高考數(shù)學思想方法專題數(shù)形結合思想

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1、高考數(shù)學思想方法專題：第二講 數(shù)形結合思想 【思想方法詮釋】 一、數(shù)形結合的思想 所謂的數(shù)形結合，就是根據(jù)數(shù)學問題的條件和結論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)含義，又揭示其幾何意義，使數(shù)量關系和空間形式巧妙、和諧地結合起來，并充分利用這種“結合”，尋找解題思路，使問題得到解決，數(shù)形結合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應關系，通過數(shù)與形的相互轉化來解決數(shù)學問題的一種重要思想方法。數(shù)形結合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從形的直觀和數(shù)的嚴謹兩方面思考問題，拓寬了解題思路，是數(shù)學的規(guī)律性與靈活性的有機結合． 數(shù)形結合的實質(zhì)是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖象結合起來，關鍵是

2、代數(shù)問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化． 二、數(shù)形結合思想解決的問題常有以下幾種： 1．構建函數(shù)模型并結合其圖象求參數(shù)的取值范圍； 2．構建函數(shù)模型并結合其圖象研究方程根的范圍； 3．構建函數(shù)模型并結合其圖象研究量與量之間的大小關系； 4．構建函數(shù)模型并結合其幾何意義研究函數(shù)的最值問題和證明不等式； 5．構建立體幾何模型研究代數(shù)問題； 6．構建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問題； 7．構建方程模型，求根的個數(shù)； 8．研究圖形的形狀、位置關系、性質(zhì)等。 三、數(shù)形結合思想是解答高考數(shù)學試題的一種常見方法與技巧，特別是在解選擇題、填空題時

3、發(fā)揮奇特功效，具體操作時，應注意以下幾點： 1．準確畫出函數(shù)圖象，注意函數(shù)的定義域； 2．用圖象法討論方程（特別是含參數(shù)的方程）的解的個數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個函數(shù)的表達式（有時可能先作適當調(diào)整，以便于作圖）然后作出兩個函數(shù)的圖象，由圖求解。 四、在運用數(shù)形結合思想分析問題和解決問題時，需做到以下四點： 1．要清楚一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征； 2．要恰當設參，合理用參，建立關系，做好轉化； 3．要正確確定參數(shù)的取值范圍，以防重復和遺漏； 4．精心聯(lián)想“數(shù)”與“形”，使一些較難解決的代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化，以便于問

4、題求解。 【核心要點突破】 要點考向1：利用數(shù)學概念或數(shù)學式的幾何意義解題 例1：實系數(shù)一元二次方程x2+ax+2b=0有兩個根，一個根在區(qū)間（0，1）內(nèi)，另一個根在區(qū)間（1，2）內(nèi)，求： （1）點（a,b）對應的區(qū)域的面積； （2）的取值范圍； （3）(a-1)2+(b-2)2的值域． 思路精析：列出a,b滿足的條件→畫出點(a,b)對應的區(qū)域→求面積→根據(jù)的幾何意義求范圍→根據(jù)(a-1)2+(b-2)2的幾何意義求值域． 解析：方程x2+ax+2b=0的兩根在區(qū)間（0，1）和（1，2）上的幾何意義分別是：函數(shù)y=f(x)= x2+ax+2b與x軸的兩個交點的橫坐標分別在

5、區(qū)間（0，1）和（1，2）內(nèi)， 由此可得不等式組 由，解得A（-3，1）． 由，解得C（-1，0）． ∴在如圖所示的aOb坐標平面內(nèi)，滿足條件的點(a,b)對應的平面區(qū)域為△ABC（不包括邊界）． （1）△ABC的面積為（h為A到Oa軸的距離）． （2）幾何意義是點(a,b)和點D(1,2)邊線的斜率． 由圖可知 （3）∵(a-1)2+(b-2)2表示的區(qū)域內(nèi)的點(a,b)與定點(1,2)之間距離的平方， 注：如果等式、代數(shù)式的結構蘊含著明顯的幾何特征，就要考慮用數(shù)形結合的思想方法來解題，即所謂的幾何法求解，比較常見的對應有： （1）連線的斜率； （2）之

