浙江省甌海區(qū)三溪中學高三數學第一輪復習 第16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數課件

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1、問題提出問題提出1.1.角是平面幾何中的一個基本圖形，角是可以度量其大小的角是平面幾何中的一個基本圖形，角是可以度量其大小的. .在平在平面幾何中，角的取值范圍如何？面幾何中，角的取值范圍如何？ 2、思考、思考：對于角的圖形特點有如下兩種認識：角是由平面內一：對于角的圖形特點有如下兩種認識：角是由平面內一點引出的兩條射線所組成的圖形（如圖點引出的兩條射線所組成的圖形（如圖1）；角是由平面內一條）；角是由平面內一條射線繞其端點從一個位置旋轉到另一個位置所組成的圖形（如圖射線繞其端點從一個位置旋轉到另一個位置所組成的圖形（如圖2）.你認為哪種認識更科學、合理？你認為哪種認識更科學、合理？圖圖2 2

2、圖圖1 1答：一個是靜的，一個是動的。用動的更合理，因為靜止是相對的，運動是絕對的。三、1、問有沒有361角？與1有什么異同？能舉出現實生活中的例子來理解嗎？即它是有現實根據的，是來源于現實的。2、能不能說361就是1即361=1？為什么要區(qū)分361、1？答：361、1隱含的過程和意義是不同的，雖然這種過程和意義對事物的效果即結果都是一樣也就是都回到原來位置，我們區(qū)分361、1并不是區(qū)分這種意義的效果即結果而是區(qū)分這種過程和意義。比如361是轉了一圈又回到1的位置，我們要把這種區(qū)別區(qū)分開來，如果不區(qū)分那很不容易表達一些現象。這種區(qū)分有現實意義。比如：過去我們學習了0360范圍的角，但在實際問題

3、中還會遇到其他角如在體操、花樣滑冰、跳臺跳水等比賽中，常常聽到“轉體1080”、“轉體1260”這樣的解說再如鐘表的指針、擰動螺絲的扳手、機器上的輪盤等，它們按照不同方向旋轉所成的角，不全是0360范圍內的角.因此，僅有0360范圍內的角是不夠的，我們必須將角的概念進行推廣。思考：思考：在齒輪傳動中，被動輪與主動輪是按相反方向旋轉的在齒輪傳動中，被動輪與主動輪是按相反方向旋轉的. .一般一般地，一條射線繞其端點旋轉，既可以按逆時針方向旋轉，也可以按地，一條射線繞其端點旋轉，既可以按逆時針方向旋轉，也可以按順時針方向旋轉順時針方向旋轉. .你認為將一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉你認為將一條射線

4、繞其端點按逆時針方向旋轉60600 0所形成的角，與按順時針方向旋轉所形成的角，與按順時針方向旋轉60600 0所形成的角是否相等？所形成的角是否相等？ 2、旋轉有幾個方向？既然旋轉有方向，那我們可以規(guī)定。你能說出這種規(guī)定它的現實來源嗎？即為什么要規(guī)定正角、負角？即規(guī)定正角、負角對現實世界的解釋是不是更容易清晰？ 答：規(guī)定：按逆時針方向旋轉形成的角叫做正角，按順時針方向旋轉形成的角叫做負角 如果一條射線沒有作任何旋轉，則稱它形成了一個零角。還是體操、鐘表、跳臺等等的例子。 比如如果分負角正角當我們看到-300 就知道是順時針旋轉，300 就是逆時針旋轉，如果不分正角、負交當看到300 我們就不

5、知道是逆時針還是順時針，即對現實世界的解釋就不會這么清晰。3、這樣子角的范圍變的多大？稱做什么角？任意角的分類與實數的分類有什么關系？答：負無窮到正無窮。任意角。相似。思考思考6 6：如果你的手表慢了如果你的手表慢了2020分鐘，或快了分鐘，或快了1.251.25小時，你小時，你應該將分鐘分別旋轉多少度才能將時間校準？應該將分鐘分別旋轉多少度才能將時間校準？ 120120，450450. . 2、旋轉有幾個方向？既然旋轉有方向，那我們可以規(guī)定。你能說出這種規(guī)定它的現實來源嗎？即為什么要規(guī)定正角、負角？即規(guī)定正角、負角對現實世界的解釋是不是更容易清晰？ 答：規(guī)定：按逆時針方向旋轉形成的角叫做正角

