大學(xué)數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)

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1、 一、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算2 求導(dǎo)法則 導(dǎo)數(shù)很有用，但全憑定義來計算導(dǎo) 四、基本求導(dǎo)法則與公式 三、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 二、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法則, 使導(dǎo)數(shù)運(yùn)算變得較為簡便.數(shù)是不方便的. 為此要建立一些有效的一、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算000( ( )( )()().(1)x xu xv xu xv x 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 也可導(dǎo)也可導(dǎo), , 且且( )( )( )f xu xv x 00000( ( ) ( )() ()() ().(2)x xu x v xu x v xu x v x 推論推論 若若 u (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 可導(dǎo)可導(dǎo), ,c 是常數(shù)是常數(shù)，則則 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 也可導(dǎo)也可導(dǎo), , 且且( )(

2、 ) ( )f xu x v x 定理定理 5.6 若函數(shù)若函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 可導(dǎo)可導(dǎo), , 則函數(shù)則函數(shù)( ), ( )u x v x定理定理 5.5 若函數(shù)若函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 可導(dǎo)可導(dǎo), , 則函數(shù)則函數(shù)( ), ( )u x v x( )().( )003xxcu xcux ().uvwu vwuv wuvw 定理定理 5.6 可推廣到任意有限個函數(shù)相乘的情形可推廣到任意有限個函數(shù)相乘的情形, , 如如 下面證明乘積公式下面證明乘積公式 (2), 請讀者自行證明公式請讀者自行證明公式 (1) .() ()() ()()lim000000 xu xx v xxu x v xfxx

3、00000( ) ( )() ( )limxu xx v xxu xv xxx 證證 (2) 按定義可得按定義可得 0000() ()() ()u xv xxu xv xx 0000()()lim()xu xxu xv xxx 注意注意: ,: ,千萬不要把導(dǎo)數(shù)乘積公式千萬不要把導(dǎo)數(shù)乘積公式 (2)()uvu v 記錯了記錯了. .0000() ()()().u xv xu xv x 0000()()lim()xv xxv xu xx 例例1 1011( ).nnnnf xa xa xaxa 求的導(dǎo)數(shù)求的導(dǎo)數(shù)1011( )()()()() nnnnfxa xa xaxa解解 因此因此, 對于多

4、項式對于多項式 f 而言而言, 總是比總是比 f 低一個冪次低一個冪次. .f 例例2 sinln.yxxx 求求在在處處的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)解解 由公式由公式 (2)，得，得 12011(1). nnnna xna xaln.xy 1(sin ) lnsin (ln )coslnsin,yxxxxxxxx 0000020() ()() ()( ).(4)( )()x xu x v xu x v xu xv xvx 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 也可導(dǎo)也可導(dǎo)，且且( )( )( )u xf xv x 則則定理定理5.7 若函數(shù)若函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 可導(dǎo)可導(dǎo), ,( ), ( )u x v x0()0,v x 證證

5、1( )( )( ) ( ).( ),( )g xf xu x g xg xv x設(shè)，則對有設(shè)，則對有000011( )()( )()v xxv xg xxg xxx 0000( )()1.( )()v xxv xxv xxv x 由于由于 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 可導(dǎo)可導(dǎo), , 因此因此0()0,v x ( )v x對對 應(yīng)用公式應(yīng)用公式 (2) 和和 (5), 得得( )( ) ( )f xu x g x 0000200()()()()lim,()xg xxg xv xg xxvx 0020()1.( )()x xv xv xvx 亦亦即即(5)00000()() ()()() ,fxu xg x

6、u xg x0000020() ()() ()( ).( )()x xu xv xu xv xu xv xvx 即即例例3 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：22222cossin1sec.coscosxxxxx (i),;nxn 是是正正整整數(shù)數(shù)(ii) tan, cot;xx(iii) sec , csc.xx解解1121(i) ().nnnnnnxxnxxx 2sin(sin ) cossin (cos )(ii) (tan )coscosxxxxxxxx 同理可得同理可得 sectan .xx 221(cos )sin(iii) (sec)coscoscosxxxxxx (csc )

