重慶市中考數(shù)學(xué) 第二部分 題型研究 二、解答題重難點(diǎn)突破 題型四 三角形 四邊形的證明與計(jì)算課件

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1、二、解答題重難點(diǎn)突破二、解答題重難點(diǎn)突破第二部分第二部分 題型研究題型研究目目錄錄題型四題型四 三角形、四邊形的證明與計(jì)算三角形、四邊形的證明與計(jì)算 類型一類型一 有等腰直角三角有等腰直角三角,通常作底邊上的通常作底邊上的 高、中線或頂角的平分線高、中線或頂角的平分線 類型二類型二 有直角三角形有直角三角形,通常作斜邊上的中線通常作斜邊上的中線 類型三類型三 截長(zhǎng)補(bǔ)短截長(zhǎng)補(bǔ)短類型四類型四 構(gòu)建適宜的三角形或四邊形構(gòu)建適宜的三角形或四邊形類型五類型五 有角平分線,作到角兩邊的垂線有角平分線,作到角兩邊的垂線第二部分第二部分 題型研究題型研究二、解答題重難點(diǎn)突破二、解答題重難點(diǎn)突破類型一類型一 有

2、等腰直角三角形,通常作底邊上的高、中有等腰直角三角形,通常作底邊上的高、中 線或頂角的平分線線或頂角的平分線 題型四題型四 三角形、四邊形的證明與計(jì)算三角形、四邊形的證明與計(jì)算 典例精講 例例 已知,四邊形已知,四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)是正方形,點(diǎn)P在直線在直線BC上,上,點(diǎn)點(diǎn)G在直線在直線AD上(上(P、G不與正方形頂點(diǎn)重合,且在不與正方形頂點(diǎn)重合,且在CD的同的同側(cè)),側(cè)),PDPG,DFPG于點(diǎn)于點(diǎn)H,DF交直線交直線AB于點(diǎn)于點(diǎn)F,將,將線段線段PG繞點(diǎn)繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到得到線段線段PE,連接,連接EF. (1)如圖)如圖,當(dāng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)與點(diǎn)G分別在分別在線段線段B

3、C與線段與線段AD上時(shí),若上時(shí),若PC=1,計(jì)算出計(jì)算出DG的長(zhǎng);的長(zhǎng);例題圖例題圖(2)如圖)如圖,當(dāng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)與點(diǎn)G分別在線段分別在線段BC與線段與線段AD上時(shí),上時(shí),證明:四邊形證明:四邊形DFEP為菱形;為菱形;(3)如圖)如圖,當(dāng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)與點(diǎn)G分別在線段分別在線段BC與線段與線段AD的延長(zhǎng)的延長(zhǎng)線上時(shí),(線上時(shí),(2)的結(jié)論:四邊形)的結(jié)論:四邊形DFEP為菱形是否依然成立?若成立,請(qǐng)給為菱形是否依然成立?若成立,請(qǐng)給出證明;若不成立,請(qǐng)說明理由出證明;若不成立,請(qǐng)說明理由.例題圖例題圖 (1)【思路分析】作)【思路分析】作PMDG于點(diǎn)于點(diǎn)M,根據(jù)等腰三角形,根據(jù)等腰三角形

4、的性質(zhì)由的性質(zhì)由PD=PG得得MG=MD,根據(jù)矩形的判定定理易得四邊,根據(jù)矩形的判定定理易得四邊形形PCDM為矩形,則為矩形,則PC=MD,于是有,于是有DG=2PC. 解解:作:作PMDG于點(diǎn)于點(diǎn)M,如解圖,如解圖, PD=PG, MG=MD, 四邊形四邊形ABCD為正方形,為正方形, 四邊形四邊形PCDM為矩形,為矩形, PC=MD,DG=2PC=2.例題解圖例題解圖M (2)【思路分析】根據(jù)四邊形【思路分析】根據(jù)四邊形ABCD為正方形得為正方形得AD=AB,由四邊形由四邊形ABPM為矩形得為矩形得AB=PM,則,則AD=PM,再利用等角再利用等角的余角相等得到的余角相等得到GDH=MPG