6、，按順時針方向旋轉形成的角叫做負角 如果一條射線沒有作任何旋轉，則稱它形成了一個零角。還是體操、鐘表、跳臺等等的例子。 比如如果分負角正角當我們看到-300 就知道是順時針旋轉，300 就是逆時針旋轉，如果不分正角、負交當看到300 我們就不知道是逆時針還是順時針，即對現實世界的解釋就不會這么清晰。1、為了進一步研究角的需要，我們常在直角坐標系內討論角，你想想角的頂點該在哪里，始邊該在哪里？，那么對一個任意角，角的終邊可能落在哪些位置？2、如果角的終邊在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限的角；如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于如何象限，或稱這個角為軸線角.那么下列各角：-50，405，

7、210, -200，450分別是第幾象限的角？3、銳角與第一象限的角是什么邏輯關系？鈍角與第二象限的角是什么邏輯關系？直角與軸線角是什么邏輯關系？4、第二象限的角一定比第一象限的角大嗎？答：象限角只能反映角的終邊所在象限，不能反映角的大小.1、終邊相同的角比如與1角有多少個？他們有規(guī)律嗎？能用符號把他們表達出來嗎？2、1還可以改為多少度？k360幾何意義是什么？k180,k90幾何意義是什么？3、能從簡單具體例子推廣為一般嗎？4、寫出終邊在y軸上角的集合，有規(guī)律嗎？先看書的解法，繁不繁？難不難？抽象不抽象？它是從代數角度來解的。有直觀的幾何角度的解法嗎？5、用上面直觀的幾何角度的解法解出終邊在

8、坐標軸上角的集合，有規(guī)律嗎？。寫出終邊在直線y=x上的角的集合S，有規(guī)律嗎？并把S中適合不等式-360到720的角找出來。6、第一、二、三、四象限的角的集合分別如何表示？7、如果是第二象限的角，那么2、/2分別是第幾象限的角？ 3、換個角度看問題：、換個角度看問題： 2010-1-17睡覺的時候想到了把睡覺的時候想到了把0到到360推廣為任意角的一個形象的比喻，推廣為任意角的一個形象的比喻，就是就是0到到360對于任意角是個受精卵，任意角有這個受精卵發(fā)育生成，那到對于任意角是個受精卵，任意角有這個受精卵發(fā)育生成，那到底是如何發(fā)育生成，就是逆時針旋轉整數圈，順時針旋轉整數圈。底是如何發(fā)育生成，就

9、是逆時針旋轉整數圈，順時針旋轉整數圈。 所以在解終邊在所以在解終邊在y軸上角的集合時，這樣的角有無數個，但有什么角發(fā)育生軸上角的集合時，這樣的角有無數個，但有什么角發(fā)育生成，如何發(fā)育生成。即有成，如何發(fā)育生成。即有90或或270發(fā)育生成，那如何發(fā)育生成，就是逆時針發(fā)育生成，那如何發(fā)育生成，就是逆時針旋轉整數個半圈，或順時針旋轉整數個半圈。旋轉整數個半圈，或順時針旋轉整數個半圈。 同理，對于寫出終邊在坐標軸上角的集合，可以有同理，對于寫出終邊在坐標軸上角的集合，可以有0或或90或或180或或270這個受精卵發(fā)育生成，如何發(fā)育生成就是逆時針或順時針旋轉整數個這個受精卵發(fā)育生成，如何發(fā)育生成就是逆時

10、針或順時針旋轉整數個1/4圈。圈。對于終邊在直線對于終邊在直線y=x上角的集合也一樣。上角的集合也一樣。 還有就是沒有時間寫出終邊在第一象限或第二象限或第三象限或第四象限還有就是沒有時間寫出終邊在第一象限或第二象限或第三象限或第四象限的角的集合。這些集合也可以用上述思路來分析。比如終邊在第一象限角的集合的角的集合。這些集合也可以用上述思路來分析。比如終邊在第一象限角的集合有有0到到90這個受精卵發(fā)育生成，那如何發(fā)育生成？就是旋轉整數圈。這個受精卵發(fā)育生成，那如何發(fā)育生成？就是旋轉整數圈。 事物的發(fā)生發(fā)展可以有一個形象的比喻就是人有受精卵發(fā)育生成，如何發(fā)育事物的發(fā)生發(fā)展可以有一個形象的比喻就是人

