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1、第三講空間向量與立體幾何第三講空間向量與立體幾何主干知識整合主干知識整合2幾何法求空間角與距離的步驟幾何法求空間角與距離的步驟一作、二證、三計算一作、二證、三計算高考熱點講練高考熱點講練向量法證明垂直與平行向量法證明垂直與平行例例1 如圖，在六面體如圖，在六面體ABCDA1B1C1D1中，四邊形中，四邊形ABCD是邊長是邊長為為2的正方形，四邊形的正方形，四邊形A1B1C1D1是邊長為是邊長為1的正方形，的正方形，DD1平平面面A1B1C1D1，DD1平面平面ABCD，DD12.求證：求證：(1)A1C1與與AC共面，共面，B1D1與與BD共面；共面；(2)平面平面A1ACC1平面平面B1BD
2、D1.【證明】【證明】(1)以以D為原點，以為原點，以DA，DC，DD1所在所在直線分別為直線分別為x軸，軸，y軸，軸，z軸，建立空間直角坐標系軸，建立空間直角坐標系Dxyz.如圖，則有如圖，則有D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，A1(1,0,2)，B1(1,1,2)，C1(0,1,2)，D1(0,0,2)，【歸納拓展歸納拓展】用向量法證明平行、垂直問題用向量法證明平行、垂直問題的步驟：的步驟：(1)建立空間圖形與空間向量的關系建立空間圖形與空間向量的關系(可以建立空可以建立空間直角坐標系，也可以不建系間直角坐標系，也可以不建系)，用空間向量表，用空間向量
3、表示問題中涉及的點、直線、平面；示問題中涉及的點、直線、平面；(2)通過向量運算研究平行、垂直問題；通過向量運算研究平行、垂直問題；(3)根據(jù)運算結果解釋相關問題根據(jù)運算結果解釋相關問題變式訓練變式訓練1在正方體在正方體ABCDA1B1C1D1中，中，E，F(xiàn)分別是分別是BB1，DC的中點的中點(1)求證：求證：D1F平面平面ADE；(2)設正方形設正方形ADD1A1的中心為的中心為M，B1C1的中點為的中點為N，求證：求證：MN平面平面ADE.向量法求線線角和線面角向量法求線線角和線面角例例2 (2011年高考四川卷年高考四川卷)如圖，在直三棱柱如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，中，BAC
4、90，ABACAA11，延長，延長A1C1至點至點P，使，使C1PA1C1，連接，連接AP交棱交棱CC1于點于點D.(1)求證：求證：PB1平面平面BDA1；(2)求二面角求二面角AA1DB的平面角的余弦值的平面角的余弦值 (2011年高考北京卷年高考北京卷)如如圖，在四棱錐圖，在四棱錐PABCD中，中，PA平面平面ABCD，底面，底面ABCD是是菱形，菱形，AB2，BAD60.(1)求證：求證：BD平面平面PAC；(2)若若PAAB，求，求PB與與AC所成角的余弦值；所成角的余弦值；(3)當平面當平面PBC與平面與平面PDC垂直時，求垂直時，求PA的長的長例例3【解解】(1)證明：因為四邊形
5、證明：因為四邊形ABCD是菱形，是菱形，所以所以ACBD.又因為又因為PA平面平面ABCD，所以，所以PABD.所以所以BD平面平面PAC.(2)設設ACBDO，【歸納拓展歸納拓展】(1)運用空間向量坐標運算求空運用空間向量坐標運算求空間角的一般步驟為：間角的一般步驟為：建立恰當?shù)目臻g直角坐標系求出相關點建立恰當?shù)目臻g直角坐標系求出相關點的坐標寫出向量坐標結合公式進行論的坐標寫出向量坐標結合公式進行論證、計算轉化為幾何結論證、計算轉化為幾何結論(2)幾個常見空間角的求法：幾個常見空間角的求法：異面直線所成的角異面直線所成的角可通過直線的方向向量夾可通過直線的方向向量夾角角求得，即求得，即cos