5、,于是可根據(jù),于是可根據(jù)“ASA”證明證明ADF MPG,得到,得到DF=PG,加上,加上PD=PG,得到得到DF=PD,然后利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得,然后利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得EPG=90,PE=PG,所以,所以PE=PD=DF,再利用,再利用DFPG得到得到DFPE,于是可判斷四邊形于是可判斷四邊形DFEP為平行四邊形,加上為平行四邊形,加上DF=PD,則可,則可判斷四邊形判斷四邊形DFEP為菱形為菱形. 解解:四邊形四邊形ABCD為正方形,為正方形, AD=AB, 四邊形四邊形ABPM為矩形,為矩形, AB=PM, AD=PM, DFPG, DHG=90, GDH+DGH=90,MGP +MPG=90

6、,GDH=MPG,在在ADF和和MPG中中,A=GMP,AD=MPADF=MPG,ADF MPG(ASA),DF=PG,而而PD=PG,DF=PD,線段線段PG繞點(diǎn)繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段得到線段PE,EPG=90,PE=PG,PE=PD=DF,而而DFPG,DFPE,即即DFPE,且且DF=PE,四邊形四邊形DFEP為平行四邊形,為平行四邊形,DF=PD,四邊形四邊形DFEP為菱形為菱形. (3)【思路分析】與(【思路分析】與(2)的證明方法一樣可得到四邊)的證明方法一樣可得到四邊 形形DFEP為菱形為菱形. 解:四邊形解:四邊形DFEP是菱形,理由如下:是菱形,理由如下:作作

7、PMDG于點(diǎn)于點(diǎn)M,如解圖,如解圖,與(與(2)一樣同理可證)一樣同理可證ADF MPG,DF=PG,而而PD=PG,DF=PD,線段線段PG繞點(diǎn)繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段得到線段PE,EPG=90,PE=PG,PE=PD=DF,例題解圖例題解圖M而而DFPG,DFPE,即即DFPE,且且DF=PE,四邊形四邊形DFEP為平行四邊形,為平行四邊形,DF=PD,四邊形四邊形DFEP為菱形為菱形.第二部分第二部分 題型研究題型研究二、解答題重難點(diǎn)突破二、解答題重難點(diǎn)突破題型四題型四 三角形、四邊形的證明與計(jì)算三角形、四邊形的證明與計(jì)算類型二類型二 有直角三角形,通常作斜邊上的中線有直角

8、三角形,通常作斜邊上的中線 典例精講 例例 某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在作三角形的拓展圖形,研究其性某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在作三角形的拓展圖形,研究其性質(zhì)時(shí),經(jīng)歷了如下過程:質(zhì)時(shí),經(jīng)歷了如下過程:(1)在等腰)在等腰ABC中,中,AB=AC,分別以,分別以AB、AC為斜邊,為斜邊,向向ABC的外側(cè)作等腰直角三角形,如圖的外側(cè)作等腰直角三角形,如圖所示,其中所示,其中DFAB于點(diǎn)于點(diǎn)F,EGAC于點(diǎn)于點(diǎn)G,M是是BC的的中點(diǎn),連接中點(diǎn),連接MD和和ME,求證:求證: AF=AG= AB; MD=ME.21例題圖例題圖 (2)在任意)在任意ABC中,仍分別以中,仍分別以AB、AC為斜邊,為斜邊,向向ABC的內(nèi)側(cè)作等腰

9、直角三角形,如圖的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形,如圖所示,所示,M是是BC的中點(diǎn),連接的中點(diǎn),連接MD和和ME,試判斷,試判斷MDE的形狀的形狀.(直(直接寫答案,不需要寫證明過程)接寫答案,不需要寫證明過程)例題圖例題圖例題圖例題圖 (3)在任意)在任意ABC中,分別以中,分別以AB、AC為斜邊,向?yàn)樾边?,向ABC的外側(cè)作等腰直角三角形,如圖的外側(cè)作等腰直角三角形,如圖所示,所示,M是是BC的的中點(diǎn),連接中點(diǎn),連接MD和和ME,則,則MD與與ME有怎樣的數(shù)量關(guān)系?有怎樣的數(shù)量關(guān)系? (1)【思路分析】由等腰直角三角形的性質(zhì)可以得出)【思路分析】由等腰直角三角形的性質(zhì)可以得出F、G分別是分別是AB、A