11、有受精卵發(fā)育生成，如何發(fā)育生成學了生物就知道，生成學了生物就知道，道德經道德經里的一句名言：里的一句名言：“道道”生一，一生二，二生三，生一，一生二，二生三，三生萬物。受精卵相當于三生萬物。受精卵相當于“道道”。二、二、1、大家知道不知道度量一個物體的長短或路程的遠近我們是、大家知道不知道度量一個物體的長短或路程的遠近我們是怎么說的？怎么說的？答：多少米，多少公里。答：多少米，多少公里。 2、大家知道、大家知道1米是多長？度量長度有幾種單位制？相互之間轉換米是多長？度量長度有幾種單位制？相互之間轉換知道嗎？度量重量有幾種單位制？相互之間轉換知道嗎？知道嗎？度量重量有幾種單位制？相互之間轉換知道

12、嗎？答答：米、英尺、碼。千克、磅?？梢园俣?。以下轉換來自百度：米、英尺、碼。千克、磅?？梢园俣取Ｒ韵罗D換來自百度：米：等于氪米：等于氪-86原子的原子的2p10和和5d5之間躍遷所對應的輻射在真空中的之間躍遷所對應的輻射在真空中的1,650,763.73個波長的長度。個波長的長度。1英尺英尺(呎呎) = 12 英寸英寸(吋吋) = 30.48 厘米。關于英尺的來歷：厘米。關于英尺的來歷：正如如同英尺的英文單詞意義一樣，正如如同英尺的英文單詞意義一樣，foot,簡稱簡稱 ft ， 古英國時期因為沒有國際古英國時期因為沒有國際公認的度量單位，所以人們往往使用自己的腳來測量實地的面積，久而久之，公認

13、的度量單位，所以人們往往使用自己的腳來測量實地的面積，久而久之，一種基于成年男子單腳的長度就被公認為英國等國家人可得標準度量衡。德國一種基于成年男子單腳的長度就被公認為英國等國家人可得標準度量衡。德國人出了一招，讓最早從教堂出來的人出了一招，讓最早從教堂出來的16個男子量出左腳的長度加在一起，再除以個男子量出左腳的長度加在一起，再除以16，商就是一尺。，商就是一尺。碼：英制長度單位碼：英制長度單位,美制碼等于美制碼等于0.9144米米,在英國在英國,則則1碼等于保存在威斯敏斯特碼等于保存在威斯敏斯特商務部標準局的青銅棒兩個金塞子上橫線標記之間的距離商務部標準局的青銅棒兩個金塞子上橫線標記之間的

14、距離(在在62癋時癋時) yard (縮縮寫寫yd)磅：英美制重量單位，磅：英美制重量單位，1磅等于磅等于0.45359237千克。千克。 3、為什么會有多種單位制？單位制的本質是什么？為什么會有多種單位制？單位制的本質是什么？ 答：一是各個國家歷史原因，二是每個單位制各有千秋。答：一是各個國家歷史原因，二是每個單位制各有千秋。 為了度量物體的長短、輕重、大小我們只能先規(guī)定一個單位是為了度量物體的長短、輕重、大小我們只能先規(guī)定一個單位是什么東西，然后讓物體跟這個單位比較看看有多少個單位，這就是什么東西，然后讓物體跟這個單位比較看看有多少個單位，這就是單位制的本質。單位制的本質。 4、角的單位制

15、是什么？是如何規(guī)定的？這種規(guī)定有什么優(yōu)、角的單位制是什么？是如何規(guī)定的？這種規(guī)定有什么優(yōu)劣？如果有劣該如何？劣？如果有劣該如何？1、1的角是怎樣規(guī)定的？的角是怎樣規(guī)定的？2、什么叫角度制？、什么叫角度制？規(guī)定規(guī)定周角周角的的1/360叫做叫做1度的角。度的角。用用度度作單位來度量角的單位制叫做角度制。作單位來度量角的單位制叫做角度制。OAB13、角度制的單位是什么？、角度制的單位是什么？“度度”（即（即“ ”） 不能省略不能省略4、弧長公式、弧長公式180nrl2360n rS思思 考考 由角度制的定義我們知道由角度制的定義我們知道,角度是用角度是用來度量角的來度量角的, 它與圓的半徑大小無關

