1010海里，燈塔海里，燈塔C C與觀察與觀察站站A A相距相距10 10 海里，請(qǐng)你測(cè)算燈塔海里，請(qǐng)你測(cè)算燈塔C C處在觀察站處在觀察站A A的什么

14、方向？的什么方向？北北A BC解：過(guò)點(diǎn)解：過(guò)點(diǎn)A A作作AEBCAEBC，垂足為，垂足為E,E,E E21021010設(shè)設(shè)CE=xCE=x在在RtRtBAEBAE中，中，BAE=45BAE=45AE=BE=10+xAE=BE=10+x在在RtRtCAECAE中，中，AEAE2 2+CE+CE2 2=AC=AC2 2xx2 2+(10+x)+(10+x)2 2=(10=(10) )2 22即：即：x x2 2+10 x-50=0+10 x-50=0355, 35521xx( (舍去舍去) )355燈塔燈塔C C處在觀察站處在觀察站A A的北偏西的北偏西1515 的方向的方向sin CAE=sin

15、 CAE=ACCE210355CAE15CAE1545451.如圖如圖4，在矩形，在矩形ABCD中中DEAC于于E， 設(shè)設(shè)ADE=， 且且cos=35AB=4AB=4，則，則ADAD的長(zhǎng)為（的長(zhǎng)為（ ），162016.335CDA A3 3 B B2.20022.2002年年8 8月在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)月在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)如圖如圖5 5所示，它是由四個(gè)相同的直角三角形與中所示，它是由四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形 若大正方若大正方形的面積是形的面積是1313，小正方形的面積是，小正方形的面積是1 1，直角三角，直角三角

16、形的較長(zhǎng)直角邊為形的較長(zhǎng)直角邊為a a，較短直角邊為，較短直角邊為b b，則則a+ba+b的值為（的值為（ ） A A35 B35 B43 C43 C89 D89 D9797B BB B3.如圖，某校九年級(jí)如圖，某校九年級(jí)3班的一個(gè)學(xué)生小組進(jìn)行測(cè)班的一個(gè)學(xué)生小組進(jìn)行測(cè)量小山高度的實(shí)踐活動(dòng)部分同學(xué)在山腳點(diǎn)量小山高度的實(shí)踐活動(dòng)部分同學(xué)在山腳點(diǎn)A測(cè)測(cè)得山腰上一點(diǎn)得山腰上一點(diǎn)D的仰角為的仰角為30，并測(cè)得，并測(cè)得AD 的長(zhǎng)的長(zhǎng)度為度為180米；另一部分同學(xué)在山頂點(diǎn)米；另一部分同學(xué)在山頂點(diǎn)B測(cè)得山腳測(cè)得山腳點(diǎn)點(diǎn)A的俯角為的俯角為45，山腰點(diǎn)，山腰點(diǎn)D的俯角為的俯角為60請(qǐng)請(qǐng)你幫助他們計(jì)算出小山的高度你幫

17、助他們計(jì)算出小山的高度BC（計(jì)算過(guò)程和（計(jì)算過(guò)程和結(jié)果都不取近似值）結(jié)果都不取近似值） 在在RtADF中，中，AD=180，DAF=30， DF=90，AF=9033解：如圖設(shè)解：如圖設(shè)BC=x，3 解得解得x=90+90（x-90） FC=AC-AF=x-90 BAC=ABC=45， AC=BC=x BE=BC-EC=x-90 在在RtBDE中，中，BDE=60， DE=33333BE=（x-90）=x-90333 DE=FC， 4.已知：如圖，在已知：如圖，在ABC中，中，AD是邊是邊BC上的高，上的高，E 為邊為邊AC 的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，BC= 14，AD=12，sinB=，求：（，求：（

18、1）線段）線段DC的長(zhǎng)；的長(zhǎng)；45（2 2）tanEDCtanEDC的值的值125ADCDCD=BC-BD=14-9=5（2）E是是RtADC斜邊斜邊AC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)， DE=EC，EDC=C tanEDC=tanC=124sin5ADB 解：（解：（1）在）在RtABD中，中，AB=15=1522ABADBD=9=9（3）在（）在（1）的條件下，）的條件下，SAMN：SABE=9：64，且，且線段線段BF與與EF的長(zhǎng)是關(guān)于的長(zhǎng)是關(guān)于y的一元二次方程的一元二次方程5y2-16ky+10k2+5=0的兩個(gè)實(shí)根，求的兩個(gè)實(shí)根，求BC的長(zhǎng)的長(zhǎng)5. 如圖，如圖，AD為為RtABC斜邊斜邊BC上的高，點(diǎn)上的高，點(diǎn)E為為DA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié)延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié)BE，過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作作CFBE于于點(diǎn)點(diǎn)F，交，交AB、AD于于M、N兩點(diǎn)兩點(diǎn) （1）若線段）若線段AM、AN的長(zhǎng)是關(guān)于的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次的一元二次方程方程x2-2mx+n2-mn+m m2 2=0=0的兩個(gè)實(shí)根，的兩個(gè)實(shí)根，54159,88DN 求證：求證：(1)AM=AN （2）若）若AN=，求求DEDE的長(zhǎng)；的長(zhǎng)；