6、|cos|.直線與平面所成的角直線與平面所成的角主要通過直線的方向向主要通過直線的方向向量與平面的法向量的夾角量與平面的法向量的夾角求得，即求得，即sin|cos|.二面角的大小可以利用分別在兩個半平面內(nèi)二面角的大小可以利用分別在兩個半平面內(nèi)與棱垂直的直線的方向向量的夾角與棱垂直的直線的方向向量的夾角(或其補角或其補角)求求得；也可以通過二面角的兩個半平面的法向量得；也可以通過二面角的兩個半平面的法向量的夾角來求，它等于兩個法向量的夾角或其補的夾角來求，它等于兩個法向量的夾角或其補角角變式訓練變式訓練2如圖所示，在棱如圖所示，在棱長為長為a的正方體的正方體ABCD A1B1C1D1中，中，E是
7、是BC的中點，平的中點，平面面B1EDF交交A1D1于點于點F.(1)指出指出F在在A1D1上的位置，并說明理由；上的位置，并說明理由；(2)求直線求直線A1C與與DE所成角的余弦值；所成角的余弦值；(3)求直線求直線AD與平面與平面B1EDF所成角的正弦值所成角的正弦值向量法解決探索性問題向量法解決探索性問題例例4(1)當點當點E為為BC的中點時，試判斷的中點時，試判斷EF與平面與平面PAC的位的位置關系，并說明理由；置關系，并說明理由；(2)證明：無論點證明：無論點E在在BC邊的何處，都有邊的何處，都有PEAF；(3)當當BE等于何值時，等于何值時，PA與平面與平面PDE所成角的大小所成角
8、的大小為為45？【解解】(1)當點當點E為為BC的中點時，的中點時，EF與平面與平面PAC平平行行在在PBC中，中，E、F分別為分別為BC、PB的中點，的中點，EFPC.【歸納拓展歸納拓展】空間向量最適合于解決這類立空間向量最適合于解決這類立體幾何中的探索性問題，它無需進行復雜的作體幾何中的探索性問題，它無需進行復雜的作圖、論證、推理，只需通過坐標運算進行判圖、論證、推理，只需通過坐標運算進行判斷解題時，把要成立的結論當作條件，據(jù)此斷解題時，把要成立的結論當作條件，據(jù)此列方程或方程組，把列方程或方程組，把“是否存在是否存在”問題轉化為問題轉化為“點點的坐標是否有解，是否有規(guī)定范圍的解的坐標是否
9、有解，是否有規(guī)定范圍的解”等，所等，所以使問題的解決更簡單、有效，應善于運用這以使問題的解決更簡單、有效，應善于運用這一方法解題一方法解題變式訓練變式訓練3已知在四棱柱已知在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，側中，側棱棱AA1底面底面ABCD，ABAD，BCAD，且，且AB2，AD4，BC1，側棱，側棱AA14.(1)若若E為為AA1上一點，試確定上一點，試確定E點的位置，使點的位置，使EB平面平面A1CD；(2)在在(1)的條件下，求二面角的條件下，求二面角EBDA的余弦值的余弦值考題解答技法考題解答技法例例 (2011年高考山東卷年高考山東卷)(本小題滿分本小題滿分12分分)在如在如圖所示
10、的幾何體中，四邊形圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，為平行四邊形，ACB90，EA平面平面ABCD，EFAB，F(xiàn)GBC，EGAC，AB2EF.(1)若若M是線段是線段AD的中點，求證：的中點，求證：GM平面平面ABFE；(2)若若ACBC2AE，求二面角，求二面角ABFC的大的大小小【解解】(1)證明：因為證明：因為EFAB，F(xiàn)GBC，EGAC，ACB90.所以所以EGF90，ABCEFG.由于由于AB2EF，2分分因此因此BC2FG.連接連接AF，【得分技巧得分技巧】第第(1)問中的得分點是先證明問中的得分點是先證明BC2FG，再進一步推導，再進一步推導AM與與GF的平行與相等關的平行與相等關系；第系；第(2)問的得分點：一是建立空間坐標系，問的得分點：一是建立空間坐標系，寫出一些點的坐標，二是求平面寫出一些點的坐標，二是求平面BFC和平面和平面ABF的法向量的法向量【失分溯源失分溯源】解答本題的失分點有：解答本題的失分點有：(1)步驟步驟不規(guī)范，如不規(guī)范，如FA面面ABFE，GM 平面平面ABFE，這，這兩個條件易漏；兩個條件易漏；(2)計算出錯，求解法向量出錯，計算出錯，求解法向量出錯，造成失分造成失分本部分內(nèi)容講解結束本部分內(nèi)容講解結束按按ESC鍵退出全屏播放鍵退出全屏播放
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