16、它與圓的半徑大小無關. 但但是角度制的度量是是角度制的度量是60進制的進制的,運用起來不運用起來不太方便太方便, 那么那么, 我們由弧長的計算公式是我們由弧長的計算公式是否也能夠找到一個否也能夠找到一個與半徑無關與半徑無關的量的量,從而從而用來度量角呢用來度量角呢?r1rad2rad2r1、1弧度的角弧度的角長度為半徑的弧所對的圓心角。長度為半徑的弧所對的圓心角。一、弧度制一、弧度制2弧度：弧度：radrrrl22當圓心角為周角時，它所對的?。磮A周）長當圓心角為周角時，它所對的弧（即圓周）長 ，所，所以周角的弧度數是以周角的弧度數是rl2rad2rr2rl 例如：sin ,sin2 。 22

17、 2、推廣、推廣：正角正角的弧度數是一個的弧度數是一個正數正數，負角負角的弧度數是一個的弧度數是一個負數負數，零角零角的弧度數是的弧度數是0；rl角角的弧度數的的弧度數的絕對值絕對值（其中（其中l(wèi)是以角是以角作為圓心角時所對弧的長，作為圓心角時所對弧的長，r是圓的半徑。）是圓的半徑。）3、以、以弧度弧度作為單位來度量角的單位制，叫做作為單位來度量角的單位制，叫做弧度制弧度制。用弧度表示角的時候，用弧度表示角的時候，“弧度弧度”二字或二字或“rad”可以省可以省略。略。但是要弄清其含義，不能混淆。但是要弄清其含義，不能混淆。如果圓心角表示一個如果圓心角表示一個負值負值，且它所對的弧長，且它所對的

18、弧長為為 ，這個圓心角的弧度數是多少？，這個圓心角的弧度數是多少？ rl4rad4rlrr4(1). 弧長公式：弧長公式： lRS21 rl R (2). 扇形面積公扇形面積公式式 4、公式、公式類比于三角形面積公式二、角度與弧度的換算：二、角度與弧度的換算：1、把角度換成弧度、把角度換成弧度：總結總結rad2rad1（1）僅出現度的，可以）僅出現度的，可以直接乘以直接乘以 ，約簡即可；出現分秒的應約簡即可；出現分秒的應先化為先化為度度，然后再換算。，然后再換算。rad180（2）用弧度作單位時，）用弧度作單位時，常常把弧度數寫成常常把弧度數寫成多少多少個個 的形式，如不作特的形式，如不作特殊

19、說明不必將殊說明不必將 寫成小寫成小數。數。360180rad01745. 0rad1802 2、把弧度換成角度：、把弧度換成角度：總結總結rad2180rad1帶帶 者者 常常 可可 用用 來來180 代代 換；換； 不不 帶帶 者者 可用可用 其其 弧弧 度度 數數 乘乘 以以57.30 來來 求近求近似似 值。值。 360rad815730.57180三、例題：三、例題：度度 030 45 60 90 120 135 150 180 270 360弧度數弧度數表表2：1.填表：填表： 表表1：150 210 15 120 135 -36 -450 -24063423243232065度度

20、弧度數弧度數656732432534125這些是基礎的基礎還不算高中基礎知識基本技能，知道這些是考不上?？频睦?、（、（1）寫出終邊在）寫出終邊在y軸上角的集合（用弧度制表示）軸上角的集合（用弧度制表示）,2|zkk（2）設）設 是第三象限的角，試討論是第三象限的角，試討論 是哪個象限的角是哪個象限的角2注意：注意：（1）用弧度制表示終邊相同角的一般式）用弧度制表示終邊相同角的一般式zkk,2（2）在同一個問題求解過程中，兩種單位不能混用）在同一個問題求解過程中，兩種單位不能混用一、一、1、我們還記不記得在高中是如何重新學習函數的？、我們還記不記得在高中是如何重新學習函數的？ 同學們同學們,