10、C的中點(diǎn),就可以得出的中點(diǎn),就可以得出FM、GM是是ABC的中位線,就可以得出的中位線,就可以得出BFM=BAC=CGM.就就可以得出可以得出DFM EGM從而得出結(jié)論從而得出結(jié)論. 證明證明:ADB、AEC是等腰直角三角形,是等腰直角三角形,DFAB于點(diǎn)于點(diǎn)F,EGAC于點(diǎn)于點(diǎn)G, DF=AF= AB,EG=AG= AC,DFB=EGC=90, M是是BC的中點(diǎn),的中點(diǎn),2121FM、GM是是ABC的中位線,的中位線,F(xiàn)M= AC,GM= AB,FMAC,GMAB,BFM=BAC,BAC=CGM,BFM=CGM,BFM+DFB=CGM+EGC,DFM=EGM.AB=AC, AB= AC,AF

11、=AG= AB,DF=EG,FM=GM,2121212121在在DFM和和EGM中,中, DF=EG DFM=EGM FM=GM,DFM EGM(SAS),MD=ME. (2)【思路分析】?。舅悸贩治觥咳C、AB、AC的中點(diǎn)的中點(diǎn)M、F、G,連連接接DF、MF,EG、MG,DF和和MG相交于相交于H,根據(jù)三角形的,根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)及直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可以得出中位線的性質(zhì)及直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可以得出DFM MGE,由全等三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論,由全等三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論. 解解:如解圖:如解圖,取,取BC、AB和和AC的中點(diǎn)的中點(diǎn)M、F、G,連接連接MF、DF、

12、MG、EG,DF和和MG相交于相交于H.MFAC,MF= AC,MGAB,MG= AB,四邊形四邊形MFAG是平行四邊形,是平行四邊形,MG=AF,MF=AG,AFM=AGM,ADB和和AEC是等腰直角三角形,是等腰直角三角形,DF=AF,GE=AG,AFD=BFD=AGE=90,MF=EG,DF=MG,AFM-AFD=AGM- AGE,例題解圖例題解圖2121FGH即即DFM=MGE.在在DFM和和MGE中,中, FM=GE DFM=MGE , DF=MGDFM MGE(SAS),MD=ME,MDF=EMG.MGAB,MHD=BFD=90, (3)【思路分析】取)【思路分析】取AB、AC的中

13、點(diǎn)的中點(diǎn)F、G,連接,連接DF、MF、EG、MG,根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)和等腰直角三,根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)就可以得出四邊形角形的性質(zhì)就可以得出四邊形AFMG是平行四邊形,從而得是平行四邊形,從而得出出DFM MGE,根據(jù)其性質(zhì)就可以得出結(jié)論根據(jù)其性質(zhì)就可以得出結(jié)論.HMD+MDF=90,HMD+EMG=90,即即DME=90,DME為為等腰直角三角形等腰直角三角形.例題解圖例題解圖 解解:MD=ME, 理由:如解圖理由:如解圖,取,取AB、AC的中點(diǎn)的中點(diǎn)F、G,連接,連接DF、MF、EG、MG, AF= AB,AG= AC. ABD和和AEC是等腰直角三角形是等腰

14、直角三角形, DFAB,DF= AB,EGAC,EG= AC, AFD=AGE=90,DF=AF,GE=AG. M是是BC的中點(diǎn)的中點(diǎn), MFAC,MGAB,21212121FG四邊形四邊形AFMG是平行四邊形,是平行四邊形, AG=MF,MG=AF,AFM=AGM,MF=EG,DF=MG,AFM+AFD=AGM+AGE,DFM=MGE.在在DFM和和MGE中中, FM=GE DFM=MGE DF=MG,DFM MGE(SAS),DM=ME.第二部分第二部分 題型研究題型研究二、解答題重難點(diǎn)突破二、解答題重難點(diǎn)突破題型四題型四 三角形、四邊形的證明與計(jì)算三角形、四邊形的證明與計(jì)算類型三類型三

