高考數(shù)學(xué) 第五章 第二節(jié)等差數(shù)列及其前n項和課件 理

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1、第二節(jié) 等差數(shù)列及其前n項和1.1.等差數(shù)列的定義等差數(shù)列的定義一般地，如果一個數(shù)列從第一般地，如果一個數(shù)列從第2 2項起，每一項與它的前一項的差項起，每一項與它的前一項的差等于等于_，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的叫做等差數(shù)列的_，一般用字母，一般用字母d d表示；定義的表達式表示；定義的表達式為：為：_(nN_(nN* *).).同一個常數(shù)同一個常數(shù)公差公差a an+1n+1-a-an n=d=d【即時應(yīng)用即時應(yīng)用】判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列( (請在括號中填寫請在括號中填寫“是是”或或“否否”).).(1

2、)(1)數(shù)列數(shù)列0 0，0 0，0 0，0 0，0 0， ( ) ( )(2)(2)數(shù)列數(shù)列1 1，1 1，2 2，2 2，3 3，3 3， ( ) ( )(3)(3)數(shù)列數(shù)列 ( ) ( )(4)(4)數(shù)列數(shù)列a,2a,3a,4aa,2a,3a,4a， ( ) ( )2345， ， ， ，【解析解析】(1)(4)(1)(4)中從第二項開始，每項與前一項的差為同一常中從第二項開始，每項與前一項的差為同一常數(shù)；而數(shù)；而(2)(3)(2)(3)并不是同一常數(shù)，故并不是同一常數(shù)，故(1)(4)(1)(4)為等差數(shù)列，為等差數(shù)列，(2)(3)(2)(3)不是不是. .答案答案: :(1)(1)是是 (

3、2)(2)否否 (3)(3)否否 (4)(4)是是2.2.等差數(shù)列的通項公式等差數(shù)列的通項公式若等差數(shù)列若等差數(shù)列aan n 的首項是的首項是a a1 1，公差是，公差是d d，則其通項公式為，則其通項公式為a an n=_.=_.a a1 1+(n-1)d+(n-1)d【即時應(yīng)用即時應(yīng)用】(1)(1)在等差數(shù)列在等差數(shù)列aan n 中，中，a a5 5=10,a=10,a1212=31,=31,則數(shù)列的通項公式為則數(shù)列的通項公式為_._.(2)(2)等差數(shù)列等差數(shù)列1010，7 7，4 4，的第的第2020項為項為_._.【解析解析】(1)a(1)a5 5=a=a1 1+4d,a+4d,a1

4、212=a=a1 1+11d,+11d, , ,解得解得aan n=a=a1 1+(n-1)d=-2+(n-1)+(n-1)d=-2+(n-1)3=3n-5.3=3n-5.11a4d10a11d311a2,d3 (2)(2)由由a a1 1=10,d=7-10=-3,n=20,=10,d=7-10=-3,n=20,得得a a2020=10+(20-1)=10+(20-1)(-3)=-47.(-3)=-47.答案答案: :(1)a(1)an n=3n-5 (2)-47=3n-5 (2)-473.3.等差中項等差中項若若a a，A A，b b成等差數(shù)列，則成等差數(shù)列，則A A叫做叫做a a，b b

5、的等差中項，且的等差中項，且A= .A= .ab2【即時應(yīng)用即時應(yīng)用】(1)A= (1)A= 是是a a，A A，b b成等差數(shù)列的成等差數(shù)列的_條件條件. .(2)(2)若等差數(shù)列若等差數(shù)列aan n 的前三項依次為的前三項依次為a,2a+1,4a+2,a,2a+1,4a+2,則它的第五則它的第五項為項為_._.ab2【解析解析】(1)(1)若若A= ,A= ,可知可知2A=a+b,2A=a+b,可推出可推出A-a=b-A,A-a=b-A,所以所以a,A,ba,A,b成等差數(shù)列；反之，若成等差數(shù)列；反之，若a,A,ba,A,b成等差數(shù)列，則成等差數(shù)列，則A= .A= .故故A= A= 是是a