21、我跟你們講一件事情。就是著名教育家朱永新的故事。我跟你們講一件事情。就是著名教育家朱永新的故事。2009年暑假我到海門參加他的新教育實驗會，我看了他的報告。朱年暑假我到海門參加他的新教育實驗會，我看了他的報告。朱老師把全國老師看的清清楚楚。朱老師為什么能把全國老師看的清老師把全國老師看的清清楚楚。朱老師為什么能把全國老師看的清清楚楚，因為他站的角度與他人不一樣，站的高度很高很高。比如清楚楚，因為他站的角度與他人不一樣，站的高度很高很高。比如誰可以把溫州人民看的清清楚楚，那這個人可以當溫州市市委書記，誰可以把溫州人民看的清清楚楚，那這個人可以當溫州市市委書記，把浙江人民看的清請楚楚，那這個人可以

22、當浙江省委書記，把全國把浙江人民看的清請楚楚，那這個人可以當浙江省委書記，把全國人民看的清請楚楚，那這個人可以當國家主席。人只有站在較高一人民看的清請楚楚，那這個人可以當國家主席。人只有站在較高一個層次才能看清較低層次的事情。把國家看的清請楚楚的人一定可個層次才能看清較低層次的事情。把國家看的清請楚楚的人一定可以把浙江人民看的清請楚楚，把浙江人民看的清請楚楚的人，一定以把浙江人民看的清請楚楚，把浙江人民看的清請楚楚的人，一定可以把溫州人民看的清請楚楚。反之不一定。我再舉例子，你把高可以把溫州人民看的清請楚楚。反之不一定。我再舉例子，你把高等數學看的清清楚楚，只要你愿意，你就可以把初等數學看的清

23、清等數學看的清清楚楚，只要你愿意，你就可以把初等數學看的清清楚楚。但你把初等數學看的清清楚楚，高等數學也不一定看的清清楚楚。但你把初等數學看的清清楚楚，高等數學也不一定看的清清楚楚。我在某一程度上可以把小學、初中、數學看的清清楚楚，但楚楚。我在某一程度上可以把小學、初中、數學看的清清楚楚，但對高等數學看不清清楚楚。對高等數學看不清清楚楚。 我畫一個圖形給你們看。在你們面前有個正方形的盒子，沒蓋，我畫一個圖形給你們看。在你們面前有個正方形的盒子，沒蓋，里面有一只哈巴狗。當你的眼睛在盒子的面前，高度是你前面這個里面有一只哈巴狗。當你的眼睛在盒子的面前，高度是你前面這個面的中位線中點，那你可以把這個

24、盒子的前面看的清清楚楚，但這面的中位線中點，那你可以把這個盒子的前面看的清清楚楚，但這只哈巴狗你看不見。接下去我們這樣，我們改變眼睛的角度與高度，只哈巴狗你看不見。接下去我們這樣，我們改變眼睛的角度與高度，把眼睛上升，上升到眼睛還是在前面這個面的前面，但高度上升到把眼睛上升，上升到眼睛還是在前面這個面的前面，但高度上升到盒子上面那個面的上面，這時，我們依然把前面這個面看的清清楚盒子上面那個面的上面，這時，我們依然把前面這個面看的清清楚楚，但發(fā)現了許多新東西，比如我們看到了盒子里有只哈巴狗。所楚，但發(fā)現了許多新東西，比如我們看到了盒子里有只哈巴狗。所以改變角度，上升高度，原來的事情依然可以看的清

25、清楚楚，并且以改變角度，上升高度，原來的事情依然可以看的清清楚楚，并且把發(fā)現的新東西也可以看的很清楚。我為什么要講這些東西，因為把發(fā)現的新東西也可以看的很清楚。我為什么要講這些東西，因為我們今天學習函數的概念。比如浙江省委書記把溫州看的清清楚楚，我們今天學習函數的概念。比如浙江省委書記把溫州看的清清楚楚，但同時發(fā)現了寧波、杭州的新東西。但同時發(fā)現了寧波、杭州的新東西。sincostanacaACBbcbcab答案初中時，我們怎樣利用直角三角形定義了初中時，我們怎樣利用直角三角形定義了銳角三角函數的呢？銳角三角函數的呢？22:barOPbMPaOM其中 yx思考思考1 在直角坐標系中如何用坐標表