7、csccot .xxx 221(cot)csc.sinxxx 同理可得同理可得001().(6)()fxy 證證00,xxxyyy 設(shè)設(shè)則則00()(),xyyy 00()() .yf xxf x 定理定理 5.8 設(shè)設(shè) 為為 的反函數(shù)，在的反函數(shù)，在( )yf x ( )xy 由由假設(shè)假設(shè), , 在點(diǎn)在點(diǎn)1f 0 x的某鄰域內(nèi)連續(xù)的某鄰域內(nèi)連續(xù), ,且嚴(yán)格且嚴(yán)格二、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f00()xy 則則 在點(diǎn)在點(diǎn) 可導(dǎo)可導(dǎo), 且且0y0()0,y 點(diǎn)點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)連續(xù)，嚴(yán)格單調(diào)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，嚴(yán)格單調(diào), 且且00;00.xyxy 000011lim.()limxyyfxxxyy 例例4 求下列函數(shù)

8、的導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：,0)(0 y 便可證得便可證得注意到注意到單調(diào)單調(diào), , 從而有從而有(i) arcsinarccos;xx和和(ii) arctanarccot.xx和和解解(i)arcsin ,( 1, 1 )sinyxxxy 是是在在2111(arcsin ),( 1,1).(sin )cos1xxyyx 21,(arccos ),( 1, 1).1xxx 同同理理上的反函數(shù)，故上的反函數(shù)，故()22 ，yyyx22tan11sec1)(tan1)(arctan ).,(,112 xx同理有同理有21(arccot ),1xx (,).x 的反函數(shù)，故的反函數(shù)，故(ii)ar

9、ctantanyxxy是在是在上上()22 ，定理定理 5.90( )( )uxxyf u 設(shè)設(shè)在在點(diǎn)點(diǎn)可可導(dǎo)導(dǎo)，在在點(diǎn)點(diǎn)00()uxf 可可導(dǎo)導(dǎo)，則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn) x0 可可這個定理一般用有限增量公式來證明這個定理一般用有限增量公式來證明，但為了與但為了與 00000() ()()()()(). (7)fxfuxfxx 導(dǎo)，導(dǎo)，且且三、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)證法證法, 為此需要先證明一個引理為此需要先證明一個引理.今后學(xué)習(xí)向量函數(shù)相聯(lián)系今后學(xué)習(xí)向量函數(shù)相聯(lián)系，這里采用另一種新的這里采用另一種新的引理引理 f 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 可導(dǎo)的充要條件是可導(dǎo)的充要條件是: : 在在 x0 的的某鄰某鄰

10、00()( ),U xxH x域域上上存存在在一一個個在在連連續(xù)續(xù)的的函函數(shù)數(shù)使使證證 設(shè)設(shè) f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 可導(dǎo)可導(dǎo), , 且令且令00000( )(),()( )(),.f xf xxUxxxH xxxfx 00()().fxH x 且且),)()()(00 xxxHxfxf 000000( )()lim( )lim()(),xxxxf xf xH xfxH xxx 因因0( )H xx故故在在連連續(xù)續(xù)，且且00,( ) (),H xxU xx 反反之之 設(shè)設(shè)存存在在在在點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù) 且且000( )()( )(),() .f xf xH xxxxU x ),()(limlim

11、00000 xHxHxxxfxfxxxx 得得 f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 可導(dǎo)可導(dǎo), ,).()(00 xHxf 且且下面證明定理下面證明定理 5.9 ( 公式公式 (7) ) .).(),)()()(000 xUxxxxHxfxf 根據(jù)極限根據(jù)極限),(0uFu 連續(xù)的函數(shù)連續(xù)的函數(shù)個在點(diǎn)個在點(diǎn)且且使使)()(00uFuf 同理，同理，,)(0可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn) xxu 則存在一個在點(diǎn)則存在一個在點(diǎn) x0).(),)()()(000uUxuuuFufuf 0000( )()( )(),().uuxxxxxxU x于是當(dāng)于是當(dāng) 有有),(0 xUx 由引理的必要性由引理的必要性,)(0可可導(dǎo)導(dǎo)

12、在在點(diǎn)點(diǎn)及及uuf知存在一知存在一(),x 00()(),xx 使使且且連續(xù)的函數(shù)連續(xù)的函數(shù)00( ( )( ()( ( )( )().fxfxFxxxx 公式公式(7)改寫為改寫為00000()( ()()()().H xFxxfux ddd,dddyyuxux 0,x 由由于于在在點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù))(00 xuF 在在點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)，連續(xù)，0( )( ( )( ).H xFxxx 所所以以在在點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù)根據(jù)引根據(jù)引 理的充分性理的充分性,0,fx 在在點(diǎn)點(diǎn)可可導(dǎo)導(dǎo) 且且)()(0 xf ( ),( ),yf u ux 其中其中這樣就容易理解這樣就容易理解 “鏈鏈” 的的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