6、間的距離； （3）為直角三角形的三邊； （4）圖象的對稱軸為x=．只要具有一定的觀察能力，再掌握常見的數(shù)與形的對應類型，就一定能得心應手地運用數(shù)形結合的思想方法． 要點考向2：用數(shù)形結合求方程根的個數(shù)，解決與不等式有關的問題 例2：（1）已知：函數(shù)f(x)滿足下面關系：①f(x+1)=f(x-1);②當x∈[-1,1]時，f(x)=x2,則方程f(x)=lgx解的個數(shù)是（ ） (A)5 (B)7 (C)9 (D)10 (2)設有函數(shù)f(x)=a+ 和g(x)= ,已知x∈[-4,0]時，恒有f(x)≤g(x)，求實數(shù)a的范圍． 思

7、路精析：（1）畫出f(x)的圖象→畫出y=lgx的圖象→數(shù)出交點個數(shù)． （2）f(x)≤g(x)變形為→畫出的圖象→畫出的圖象→尋找成立的位置 解析：（1）選C．由題間可知，f(x)是以2為周期，值域為[0，1]的函數(shù)．又f(x) =lgx，則x∈（0，10]，畫出兩函數(shù)圖象，則交點個數(shù)即為解的個數(shù)．由圖象可知共9個交點． （2）f(x)≤g(x)，即，變形得，令…………①，………………② ①變形得，即表示以（-2，0）為圓心，2為半徑的圓的上半圓； ②表示斜率為，縱截距為1-a的平行直線系．設與圓相切的直線為AT，其傾斜角為，則有tan=,, 要使f(x)≤g(x)在x∈

8、[-4,0]時恒成立，則②成立所表示的直線應在直線AT的上方或與它重合，故有1-a≥6,∴a≤-5． 注：（1）用函數(shù)的圖象討論方程（特別是含參數(shù)的指數(shù)、對數(shù)、根式、三角等復雜方程）的解的個數(shù)是一種重要的思想方法，其基本思想是先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個熟悉函數(shù)的表達式（不熟悉時，需要作適當變形轉化為兩熟悉的函數(shù)），然后在同一坐標系中作出兩個函數(shù)的圖象，圖象的交點個數(shù)即為方程解的個數(shù)． （2）解不等式問題經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)的圖象，根據(jù)不等式中量的特點，選擇適當?shù)膬蓚€（或多個）函數(shù)，利用兩個函數(shù)圖象的上、下位置關系轉化數(shù)量關系來解決不等式的解的問題，往往可以避免繁瑣的運算，獲得簡捷的解答． （

9、3）函數(shù)的單調(diào)性經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的升、降；奇偶性經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的對稱性；最值（值域）經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的最高、最低點的縱坐標． 要點考向2：數(shù)形結合在解析幾何中的應用 例3：已知橢圓的中心在原點，一個焦點，且長軸長與短軸長的比是． （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）若橢圓在第一象限的一點的橫坐標為，過點作傾斜角互補的兩條不同的直線，分別交橢圓于另外兩點，，求證：直線的斜率為定值； （Ⅲ）求面積的最大值． 解析：（Ⅰ）設橢圓的方程為． 由題意………………………………………………2分 解得 ，． 所以橢圓的方程為．………………………………………………4分 （Ⅱ）由題意知，兩直線，的斜

10、率必存在，設的斜率為，則的直線方程為. 由得 .………………6分 設，，則 ， 同理可得， 則，. 所以直線的斜率為定值. ……………………………………8分 （Ⅲ）設的直線方程為. 由得. 由，得.……………………………………10分 此時，. 到的距離為， 則 . 因為使判別式大于零， 所以當且僅當時取等號， 所以面積的最大值為．………………………………………………………13分 注：1．數(shù)形結合思想中一個非常重要的方面是以數(shù)輔形，通過方程等代數(shù)的方法來研究幾何問題，也就是解析法，解析法與幾何法結合來解題，會有更大的功效． 2．此類題目的求解