15、截長(zhǎng)補(bǔ)短截長(zhǎng)補(bǔ)短 典例精講 例例 (20152015本溪本溪)如圖)如圖,在,在ABC中,中,AB=AC,射線射線BP從從BA所在位置開始繞點(diǎn)所在位置開始繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為順時(shí)針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為(0180) (1)當(dāng))當(dāng)BAC=60時(shí),將時(shí),將BP旋轉(zhuǎn)到圖旋轉(zhuǎn)到圖位置,點(diǎn)位置,點(diǎn)D在在射線射線BP上,若上,若CDP120,證明:證明:BD=CD+AD; 例題圖例題圖例題圖例題圖 (2)當(dāng))當(dāng)BAC=120時(shí),將時(shí),將BP旋轉(zhuǎn)到圖旋轉(zhuǎn)到圖位置,點(diǎn)位置,點(diǎn)D在射線在射線BP上,若上,若CDP=60,求證:,求證:BD-CD= AD; (3)將圖)將圖中的中的BP繼續(xù)旋轉(zhuǎn),當(dāng)繼續(xù)旋轉(zhuǎn),當(dāng)301

16、80時(shí),時(shí),點(diǎn)點(diǎn)D是直線是直線BP上一點(diǎn)(點(diǎn)上一點(diǎn)(點(diǎn)P不在線段不在線段BD上),若上),若CDP=120,試猜想:線段試猜想:線段BD、CD與與AD之間的數(shù)量關(guān)系,并證明之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.例題圖例題圖3 (1)【思路分析】如解圖)【思路分析】如解圖,CDP=120,根據(jù)鄰補(bǔ),根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)得出角互補(bǔ)得出CDB=60,那么,那么CDB=BAC=60,所以,所以A、B、C、D四點(diǎn)共圓,根據(jù)圓周角定理得出四點(diǎn)共圓,根據(jù)圓周角定理得出ACD=ABD;在在BP上截取上截取BE=CD,連接連接AE.利用利用SAS證明證明DCA EBA,得出得出AD=AE,DAC=EAB,再證明,再證明ADE是等邊

17、三角形,是等邊三角形,得到得到DE=AD,進(jìn)而得出,進(jìn)而得出BD=CD+AD.證明證明:如解圖:如解圖,CDP=120,CDB=60,BAC=60,CDB=BAC=60,A、B、C、D四點(diǎn)共圓,四點(diǎn)共圓,ACD=ABD.在在BP上截取上截取BE=CD,連接,連接AE,在在DCA與與EBA中,中, AC=AB ACD=ABE CD=BE,DCA EBA(SAS),例題解圖例題解圖EAD=AE,DAC=EAB,CAB=CAE+EAB=60,DAE=CAE+DAC=60,ADE是等邊三角形,是等邊三角形,DE=AD,BD=BE+DE,BD=CD+AD. (2)【思路分析】如解圖【思路分析】如解圖,設(shè)

18、,設(shè)AC與與BD相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)O,在在BP上截取上截取BE=CD,連接,連接AE,過過A作作AFBD于于F.先由兩角先由兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似得出對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似得出DOCAOB,于是,于是ACD=ABE.再利用再利用SAS證明證明DCA EBA,得出,得出AD=AE,DAC=EAB.由由CAB=CAE+EAB=120,得出得出DAE=120,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求出定理求出ADE=AED= =30.解解RtADF,得,得到到DF= AD,那么,那么DE=2DF AD,進(jìn)而得出,進(jìn)而得出BD=DE+BE= AD+CD,即即BD-

19、CD= AD.2120-18023333 證明證明:如解圖:如解圖,設(shè),設(shè)AC與與BD相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)O,在,在BP上截取上截取BE=CD,連接連接AE,過,過A作作AFBD于于F. CDP=60, CDB=120, CAB=120, CDB=CAB, DOC=AOB, DOCAOB, ACD=ABE.例題解圖例題解圖EFO在在DCA與與EBA中,中, AC=AB ACD=ABE, CD=BEDCA EBA(SAS),AD=AE,DAC=EAB,CAB=CAE+EAB=120,DAE=120,ADE=AED= =30.2120-180在在RtADF中,中,ADF=30,DF= AD,DE=2D

20、F= AD,BD=DE+BE= AD+CD,BD-CD= AD.32333(3)【思路分析】同(【思路分析】同(2)證明可以得出)證明可以得出BD+CD= AD.3 解解:猜想:猜想:BD+CD= AD或或CD-BD= AD. 證明證明:如解圖:如解圖,在,在DB的延長(zhǎng)線上取的延長(zhǎng)線上取BE=CD,連接連接AE,過過A作作AFBE于于F.33由三角形外角性質(zhì)得由三角形外角性質(zhì)得CBE=CDB+BCD=60+BCD,又又CBE=ABC+ABE=30+ABE,ABE=30+BCD=ACB+BCD=ACD,AC=AB,CD=BE,ACD ABE(SAS),EAB=DAC,AE=AD,EAB+BAD=