26、示銳角三角函數？在直角坐標系中如何用坐標表示銳角三角函數？raOPOMcosrbOPMPsinabOMMPtanbaP,Moabr問題下的再學習換個角度看問題OPMPsinOPOMcosOMMPtan，故因1 rOPyxxy以原點以原點O為為圓心，以單位圓心，以單位長度為半徑的圓，稱為單位圓長度為半徑的圓，稱為單位圓. yoP),(yxx1M高度一樣，角度不同，即特殊情況。為什么對以后的后續(xù)學習有高度一樣，角度不同，即特殊情況。為什么對以后的后續(xù)學習有幫助。即讓點幫助。即讓點P落在特殊的地方，這特殊的地方在哪里？落在特殊的地方，這特殊的地方在哪里？再換個角度看問題設 是一個任意角任意角，它的終

27、邊與單位圓交于點),(yxP 規(guī)定規(guī)定:（1） 叫做 的正弦正弦，記作 ，即 ；ysinysin （2） 叫做 的余弦余弦，記作 ，即 ； cosxxcos（3） 叫做 的正切正切，記作 ，即 。 xytanxytan 注意：正弦，余弦，正切都注意：正弦，余弦，正切都是以是以角為自變量角為自變量，以，以單位圓單位圓上點上點的的坐標或坐標的比值坐標或坐標的比值為函數值的為函數值的函數，我們將他們稱為函數，我們將他們稱為三角函數三角函數.0 , 1AOyxyxP ,)0(x 推廣為任意的象限1、把全國人民看的清清楚楚難不難？我說有沒有人把高一（、把全國人民看的清清楚楚難不難？我說有沒有人把高一（3

28、、4）班同學看的清清楚楚？看清楚了可以當班級的什么干部？班同學看的清清楚楚？看清楚了可以當班級的什么干部？2、只有政治家把全國人民看的清清楚楚嗎？文學大文豪曹雪芹把、只有政治家把全國人民看的清清楚楚嗎？文學大文豪曹雪芹把封建社會看的清清楚楚，他的封建社會看的清清楚楚，他的紅樓夢紅樓夢就是就是3、有的同學可能會問，在每個象限三角函數的定義比如正弦、余、有的同學可能會問，在每個象限三角函數的定義比如正弦、余弦、正切都是一樣，那是不是每個象限三角函數值也一樣。我們弦、正切都是一樣，那是不是每個象限三角函數值也一樣。我們一個個分析下正弦、余弦、正切。一個個分析下正弦、余弦、正切。8、在對三角函數定義教

29、學的時候你們可能提出，正弦、余弦、正、在對三角函數定義教學的時候你們可能提出，正弦、余弦、正切為什么要這樣定義，那樣定義不行嗎？切為什么要這樣定義，那樣定義不行嗎？回答：可以，數學的本質在於它的自由回答：可以，數學的本質在於它的自由. 康扥爾康扥爾(Cantor)。但數學上概念的定義不是胡來，而是要能跟現實吻合，能解決現但數學上概念的定義不是胡來，而是要能跟現實吻合，能解決現實問題。實問題。 根據三角函數的定義，確定它們的根據三角函數的定義，確定它們的定義域（弧度制）定義域（弧度制）思思考考3三角函數三角函數定義域定義域sincostanR)(2ZkkR0 , 1AOyxyxP ,幾個特殊角的

30、三角函數值幾個特殊角的三角函數值角角0o30o45o60o90o180o270o360o角角的弧的弧度數度數sinsincoscostantan2 32 2 000000001111 1 不不存存在在不不存存在在03 4 6 2222112323332123這些是基礎的基礎還不算高中基礎知識基本技能，知道這些是考不上?？频奶教骄烤?2.確定三角函數值在各象限的符號確定三角函數值在各象限的符號yxosinyxocosyxotan+（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）+-+-+-+-)0 , 1 (AxyoP),(yx的終邊這些結論都不用死記硬背而是根據定義自然而然的