11、要結合該類圖形的幾何性質(zhì)，將條件信息或結論信息結合在一起，觀察圖形特征，轉化為代數(shù)語言，即方程（組）或不等式（組），從而將問題解決． 要點考向2：數(shù)形結合在立體幾何中的應用 例4：如圖1,在直角梯形中,,,,為線段的中點.將沿折起,使平面平面,得到幾何體,如圖2所示. (Ⅰ) 求證:平面； (Ⅱ) 求二面角的余弦值. 解析:（Ⅰ）在圖1中,可得,從而,故. 取中點連結,則,又面面, 面面,面,從而平面. …………………4分 ∴，又,. ∴平面. ………………………………………………6分 （Ⅱ）建立空間直角坐標系如圖所示,則,,

12、,. ………………………………………………8分 設為面的法向量, 則即,解得. 令,可得. 又為面的一個法向量， ∴. ∴二面角的余弦值為. 注：1．應用空間向量可以解決的常見問題有空間角中的異面直線所成的角、線面角、二面角；位置關系中的平行、垂直及點的空間位置．其一般思路是：盡量建立空間直角坐標系，將要證、要求的問題轉化為坐標運算． 2．立體幾何問題的求解往往將題目所給信息先轉換成幾何圖形性質(zhì)，結合該類圖形的幾何性質(zhì)，將條件信息和結論信息結合在一起，觀察圖形特征，為代數(shù)法求解找到突破口． 【跟蹤模擬訓練】 一、選擇題（每小題6分，共36分） 1.方程lgx=si

13、nx的根的個數(shù)( ) (A)1個 (B)2個 (C)3個 (D)4個 2．已知全集U=R，集合A={x|x2-3x-10<0},B={x|x>3},則右圖中陰影部分表示的集合為( ) A．(3,5) B．(-2,+) C．(-2,5) D．(5,+) 3．在平面直角坐標系xOy中，已知平面區(qū)域A={(x,y)|x+y≤1,且x≥0,y≥0}，則平面區(qū)域B={(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面積為（ ） (A)2 (B)1 (C) (D) 4．函數(shù)圖象如圖，則函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為（

14、 ） －2 3 y x 0 A． B．C． D． 5．不等式組有解，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 6．已知f(x)是定義在（-3，3）上的奇函數(shù)，當0

15、(x,y)|x+y+m≥0}，則使AB成立的實數(shù)m的取值范圍是______. 三、解答題（10、11題每題15分，12題16分，共46分） 10．如圖，已知四棱錐的底面是正方形，⊥底面，且，點、分別在側棱、上，且 （Ⅰ）求證：⊥平面； （Ⅱ）若，求平面與平面的所成銳 二面角的大小 11．如圖，，是通過某市開發(fā)區(qū)中心0的兩條南北和東西走向的道路，連接M、N兩地的鐵路是一段拋物線弧，它所在的拋物線關于直線L1對稱．M到L1、L2的距離分別是2 km、4km，N到L1、L2的距離分別是3 km、9 kin． （1）建立適當?shù)淖鴺讼担髵佄锞€弧MN的方程； （Ⅱ）

16、該市擬在點0的正北方向建設一座工廠，考慮到環(huán)境問題，要求廠址到點0的距離大于5km而不超過8km，并且鐵路上任意一點到工廠的距離不能小于km．求此廠離點0的最近距離．（注：工廠視為一個點） 12．已知函數(shù)f(x)=-x2+8x,g(x)=6lnx+m. (1)求f(x)在區(qū)間［t,t+1］上的最大值h(t); (2)是否存在實數(shù)m,使得y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個不同的交點？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由. 參考答案 1．【解析】選C.在同一坐標系中作出y=lgx與y=sinx的圖象，如圖.其交點數(shù)為3. 2．答案：B 3． 作出

17、不等式組表示的平面區(qū)域B，如圖所示，根據(jù)圖形可知該區(qū)域為等腰直角三角形，可求出面積，所以平面區(qū)域B的面積為1． 4．答案：D 5．答案：A 6．【解析】選B.根據(jù)對稱性畫出 f(x)在（-3,0）上的圖象如 圖，結合y=cosx在(-3,0), (0,3)上函數(shù)值的正負, 易知不等式f(x)cosx<0的解集是 7．【解析】由題意知，設，則k為過圓(x-2)2+y2=1上的點及原點的直線斜率，作圖如下： 又由對稱性，可得答案： 答案： 8．【解析】令f(x)=x2-4|x|+5=(|x|-2)2+1，其圖象如圖. 畫直線y=m,由圖象知當1