6、 a，A A，b b成等差數(shù)列的充要條件成等差數(shù)列的充要條件. .(2)(2)由題意知由題意知2a+12a+1是是a a與與4a+24a+2的等差中項，即的等差中項，即 , ,解得解得a=0,a=0,故數(shù)列故數(shù)列aan n 的前三項依次為的前三項依次為0 0，1 1，2 2，則，則a a5 5=0+4=0+41=4.1=4.答案答案: :(1)(1)充要充要 (2)4(2)4ab2ab2ab2a4a22a12 4.4.等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n n項和公式項和公式若已知等差數(shù)列若已知等差數(shù)列aan n ，首項，首項a a1 1和末項和末項a an n，則其前，則其前n n項和公式項和公式S S

7、n n= = ，或若等差數(shù)列，或若等差數(shù)列aan n 的首項是的首項是a a1 1，公差是，公差是d d，則其，則其前前n n項和公式項和公式S Sn n= .= .1nn aa21n n1nad2【即時應(yīng)用即時應(yīng)用】(1)(1)在等差數(shù)列在等差數(shù)列aan n 中，中，a a1 1=5,a=5,an n=95,n=10,=95,n=10,則則S Sn n=_.=_.(2)(2)在等差數(shù)列在等差數(shù)列aan n 中，中，a a1 1=100,d=-2,n=50,=100,d=-2,n=50,則則S Sn n=_.=_.(3)(3)在等差數(shù)列在等差數(shù)列aan n 中，中，d=2,n=15,ad=2,

8、n=15,an n=-10,=-10,則則S Sn n=_.=_.【解析解析】(1)(1)(2) (2) =50=50(100-49)=2 550.(100-49)=2 550.(3)(3)由由a an n=a=a1 1+(n-1)d+(n-1)d得得, ,-10=a-10=a1 1+(15-1)+(15-1)2,2,解得解得a a1 1=-38,=-38,答案答案: :(1)500 (2)2 550 (3)-360(1)500 (2)2 550 (3)-3601nnn aa10595S500.22n1n n150 49Snad50 100( 2)22 1nnn aaS21538 10360.

9、2 熱點考向熱點考向 1 1 等差數(shù)列的基本運算等差數(shù)列的基本運算【方法點睛方法點睛】1.1.等差數(shù)列運算問題的通性通法等差數(shù)列運算問題的通性通法等差數(shù)列運算問題的一般求法是設(shè)出首項等差數(shù)列運算問題的一般求法是設(shè)出首項a a1 1和公差和公差d d，然后由通，然后由通項公式或前項公式或前n n項和公式轉(zhuǎn)化為方程項和公式轉(zhuǎn)化為方程( (組組) )求解求解. .2.2.等差數(shù)列前等差數(shù)列前n n項和公式的應(yīng)用方法項和公式的應(yīng)用方法等差數(shù)列前等差數(shù)列前n n項和公式有兩個，如果已知項數(shù)項和公式有兩個，如果已知項數(shù)n n、首項、首項a a1 1和第和第n n項項a an n，則利用，則利用 , ,如果

10、已知項數(shù)如果已知項數(shù)n n、首項、首項a a1 1和公差和公差d d，則，則利用利用1nnn aaS2n1n n1 dSna.2【例例1 1】(1)(2012(1)(2012福建高考福建高考) )等差數(shù)列等差數(shù)列aan n 中中,a,a1 1+a+a5 5=10,a=10,a4 4= =7.7.則數(shù)列則數(shù)列aan n 的公差為的公差為( )( )(A)1 (B)2 (A)1 (B)2 (C)3 (C)3 (D)4 (D)4(2)(2)九章算術(shù)九章算術(shù)“竹九節(jié)竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根問題：現(xiàn)有一根9 9節(jié)的竹子，自上節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4 4節(jié)