21、BAD+DAC=120,ADE=30.DE=2DF=2ADcosADF= AD, AD=BD+BE=BD+CD;3例題解圖例題解圖3FE如解圖如解圖,當(dāng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P在在DB的延長(zhǎng)線上,的延長(zhǎng)線上,在在CD上截取上截取CE=BD,連接連接AE,過過A作作AFCD于于F.易得易得ACE ABD,AE=AD,CAE=BAD,EAD=CAE+EAB=CAB=120,在在RtDAF中中,F(xiàn)D=ADcosADF= AD,ED=2FD= AD,CD-BD= AD.3323例題解圖例題解圖EF第二部分第二部分 題型研究題型研究二、解答題重難點(diǎn)突破二、解答題重難點(diǎn)突破題型四題型四 三角形、四邊形的證明與計(jì)算三角形

22、、四邊形的證明與計(jì)算類型四類型四 構(gòu)建適宜的三角形或四邊形構(gòu)建適宜的三角形或四邊形 典例精講 例例 (2015營(yíng)口)(營(yíng)口)(1)如圖)如圖,銳角,銳角ABC中分別中分別以以AB、AC為邊向外作等腰為邊向外作等腰ABE和等腰和等腰ACD,使,使AE=AB,AD=AC,BAE=CAD,連接,連接BD,CE,試,試猜想猜想BD與與CE的大小關(guān)系,并說明理由的大小關(guān)系,并說明理由.例題圖例題圖例題圖例題圖(2)如圖)如圖,四邊形,四邊形ABCD中,中,AB=7 cm,BC=3 cm,ABC=ACD=ADC=45,求,求BD的長(zhǎng)的長(zhǎng).(3)如圖)如圖,在(,在(2)的條件下,當(dāng))的條件下,當(dāng)ACD在線

23、段在線段AC的的左側(cè)時(shí),求左側(cè)時(shí),求BD的長(zhǎng)的長(zhǎng).例題圖例題圖 解:解:BD=CE.理由如下:理由如下: BAE=CAD, BAE+BAC=CAD+BAC,即即EAC=BAD, 在在EAC和和BAD中,中, AE=AB EAC=BAD AC=AD, (1)【思路分析】先通過角度間的等量代換證明【思路分析】先通過角度間的等量代換證明EAC=BAD,再根據(jù),再根據(jù)SAS即可證明即可證明EAC BAD,由全等三角形,由全等三角形的性質(zhì)即可證明的性質(zhì)即可證明BD=CE. EAC BAD(SAS),), BD=CE. (2)【思路分析】在)【思路分析】在ABC的外部,以點(diǎn)的外部,以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作為直角

24、頂點(diǎn)作等腰直角三角形等腰直角三角形BAE,使,使BAE=90,AE=AB,連接,連接EC,證明證明EAC BAD,證明,證明BD=CE,然后在直角三角形,然后在直角三角形BCE中利用勾股定理即可求解中利用勾股定理即可求解. 解解:如解圖:如解圖,在,在ABC的外部,以點(diǎn)的外部,以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn)作等腰直角三角形作等腰直角三角形BAE,使,使BAE=90,AE=AB,連接,連接EC.ACD=ADC=45,AC=AD,CAD=90,BAE+BAC=CAD+BAC,即即EAC=BAD,在在EAC和和BAD中中, AE=AB EAC=BAD AC=AD,EAC BAD(SAS),),BD=CE

25、.例題解圖例題解圖EAE=AB=7,BE= =7 ,ABE=AEB=45,又又ABC=45,ABC+ABE=45+45= 90,CE= = = , BD=CE= cm.10710727722+BCBE22+3)27(22+ (3)【思路分析】在線段【思路分析】在線段AC的右側(cè)過點(diǎn)的右側(cè)過點(diǎn)A作作AEAB于點(diǎn)于點(diǎn)A,交交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,證明,證明EAC BAD,證明,證明BD=CE,即可求解即可求解.例題解圖例題解圖解解:如解圖:如解圖,在線段,在線段AC的右側(cè)過點(diǎn)的右側(cè)過點(diǎn)A作作AEAB于點(diǎn)于點(diǎn)A,交交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.AEAB,BAE=90,又又ABC=45,E