31、得出。如果兩個角的終邊相同，那么這兩個角如果兩個角的終邊相同，那么這兩個角的同一三角函數值有何關系？的同一三角函數值有何關系？ ？yoP),(yxx1M如果兩個角的終邊相同，那么這兩個角如果兩個角的終邊相同，那么這兩個角的同一三角函數值有何關系？的同一三角函數值有何關系？ 終邊相同的角的同一三角函數值相等（公式一）終邊相同的角的同一三角函數值相等（公式一）tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(kkk（其中（其中 ）zk 公式作用：公式作用：可以把求任意角的三角函數值，可以把求任意角的三角函數值，轉化為求轉化為求 角的三角函數值角的三角函數值 . .360020到或到 ？三角函數

32、線三角函數線1、同學們比較一下，代數與幾何哪一種抽象？哪一種直觀？直觀有什么好處？、同學們比較一下，代數與幾何哪一種抽象？哪一種直觀？直觀有什么好處？2、三角函數屬于代數，今天我們就把三角函數直觀化。如何直觀、三角函數屬于代數，今天我們就把三角函數直觀化。如何直觀化？我們先學習一個概念：有向線段。化？我們先學習一個概念：有向線段。3、顧名思義有向線段就是：、顧名思義有向線段就是： 有方向的線段。有方向的線段。 有向線段的概念有向線段的概念: 坐標軸是規(guī)定了方向的直線，線段也可以規(guī)定方向，如坐標軸是規(guī)定了方向的直線，線段也可以規(guī)定方向，如x軸軸上線段上線段AB，可以規(guī)定從，可以規(guī)定從A到到B，也

33、可規(guī)定從，也可規(guī)定從B到到A這樣兩種相反這樣兩種相反方向，與方向，與y軸平行的線段軸平行的線段CD也可以規(guī)定兩種相反方向也可以規(guī)定兩種相反方向:從點從點C到到D或從點或從點D到到C。如果線段的方向與坐標軸正向一致，就說它是正。如果線段的方向與坐標軸正向一致，就說它是正的，否則就說它是負的，并表示為的，否則就說它是負的，并表示為AB=3，BA=-3。 5、有向線段特點與平時線段的異同，包括內含與記號的異同？、有向線段特點與平時線段的異同，包括內含與記號的異同？符號是形象生動還是會混淆？同學們，這些符號是數學家創(chuàng)造的，符號是形象生動還是會混淆？同學們，這些符號是數學家創(chuàng)造的，數學家個個是天才數學家

34、個個是天才,1+1=2也是數學家創(chuàng)造的。也是數學家創(chuàng)造的。答：即有方向又有大小，平時線段只有大小。答：即有方向又有大小，平時線段只有大小。AB=3,BA=-3,|AB|=36、為什么有向線段可以把三角函數直觀化？、為什么有向線段可以把三角函數直觀化？答：方向屬于幾何，大小屬于代數。所以有向線段是代數連接幾答：方向屬于幾何，大小屬于代數。所以有向線段是代數連接幾何的紐帶。何的紐帶。3.3.公式公式 ， ， ( ).( ).其數學意義如何？其數學意義如何？ sin(2)sinkcos(2)cosktan(2)tanktan(2)tankkZ終邊相同的角的同名三角函數值相等終邊相同的角的同名三角函數

35、值相等. .思考思考1 1：如圖，設角如圖，設角為第一象限角，其為第一象限角，其終邊與單位圓的交點為終邊與單位圓的交點為P P（x x，y y），則），則 ， 都是正數，你能分都是正數，你能分別用一條有向線段表示角別用一條有向線段表示角的正弦值和的正弦值和余弦值嗎？余弦值嗎？sinycosxP P（x x，y y）O Ox xy yMOMMPcossin|sinMPyP P（x x，y y）O Ox xy yM M思考思考2 2：若角若角為第三象限角，其終邊為第三象限角，其終邊與單位圓的交點為與單位圓的交點為P P（x x，y y），則），則 ， 都是負數，此時都是負數，此時sinycosx還