11、的容積共為節(jié)的容積共為3 3升，下面升，下面3 3節(jié)的容積共節(jié)的容積共4 4升，則第升，則第5 5節(jié)的容積為節(jié)的容積為_升升. .(3)(2011(3)(2011福建高考福建高考) )已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列aan n 中，中，a a1 1=1,a=1,a3 3=-3.=-3.求數(shù)列求數(shù)列aan n 的通項公式；的通項公式；若數(shù)列若數(shù)列aan n 的前的前k k項和項和S Sk k=-35=-35，求，求k k的值的值. .【規(guī)范解答規(guī)范解答】(1)(1)選選B Ba a1 1+a+a5 5=2a=2a3 3=10=10，a a3 3=5=5，所以，所以d=ad=a4 4-a-a3 3=2.=

12、2.(2)(2)方法一：設(shè)自上第一節(jié)竹子容量為方法一：設(shè)自上第一節(jié)竹子容量為a a1 1, ,依次類推，數(shù)列依次類推，數(shù)列aan n 為等差數(shù)列為等差數(shù)列. .又又a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4=4a=4a1 1+6d=3,+6d=3,a a7 7+a+a8 8+a+a9 9=3a=3a1 1+21d=4.+21d=4.解得解得1137a,d,22665113767aa4d4.226666 方法二：設(shè)自上第一節(jié)竹子容量為方法二：設(shè)自上第一節(jié)竹子容量為a a1 1，則第九節(jié)容量為，則第九節(jié)容量為a a9 9, ,且數(shù)且數(shù)列列aan n 為等差數(shù)列為等差數(shù)列. .a a1

13、1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4=3,a=3,a7 7+a+a8 8+a+a9 9=4,=4,即即4a4a5 5-10d=3 -10d=3 3a3a5 5+9d=4 +9d=4 聯(lián)立解得聯(lián)立解得答案答案: : 567a.666766(3)(3)設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列aan n 的公差為的公差為d d，由由a a1 1=1,a=1,a3 3=-3=-3可得可得1+2d=-31+2d=-3，解得，解得d=-2.d=-2.從而從而a an n=1+(n-1)=1+(n-1)(-2)=3-2n.(-2)=3-2n.由知由知a an n=3-2n,=3-2n,由由S Sk k=-35=-35得

14、得2k-k2k-k2 2=-35.=-35.即即k k2 2-2k-35=0-2k-35=0，解得，解得k=7k=7或或k=-5.k=-5.又又kNkN* *, ,故故k=7.k=7.2nn132nS2nn .2【互動探究互動探究】本例第本例第(3)(3)題中，若將題中，若將“a a1 1=1,a=1,a3 3=-3=-3”改為改為“a a1 1=31,S=31,S1010=S=S2222”，試求，試求S Sn n；這個數(shù)列的前多少項的和最大？并求出這個最大值這個數(shù)列的前多少項的和最大？并求出這個最大值. .【解析解析】SS1010=a=a1 1+a+a2 2+ +a+a1010, ,S S2

15、222=a=a1 1+a+a2 2+ +a+a2222，又，又S S1010=S=S2222，a a1111+a+a1212+ +a+a2222=0=0， , ,即即a a1111+a+a2222=2a=2a1 1+31d=0,+31d=0,又又a a1 1=31,d=-2,=31,d=-2,SSn n=na=na1 1+ =31n-n(n-1)=32n-n+ =31n-n(n-1)=32n-n2 2. .112212 aa02n n1d2方法一：由知方法一：由知S Sn n=32n-n=32n-n2 2, ,當(dāng)當(dāng)n=16n=16時，時，S Sn n有最大值，有最大值，S Sn n的最大值是的