13、公式 (7) 又稱為又稱為 “鏈?zhǔn)椒ㄦ準(zhǔn)椒▌t則”.若將若將( ( ( )( ( )( ).fxfxx 與與的的不不同同含含義義例例5.sin2yxy 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)在鏈?zhǔn)椒▌t中一定要區(qū)分在鏈?zhǔn)椒▌t中一定要區(qū)分( )( ( )( )|uxfxfu 22dd d(sin ) ()cos22 cos.dd dyyuuxuxxxxu x 意義了意義了.解解分解成分解成 這兩個這兩個2sinyx 將將2sinyuux 與與于是由鏈?zhǔn)椒▌t于是由鏈?zhǔn)椒▌t, 有有基本初等函數(shù)的復(fù)合，基本初等函數(shù)的復(fù)合，例例6(,0 ).yxx 求求冪冪函函數(shù)數(shù)是是實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)解解lneelnxuyxyux

14、由由與與復(fù)合而成復(fù)合而成,ln1()(e)e.xuxxx 故故例例7求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): :2(i)1;x 21(ii);1x 2(iii)ln(1).xx解解 運(yùn)用復(fù)合求導(dǎo)法則運(yùn)用復(fù)合求導(dǎo)法則, , 分別計算如下分別計算如下: :122221(i)()(1)(1)12xxx 2.1xx 23 22211(ii)(1)(1)21xxx 2 3.(1)xx 2(iii)ln(1)xx 221( 1)11xxxx221(1)1xxxx 21.1x 例例8 8 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): :21(i)( )arctan(tan) ;332xf x 1,0,1e(ii)( )0,

15、0.xxxg xx 解解222111(i)( )sec133221tan92xfxx 2211.54cos9cossin22xxx (ii)0 x 當(dāng)當(dāng)時時, ,111211ee( ).(1e)xxxxg x 0 x 當(dāng)當(dāng)時時, ,因因為為101(0)lim00,1exxxgx 所以所以 在在 處不可導(dǎo)處不可導(dǎo). .g0 x 101(0)lim01,1exxxgx 化某些連乘、連除式的求導(dǎo)化某些連乘、連除式的求導(dǎo).( )( )ln ( )( )ln ( )( ( )(e)e( ( )ln ( )v xv xu xv xu xu xv xu x ( )( )( )( )ln ( )( ).( )

16、v xu xu xv xu xv xu x 例例923142 5(1) (2),.(59)xxyyx 設(shè)求設(shè)求對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法( )0,( )u xu x 設(shè)設(shè) 均可導(dǎo)均可導(dǎo), 則則( )v x與與( )( )v xu x對數(shù)求導(dǎo)法不僅對冪指函數(shù)對數(shù)求導(dǎo)法不僅對冪指函數(shù)有效有效, ,也能簡也能簡解解 先對函數(shù)兩邊取對數(shù)先對函數(shù)兩邊取對數(shù), 得得再對上式兩邊求導(dǎo)再對上式兩邊求導(dǎo), 又得又得于是得到于是得到).95ln(52)2ln(41)1ln(3ln2 xxxy26125.4(2)5591yxyxxx 2314225(1) (2)612.4(2)59(59)1xxxyxxxx 求導(dǎo)法則：求

17、導(dǎo)法則：);()( ,)()2(為為常常數(shù)數(shù)cuccuvuvuuv d1(4);dddyxxy 反反函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù);1,)3(22vvvvvuvuvu ;)()1(vuvu 四、基本求導(dǎo)法則與公式基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：(1)( )0 ();cc 為為常常數(shù)數(shù));()()2(1為任意實(shí)數(shù)為任意實(shí)數(shù) xx;sin)(cos,cos)(sin)3(xxxx ;cotcsc)(csc,tansec)(secxxxxxx ;csc)(cot,sec)(tan)4(22xxxx ddd(5).dddyyuxux 復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)11(6) (log), (ln );lnaxxxax (5) ()ln , (e )e;xxxxaaa ,20200?2211(7)(arcsin ), (arccos ),11xxxx 21(arccot ).1xx 21(arctan ),1xx