18、5時，方程有四個不相等的實根. 答案：（1，5） 9．【解析】由于集合A，B都是點的集合,故可結合圖形進行分析、求解.集合A是一個圓x2+(y-1)2=1上的點的集合,集合B是一個不等式x+y+m≥0表示的平面區(qū)域內(nèi)的點的集合, 要使AB，則應使圓被平面區(qū)域所包含（如圖）， 即直線x+y+m=0應與圓相切或相離(在圓的下方)，而當直線與圓相切時有 故m的取值范圍是m≥-1. 答案：m≥-1 10．解：（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系又 PA=AD=2，則有P（0，0，2），D（0，2，0） ……3分 （Ⅰ） 又……………7分 （Ⅱ）設則有 同理可得即得……

19、…………9分 由 而平面PAB的法向量可為 故所求平面AMN與PAB所成銳二面角的大小為…………12分 11．解析：（1）分別以、為軸、軸建立如圖所示的平面直角坐標系，則M（2，4），N（3，9） 設MN所在拋物線的方程為，則有 ，解得 ∴所求方程為（2≤≤3） 5分 （說明：若建系后直接射拋物線方程為，代入一個點坐標求對方程，本問扣2分） （2）設拋物線弧上任意一點P（，）（2≤≤3） 廠址為點A（0，）（5＜t≤8，由題意得≥ ∴≥0 7分 令，∵2≤≤3，∴4≤≤9 ∴對于任意的，不等式≥0恒成立（*） 8分 設，∵≤8

20、∴≤. 要使（*）恒成立，需△≤0，即≤0 10分 解得≥，∴的最小值為 所以，該廠距離點O的最近距離為6.25km 12分 12．【解析】（1）f(x)=-x2+8x=-(x-4)2+16. ①當t+1<4即t<3時，f(x)在 ［t,t+1］上單調(diào)遞增(如圖①). h(t)=f(t+1)=-(t+1)2+8(t+1) =-t2+6t+7. ②當t≤4≤t+1即3≤t≤4時，f(x)的最大值為h(t)=f(4)=16(如圖②) ③當t>4時，f(x)在［t,t+1］上單調(diào)遞減（如圖③）， h(t)=f(t)=-t2+8t. (2)函數(shù)y=f(x

21、)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個不同的交點，即函數(shù)φ(x)=g(x)-f(x)的圖象與x軸的正半軸有且只有三個不同的交點. ∵φ(x)=x2-8x+6lnx+m, 當x∈(0,1)時φ′(x)>0,φ(x)是增函數(shù); 當x∈(1,3)時,φ′(x)<0,φ(x)是減函數(shù); 當x∈(3,+∞)時,φ′(x)>0,φ(x)是增函數(shù); 當x=1或x=3時，φ′（x）=0. ∴φ(x)極大值=φ（1）=m-7, φ(x)極小值=φ（3）=m+6ln3-15. ∵當x充分接近0時，φ（x）<0， 當x充分大時,φ(x)>0, ∴要使φ(x)的圖象與x軸正半軸有三個不同的交

22、點， 即7c (B)b≥c或b≤c中至少有一個正確 (C)b

23、)+c=0有兩個不同的根.且一個根在（0,1）內(nèi)，另一個根為1. ∴b

24、x|-1

25、60°,求NB與平面ABC所成角的余弦值. 【解析】如圖， 建立空間直角坐標系M-xyz.令MN=1,則有A(-1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0). (1)∵MN是l1、l2的公垂線，l1⊥l2,∴l(xiāng)2⊥平面ABN， ∴l(xiāng)2平行于z軸.故可設C(0,1,m).于是 內(nèi)容總結 （1）高考數(shù)學思想方法專題：第二講 數(shù)形結合思想 【思想方法詮釋】 一、數(shù)形結合的思想 所謂的數(shù)形結合，就是根據(jù)數(shù)學問題的條件和結論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)含義，又揭示其幾何意義，使數(shù)量關系和空間形式巧妙、和諧地結合起來，并充分利用這種“結合”，尋找解題思路，使問題得到解決，數(shù)形結合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應關系，通過數(shù)與形的相互轉化來解決數(shù)學問題的一種重要思想方法