16、最大值是256.256.方法二：由方法二：由S Sn n=32n-n=32n-n2 2=n(32-n),=n(32-n),欲使欲使S Sn n有最大值，應(yīng)有有最大值，應(yīng)有1n32,1n6),=324(n6),求數(shù)列求數(shù)列aan n 的項數(shù)及的項數(shù)及a a9 9+a+a1010. .【解題指南解題指南】(1)(1)根據(jù)根據(jù)S S2 2=S=S6 6，先求，先求a a4 4+a+a5 5的值，再求的值，再求a a5 5. .(2)(2)根據(jù)根據(jù)S S3 3,S,S6 6-S-S3 3,S,S9 9-S-S6 6成等差數(shù)列求解成等差數(shù)列求解. .(3)(3)根據(jù)前根據(jù)前6 6項與最后項與最后6 6項

17、的和求出項的和求出a a1 1+a+an n, ,再求再求n n及及a a9 9+a+a1010. .【規(guī)范解答規(guī)范解答】(1)S(1)S2 2=S=S6 6，S S6 6-S-S2 2=a=a3 3+a+a4 4+a+a5 5+a+a6 6=0=0，2(a2(a4 4+a+a5 5)=0,)=0,即即a a4 4+a+a5 5=0=0，a a5 5=-a=-a4 4=-1.=-1.答案答案: :-1-1(2)(2)設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列aan n 的前的前n n項和為項和為S Sn n, ,則則S S3 3,S,S6 6-S-S3 3,S,S9 9-S-S6 6成等差數(shù)成等差數(shù)列，列，且且S

18、S3 3=40=40，S S6 6-S-S3 3=20.=20.SS9 9-S-S6 6=20+(-20)=0=20+(-20)=0，S S9 9=S=S6 6=60.=60.答案答案: :6060(3)(3)由題意知由題意知a a1 1+a+a2 2+ +a+a6 6=36 =36 a an n+a+an-1n-1+a+an-2n-2+ +a+an-5n-5=180 =180 + +得得(a(a1 1+a+an n)+(a)+(a2 2+a+an-1n-1)+)+(a+(a6 6+a+an-5n-5)=6(a)=6(a1 1+a+an n)=216)=216，a a1 1+a+an n=36

19、,=36,又又 ,18n=324,n=18.,18n=324,n=18.aa1 1+a+a1818=36,a=36,a9 9+a+a1010=a=a1 1+a+a1818=36.=36.1nnn aaS3242【互動探究互動探究】若本例中第若本例中第(1)(1)題條件不變，改為求此等差數(shù)列的題條件不變，改為求此等差數(shù)列的前多少項的和最大，并求出最大值前多少項的和最大，并求出最大值. .【解析解析】在本例中第在本例中第(1)(1)題已求解出題已求解出a a5 5=-1,=-1,又又a a4 4=1,=1,得公差得公差d=-2,d=-2,此等差數(shù)列的前此等差數(shù)列的前4 4項和，即項和，即S S4

20、4最大最大. .且且S S4 4=1+3+5+7=16.=1+3+5+7=16.【反思反思感悟感悟】1.1.在等差數(shù)列在等差數(shù)列aan n 中，若中，若m+n=p+q=2k,m+n=p+q=2k,則則a am m+a+an n=a=ap p+a+aq q=2a=2ak k是常用的性質(zhì)，本例第是常用的性質(zhì)，本例第(1)(1)、(3)(3)題都用到了這個題都用到了這個性質(zhì)，在應(yīng)用此性質(zhì)時，一定要觀察好每一項的下標(biāo)規(guī)律，不性質(zhì)，在應(yīng)用此性質(zhì)時，一定要觀察好每一項的下標(biāo)規(guī)律，不要犯要犯a a2 2+a+a5 5=a=a7 7的錯誤的錯誤. .2.2.本例第本例第(2)(2)題也可先求題也可先求a a1

