優(yōu)化設計的數(shù)學模型.ppt

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第三章優(yōu)化設計的數(shù)學模型 3 1設計變量 3 2約束條件 3 3目標函數(shù) 3 4優(yōu)化設計的數(shù)學模型 3 5數(shù)學模型的幾何描述 3 6優(yōu)化設計的迭代過程及終止準則 優(yōu)化設計的數(shù)學模型是描述實際優(yōu)化問題的設計內(nèi)容 變量關系 有關設計條件和意圖的數(shù)學表達式 它反映了物理現(xiàn)象各主要因素的內(nèi)在聯(lián)系 是進行優(yōu)化設計的基礎 3 1設計變量 一 設計變量設計變量 在優(yōu)化設計過程中是變化的 需要優(yōu)選的量 設計參數(shù) 在優(yōu)化設計過程中保持不變或預先確定數(shù)值 可以是幾何參數(shù) 例 尺寸 形狀 位置運動學參數(shù) 例 位移 速度 加速度動力學參數(shù) 例 力 力矩 應力其它物理量 例 質(zhì)量 轉(zhuǎn)動慣量 頻率 撓度非物理量 例 效率 壽命 成本設計向量 用X x1 x2 xn T表示 是定義在n維歐氏空間中的一個向量 二 設計點與設計空間設計點 X k x1 k x2 k xn k 是設計向量X k 的端點 代表設計空間中的一個點 也代表第k個設計方案 可能是可行方案 也可能不是可行方案 設計空間Rn 以x1 x2 xn為坐標軸 構成n維歐氏實空間Rn 它包含了所有可能的設計點 即所有設計方案 歐氏空間 由于工程設計中的設計變量都是實數(shù) 所以稱這種設計空間為歐式空間 三 連續(xù)量與離散量一般來說 設計變量大多是一些連續(xù)變化的量 但在機械設計中 有些變量也可能是跳躍式的量 例如齒輪的齒數(shù)必須為整數(shù) 模數(shù)必須符合國家標準所規(guī)定的值 軸承的尺寸必須符合產(chǎn)品樣本中所規(guī)定的值等 凡屬這類跳躍式的量稱為離散量 對于離散設計變量 在優(yōu)化設計過程中常常把它們視作連續(xù)量 在求得連續(xù)量的優(yōu)化結果后再進行圓整或標準化 以求得一個實用的最優(yōu)方案 3 2約束條件 設計空間是所有設計方案的集合 但這些設計方案有些是工程上所不能接受的 如一個設計滿足所有對它提出的要求 就稱為可行設計 一個可行設計必須滿足某些設計限制條件 這些限制條件稱作約束條件 簡稱約束 一 設計約束的類型 1 約束又可按其數(shù)學表達形式分成等式約束和不等式約束兩種類型 2 根據(jù)約束的性質(zhì)可以把它們區(qū)分成 性能約束 針對性能要求而提出的限制條件稱作性能約束 例如 選擇某些結構必須滿足受力的強度 剛度或穩(wěn)定性等要求 邊界約束 只是對設計變量的取值范圍加以限制的約束稱作邊界約束 例如 允許機床主軸選擇的尺寸范圍 對軸段長度的限定范圍就屬于邊界約束 3 顯式約束隱式約束約束函數(shù)有的可以表示成顯式形式 即反映設計變量之間明顯的函數(shù)關系 有的只能表示成隱式形式 如例中的復雜結構的性能約束函數(shù) 變形 應力 頻率等 需要通過有限元等方法計算求得 可行域 在可行域內(nèi)任意一點稱為可行設計點 內(nèi)點 代表一個可行方案 可行設計點的集合D稱為可行設計區(qū)域 非可行域 在可行域外的點稱為非可行設計點 外點 代表不可采用的設計方案 這種設計點的集合為非可行域 二 可行域和非可行域 3 3目標函數(shù) 為了對設計進行定量評價 必須構造包含設計變量的評價函數(shù) 它是優(yōu)化的目標 稱為目標函數(shù) 以F X 表示 在優(yōu)化過程中 通過設計變量的不斷向F X 值改善的方向自動調(diào)整 最后求得F X 值最好或最滿意的X值 在構造目標函數(shù)時 應注意目標函數(shù)必須包含全部設計變量 所有的設計變量必須包含在約束函數(shù)中 在機械設計中 可作為參考目標函數(shù)的有 體積最小 重量最輕 效率最高 承載能力最大 結構運動精度最高 振幅或噪聲最小 成本最低 耗能最小 動負荷最小等等 在最優(yōu)化設計問題中 可以只有一個目標函數(shù) 稱為單目標函數(shù) 當在同一設計中要提出多個目標函數(shù)時 這種問題稱為多目標函數(shù)的最優(yōu)化問題 在一般的機械最優(yōu)化設計中 多目標函數(shù)的情況較多 3 4優(yōu)化設計的數(shù)學模型 