高中數(shù)學(xué)《第一章 集合與函數(shù)的概念》本章小結(jié) 新人教A版必修1

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1、本章小結(jié)本章小結(jié) 一、學(xué)習(xí)集合應(yīng)該注意的問(wèn)題目前在中學(xué)數(shù)學(xué)中，集合知識(shí)主要有兩方面的應(yīng)用：(1)把集合作為一種數(shù)學(xué)語(yǔ)言，以表達(dá)一定范圍或具有某些特性的元素，例如，方程(或方程組)的解集、不等式(或不等式組)的解集、具有某種性質(zhì)或滿足某些條件的數(shù)集、點(diǎn)集等 (2)運(yùn)用集合間的基本關(guān)系和運(yùn)算的思想解決某些抽象而復(fù)雜的問(wèn)題 例如，利用集合間的基本關(guān)系及運(yùn)算幫助理解事件間的關(guān)系，充分必要條件等(以后將要學(xué)習(xí)) 有時(shí)從正面解題較難時(shí)，可以考慮用補(bǔ)集的思想求解1要注意理解、正確運(yùn)用集合概念【例1】若Py|yx2，xR，Q(x，y)|yx2，xR，則必有()APQBPQCPQ DPQ思路分析：有的同學(xué)一接觸

2、此題馬上得出結(jié)論P(yáng)Q，這是由于他們僅僅看到兩集合中的yx2，xR相同，而沒(méi)有注意到組成兩個(gè)集合的元素是不同的，集合P是函數(shù)值域集合，集合Q是yx2，xR上的點(diǎn)的集合，代表元素根本不是同一類事物解析：P表示函數(shù)yx2的值域，Q表示拋物線yx2上的點(diǎn)組成的點(diǎn)集，因此PQ，故選A.答案：A 2要充分注意集合元素的互異性 集合元素的互異性，是集合的重要屬性，在解題過(guò)程中，集合元素的互異性常常被忽視而出錯(cuò)思路分析：要解決a的求值問(wèn)題，關(guān)鍵是要有方程的數(shù)學(xué)思想，此題應(yīng)根據(jù)集合的運(yùn)算及集合中元素的確定性、互異性矛盾，無(wú)序性建立關(guān)系式解：AB2,5，a32a2a75，由此求得a2，或a1.當(dāng)a1時(shí)，a22a2

3、1，與元素的互異性矛盾，故舍去；當(dāng)a1時(shí)，B1,0,5,2,4，與AB2,5相矛盾，故舍去；當(dāng)a2時(shí)，A2,4,5，B1,3,2,5,25，此時(shí)AB2,5，滿足題設(shè)故a2為所求3要注意掌握好證明、判斷兩集合關(guān)系的方法集合與集合之間的關(guān)系問(wèn)題，在我們解答數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程中經(jīng)常遇到集合與集合關(guān)系的一系列概念，都是用元素與集合的關(guān)系來(lái)定義的因此，在證明(判斷)兩集合的關(guān)系時(shí)，應(yīng)回到元素與集合的關(guān)系中去【例3】集合Xx|x2n1，nZ，Yy|y4k1，kZ，試證明XY.思路分析：要證明XY，按集合相等的定義，應(yīng)證明XY，且YX.證明：(1)設(shè)任意x0X，則x02n01，n0Z.若n0是偶數(shù)，可設(shè)n02m，

4、mZ，則x022m14m1，x0Y；若n0是奇數(shù)，可設(shè)n02m1，mZ，則x02(2m1)14m1，x0Y.不論n0是偶數(shù)還是奇數(shù)，都有x0Y，XY.(2)又設(shè)任意y0Y，則y04k01，或y04k01，k0Z.y04k012(2k0)1，y04k012(2k01)1,2k0和2k01都屬于Z，y0X，YX.由(1)(2)可知，XY.4要注意空集的特殊性和特殊作用空集是一個(gè)特殊的集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解決集合之間關(guān)系問(wèn)題時(shí)，它往往易被忽視而引起解題失誤【例4】已知Ax|x23x20，Bx|ax20，且ABA，求實(shí)數(shù)a組成的集合C.思路分析：BA包括兩

5、種情況，即B和B.解：(1)當(dāng)B時(shí)，由x23x20，得x1或2.當(dāng)x1時(shí)，a2；當(dāng)x2時(shí)，a1.(2)當(dāng)B時(shí)，即當(dāng)a0時(shí)，B，符合題意，故實(shí)數(shù)a組成的集合C0,1,2二、函數(shù)的概念、表示及其應(yīng)用對(duì)于函數(shù)的概念及其表示要注意：1函數(shù)的三要素：定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系2定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同的兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)，兩者需同時(shí)具備3函數(shù)定義域的求法列使函數(shù)有意義的自變量的不等關(guān)系式，求解即可求函數(shù)的定義域，常涉及到的依據(jù)為：分母不為0；偶次根式被開(kāi)方數(shù)不小于0；零指數(shù)冪中底數(shù)不等于零；實(shí)際問(wèn)題要考慮實(shí)際意義等 4求抽象函數(shù)定義域的方法： (1)已知f(x)的定義域?yàn)閍，b，求fg(x)的定義域，就是求不等

6、式ag(x)b的解集 (2)已知fg(x)的定義域?yàn)閍，b，求f(x)的定義域，就是求當(dāng)xa，b時(shí)，g(x)的值域 5求函數(shù)解析式的常用方法： (1)定義法；(2)換元法；(3)待定系數(shù)法；(4)構(gòu)造法；(5)消去法 6求函數(shù)值域的方法： (1)配方法；(2)分離常數(shù)法；(3)換元法；(4)判別式法；(5)單調(diào)性法；(6)不等式法溫馨提示：求解分段函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意復(fù)合函數(shù)中“內(nèi)”層函數(shù)的值域充當(dāng)“外”層函數(shù)的定義域，不能籠統(tǒng)地寫在一起，而應(yīng)分段討論【例6】已知二次函數(shù)f(x)x2axb，Ax|f(x)2x22，則f(x)的解析式為_(kāi)溫馨提示：求解析式的關(guān)鍵是求解參數(shù)溫馨提示：求函數(shù)的值域無(wú)固定的格式方法，應(yīng)具體問(wèn)題具體分析，注意觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ笾涤?，勿忘?yōu)先考慮定義域三、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及其應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性是高考考查的重要內(nèi)容，要掌握判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟，掌握奇函數(shù)、偶函數(shù)的性質(zhì)以及運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性、奇偶性，求函數(shù)最大(小)值的方法思路分析：求函數(shù)在某區(qū)間上的最值，通常先判斷函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性，當(dāng)函數(shù)或區(qū)間中含有字母時(shí)，要對(duì)字母加以討論，以確定函數(shù)的單調(diào)性