26、=ABC=45,AE=AB=7,BE= = ,又又ACD=ADC=45,BAE=DAC=90,AC=AD,7722+27EBAE-BAC=DAC-BAC,即,即EAC=BAD, 在在EAC和和BAD中,中, AE=AB EAC=BAD , AC=ADEAC BAD(SAS),),BD=CE,BC=3,BD=CE= cm.3)-27(第二部分第二部分 題型研究題型研究二、解答題重難點(diǎn)突破二、解答題重難點(diǎn)突破題型四題型四 三角形、四邊形的證明與計(jì)算三角形、四邊形的證明與計(jì)算類型五類型五 有角平分線,作到角兩邊的垂線有角平分線,作到角兩邊的垂線 典例精講 例例 (20142014重慶重慶A A卷卷)

27、如圖,)如圖,ABC中,中,BAC=90,ABAC,ADBC,垂足是垂足是D,AE平分平分BAD,交交BC于點(diǎn)于點(diǎn)E.在在ABC外有一點(diǎn)外有一點(diǎn)F,使使FAAE,FCBC. (1)求證:)求證:BE=CF; ( 2 )在在AB上取一點(diǎn)上取一點(diǎn)M,使,使BM2DE,連接連接MC,交,交AD于點(diǎn)于點(diǎn)N,連接,連接ME. 求證求證:MEBC; DE=DN.例題圖例題圖 (1)【思路分析】要證【思路分析】要證BE=CF,通過觀察圖形,得其分,通過觀察圖形,得其分別在別在ABE與與ACF中,由于中,由于ABE與與ACF分別有一組分別有一組邊相等邊相等(AB=AC),且,且BE、CF的對(duì)應(yīng)角都與直角有關(guān)的

28、對(duì)應(yīng)角都與直角有關(guān)(BACEAF90),因此,可考慮通過證明),因此,可考慮通過證明ABE與與ACF全等后,再進(jìn)一步利用全等三角形的性質(zhì)全等后,再進(jìn)一步利用全等三角形的性質(zhì)證明證明BE=CF.證明證明:如解圖,:如解圖,BAC=90,F(xiàn)AAE,1+EAC=90,例題解圖例題解圖 2+EAC=90,12,又又AB=AC,B=ACB=45.FCBC, FCA=90 - ACB=90-45=45,B=FCA,ABE ACF(ASA),),BE=CF.G25134687一題多解一題多解:BAC=90,F(xiàn)AAE,BAC=EAF=90,BAE+EAC=EAC+CAF,BAE=CAF,又又FCBC,且在四邊

29、形且在四邊形AECF中,中,EAF+ECF=180,AEC+F=180,BEA+AEC=180,BEA=F,AB=AC,ABE ACF(AAS), BE=CF. (2)【思路分析】【思路分析】過過E作作EGAB于點(diǎn)于點(diǎn)G,可證明可證明GBE是等腰直角三角形,可得是等腰直角三角形,可得3=45,由角平分線的性質(zhì)可證由角平分線的性質(zhì)可證EG=ED,可得可得BG=ED,再由再由BM=2ED,可證可證EG是是BM的垂直平的垂直平分線,可得分線,可得4=45,即可證明即可證明MEBC;先證先證RtAMC RtEMC得出得出7=8,再證再證ADE CDN,得出得出DE=DN. 證明證明:如解圖,過如解圖,過E作作EGAB于點(diǎn)于點(diǎn)G. B=45, GBE是等腰直角三角形,是等腰直角三角形,BG=EG,3=45,ADBC,AE平分平分BAD,EG=ED,BG=ED,BM=2ED,BM=2BG,即即G是是BM的中點(diǎn)的中點(diǎn),EG是是BM的垂直平分線,的垂直平分線,EB=EM,4=3=45,MEB=4+3=45+4590,即,即MEBC.ADBC,MEAD,5=6,1=5,1=6,AM=EM,MC=MC,RtAMC RtEMC(HL),78,BAC=90,AB=AC,ACB=45,BAD=CAD=45, 5722.5,ADCD,ADE=CDN=90,ADE CDN(ASA),),DE=DN.

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