36、成立嗎？思考思考4 4：由上分析可知，當角由上分析可知，當角為第一、三為第一、三象限角時，象限角時，sinsin、coscos可分別用有向線可分別用有向線段段MPMP、OMOM表示，即表示，即MP= MP= sinsin，OM=OM=coscos，那么當角那么當角為第二、四象限角時，你能檢為第二、四象限角時，你能檢驗這個表示正確嗎？驗這個表示正確嗎？ P P（x x，y y）O Ox xy yM MP P（x x，y y）O Ox xy yM M思考思考5 5：設角設角的終邊與單位圓的交點的終邊與單位圓的交點為為P P，過點，過點P P作作x x軸的垂線，垂足為軸的垂線，垂足為M M，稱，稱有

37、向線段有向線段MPMP，OMOM分別為角分別為角的的正弦線正弦線和和余弦線余弦線. .當角當角的終邊在坐標軸上時，的終邊在坐標軸上時，角角的正弦線和余弦線的含義如何？的正弦線和余弦線的含義如何？P PO Ox xy yM M思考思考6 6：設設為銳角，你能根據正弦線和為銳角，你能根據正弦線和余弦線說明余弦線說明sinsincoscos1 1嗎？嗎？P PO Ox xy yMMPMPOMOMOP=1 OP=1 知識探究（二）：知識探究（二）：正切線正切線 A AT T思考思考1 1：如圖，設角如圖，設角為第一象限角，其為第一象限角，其終邊與單位圓的交點為終邊與單位圓的交點為P P（x x，y y

38、），則），則 是正數，用哪條有向線段表示是正數，用哪條有向線段表示角角的正切值最合適？的正切值最合適？tanyxP PO Ox xy yM MtanyATxAT T思考思考2 2：若角若角為第四象限角，其終邊為第四象限角，其終邊與單位圓的交點為與單位圓的交點為P P（x x，y y），則），則 是負數，此時用哪條有向線段表示角是負數，此時用哪條有向線段表示角的正切值最合適？的正切值最合適？tanyxP PO Ox xy yM MtanyATxA AT TA AT TP PO Ox xy yM M思考思考3 3：若角若角為第二象限角，其終邊為第二象限角，其終邊與單位圓的交點為與單位圓的交點為P

39、P（x x，y y），則），則 是負數，此時用哪條有向線段表示角是負數，此時用哪條有向線段表示角的正切值最合適？的正切值最合適？tanyxtanyATx第二象限AT是正的，但正切是負的tanyx思考思考4 4：若角若角為第三象限角，其終邊為第三象限角，其終邊與單位圓的交點為與單位圓的交點為P P（x x，y y），則），則 是正數，此時用哪條有向線段表示角是正數，此時用哪條有向線段表示角的正切值最合適？的正切值最合適？P PO Ox xy yM MA AT TA AT TtanyATx第三象限AT是負的，但正切是正的思考思考5 5：根據上述分析，你能描述正切線根據上述分析，你能描述正切線的幾何

40、特征嗎？的幾何特征嗎？過點過點A A（1 1，0 0）作單位圓的切線，與角）作單位圓的切線，與角的終邊或其反向延長線相交于點的終邊或其反向延長線相交于點T T，則，則AT=AT=tantan. .A AT TO Ox xy yP PA AT TO Ox xy yP P思考思考6 6：當角當角的終邊在坐標軸上時，角的終邊在坐標軸上時，角的正切線的含義如何？的正切線的含義如何？si ntan444pppsi ntan444pppsi ntan444pppsi ntan444pppsi ntan444ppp當角當角的終邊在的終邊在x x軸上時，角軸上時，角的正切線的正切線是一個點；當角是一個點；當角

41、的終邊在的終邊在y y軸上時，角軸上時，角的正切線不存在的正切線不存在. .yOxyOxyOxyOxP終邊終邊 MATPMAT正弦線正弦線余弦線余弦線正切線正切線PPMATPMAT例例2.比較大小：比較大?。?1) sin1和和sin1.5; (2) cos1和和cos1.5; (3) tan2和和tan3.解：由三角函數線得解：由三角函數線得sin1cos1.5例例4. 利用三角函數線證明利用三角函數線證明|sin|+|cos|1.證明：在證明：在OMP中，中，OP=1，OM=|cos|, MP=ON=|sin|，因為三角形兩邊之和因為三角形兩邊之和大于第三邊，所以大于第三邊，所以|sin|+|cos|1。 對于專科班，以上題題題經典，所以我們要詳細分析，這些題目對理解三角函數的基礎知識和基本技能有典型的意義。