21、 1,d,d,再求再求a a7 7+a+a8 8+a+a9 9, ,但不如用性質(zhì)簡單但不如用性質(zhì)簡單. .【變式備選變式備選】等差數(shù)列等差數(shù)列aan n 的前的前n n項和為項和為S Sn n，已知，已知a am-1m-1+a+am+1m+1-a-am m2 2= =0,S0,S2m-12m-1=38,=38,求求m m的值的值. .【解析解析】aam-1m-1+a+am+1m+1=2a=2am m, ,aam-1m-1+a+am+1m+1-a-am m2 2=2a=2am m-a-am m2 2=0=0，解得解得a am m=0=0或或a am m=2.=2.又又a a1 1+a+a2m-1

22、2m-1=2a=2am m, ,aam m0,a0,am m=2,2m-1=19,=2,2m-1=19,解得解得m=10.m=10.12m 12m 1maaS2m 12m 1 a38,21.(20121.(2012遼寧高考遼寧高考) )在等差數(shù)列在等差數(shù)列aan n 中，已知中，已知a a4 4+a+a8 8=16,=16,則該則該數(shù)列前數(shù)列前1111項和項和S S1111=( )=( )(A)58 (B)88 (A)58 (B)88 (C)143 (C)143 (D)176(D)176【解析解析】選選B.B.由于由于aan n 為等差數(shù)列，所以為等差數(shù)列，所以a a1 1+a+a1111=a

23、=a4 4+a+a8 8=16=16，S S1111= = 故選故選B.B.48111(aa ) 11(aa ) 1116 1188.2222.(20132.(2013寧德模擬寧德模擬) )已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列aan n 的前的前n n項和為項和為S Sn n, ,若若m1,m1,且且a am-1m-1+a+am+1m+1-a-am m2 2-1=0,S-1=0,S2m-12m-1=39,=39,則則m m等于等于( )( )(A)39 (B)20 (A)39 (B)20 (C)19 (C)19 (D)10(D)10【解析解析】選選B.B.數(shù)列數(shù)列aan n 為等差數(shù)列，為等差數(shù)列，則則a

24、 am-1m-1+a+am+1m+1=2a=2am m，則則a am-1m-1+a+am+1m+1-a-am m2 2-1=0-1=0可化為可化為2a2am m-a-am m2 2-1=0,-1=0,解得：解得：a am m=1.=1.又又S S2m-12m-1=(2m-1)a=(2m-1)am m=39,=39,則則m=20.m=20.故選故選B.B.3.(20123.(2012浙江高考浙江高考) )設(shè)設(shè)S Sn n是公差為是公差為d(d0)d(d0)的無窮等差數(shù)列的無窮等差數(shù)列aan n 的前的前n n項和項和, ,則下列命題錯誤的是則下列命題錯誤的是( )( )(A)(A)若若d0,d0

25、,則數(shù)列則數(shù)列SSn n 有最大項有最大項(B)(B)若數(shù)列若數(shù)列SSn n 有最大項有最大項, ,則則d0d00(D)(D)若對任意若對任意nNnN* *, ,均有均有S Sn n0,0,則數(shù)列則數(shù)列SSn n 是遞增數(shù)列是遞增數(shù)列【解析解析】選選C.C.若數(shù)列若數(shù)列aan n 為遞增數(shù)列為遞增數(shù)列, ,但數(shù)列的前若干項可能為但數(shù)列的前若干項可能為負數(shù)，則存在負數(shù)，則存在nNnN* *，S Sn n0 0故選項錯誤故選項錯誤4.(20124.(2012北京高考北京高考) )已知已知aan n 為等差數(shù)列，為等差數(shù)列，S Sn n為其前為其前n n項和項和. .若若a a1 1= S= S2 2=a=a3 3，則，則a a2 2=_ S=_ Sn n=_.=_.【解析解析】SS2 2=a=a3 3,a,a1 1+a+a2 2=a=a3 3，d=ad=a3 3-a-a2 2=a=a1 1= =aa2 2=a=a1 1+d=1,S+d=1,Sn n= =答案：答案：1 11,22nn.442nn441,2