綜上所述 最優(yōu)化問題數(shù)學模型一般表示如下 對于無約束最優(yōu)化問題 式中 表示n維實歐氏空間 對于約束最優(yōu)化問題 式中D表示由p個不等約束條件和q個等約束條件所規(guī)定的可行域 通過最優(yōu)化方法求得的一組最優(yōu)設計變量 表示了一個最優(yōu)化的設計方案 稱為最優(yōu)設計點 對應于該設計方案的目標函數(shù)為 稱為最優(yōu)化值 最優(yōu)點和最優(yōu)值兩者構成了一個優(yōu)化問題的最優(yōu)解 在數(shù)學模型中 若目標函數(shù)F X 和約束函數(shù)和都是設計變量的線性函數(shù) 這樣的優(yōu)化問題常稱為線性規(guī)劃問題 否則稱為非線性規(guī)劃問題 3 5數(shù)學模型的幾何描述 為了進一步說明最優(yōu)化問題的一些基本概念 下面再對它作必要的幾何描述 以便比較直觀地 形象化地理解它 先以一個二維優(yōu)化問題為例 設有一個約束最優(yōu)化問題 數(shù)學模型如下 對于這樣一個優(yōu)化問題 可用下圖的幾何圖形來說明幾個基本概念 3 6優(yōu)化設計的迭代過程及終止準則 一 迭代過程與迭代格式 為了適應電子計算機的工作特點 要求最優(yōu)化方法具有下列性質(zhì) 數(shù)值計算 而不是解析方法 具有簡單的邏輯結構 并能進行反復的運算過程 不要求獲得精確解 而只要求有足夠精度的近似解 滿足上述要求的計算過程或計算方法就是所謂的數(shù)值迭代過程或數(shù)值迭代方法 數(shù)值迭代的基本思想是 從某一個選定的初始點出發(fā) 按照某種最優(yōu)化方法所規(guī)定的原則 確定適當?shù)姆较蚝筒介L 獲得第一個新的修改設計點 計算此點的目標函數(shù)值使?jié)M足 最終達到與理論最優(yōu)點X 非常逼近的近似最優(yōu)點X 式中的就是以為新起始點 沿著一定的方向以一定的步長確定下一個設計點的改進迭代矢量 由此可知 每一步迭代格式可寫作 第n步迭代計算的步長 二 優(yōu)化方法的分類 目前已有的最優(yōu)化方法很多 各種方法的區(qū)別就在于確定方向S和步長a的方法不同 這些方法可大致歸納為兩大類 1 直接搜索法這種方法只需要進行函數(shù)的計算與比較來確定優(yōu)化的方向和步長 2 間接法這種方法需要利用函數(shù)的一階或二階偏導數(shù)矩陣來確定優(yōu)化方向和優(yōu)化步長 由于大多數(shù)工程設計問題的設計變量比較多 函數(shù)形式也比較復雜 不易求得一階和二階偏導數(shù) 因此在實際應用中 直接搜索法更受工程界的歡迎 但不論何種具體的優(yōu)化算法 它們在確定方向和步長時都應具有以下共同之點 1 所選擇的優(yōu)化方向S是比較容易計算的 2 所選擇的優(yōu)化方向應盡可能指向目標函數(shù)F X 的極小點 至少在每一個迭代點附近是指向F X 的極小點 3 所選的步長a應在已定方向上使目標函數(shù)達到極小 或者至少使目標函數(shù)值有所下降 三 迭代點列的收斂條件和終止準則 1 點列收斂的柯西準則若某種迭代過程所選擇的設計點序列為 若點列是收斂的 即存在極限 點列收斂的必要與充分條件是 對于任意指定的足夠小的正數(shù) 存在著自然數(shù)N 使得當兩個自然數(shù)m和p大于N時滿足 滿足上述條件的點列稱為基本序列 這個條件叫做點列收斂的柯西準則 收斂條件式也可寫作 2 優(yōu)化計算的終止準則 通常采用的計算終止準則有以下幾種形式 1 當兩相鄰的迭代點之間的距離足夠小時用矢量的長度來表示 即為 也可以用矢量長度在各坐標軸上的分量來表示 即 2 當目標函數(shù)的下降量已達到充分小時 即 也可以用目標函數(shù)值的相對下降量達到充分小時來表示 即 3 當?shù)c的目標函數(shù)梯度達到充分小時 即 但是這種判別準則很可能把駐點作為最優(yōu)值點輸出 這是它的缺點 在優(yōu)化設計中 只要滿足以上諸式中之一 就可算作目標函數(shù)值已收斂于函數(shù)F X 的極小值 近似最優(yōu)化解已求得 迭代即可以結束 上述三個收斂準則都在一定程度上反映了達到極值點的特點 但都不能保證所取得的設計點是全局最優(yōu)點 它很可能是一個局部最優(yōu)點 因此有必要進一步考查它是否為全局最優(yōu)點 判斷全局最優(yōu)點常采用的方法是 同時取若干個相距甚遠的兩點作為初始點 考查它們最后迭代的最優(yōu)解是否趨于同一解