一本通高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)解三角形應(yīng)用舉例 理

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1、第三章 第七節(jié) 解三角形應(yīng)用舉例 一、選擇題 1．在△ABC中，角A，B均為銳角，且cos A>sin B，則△ABC的形狀是(　　) A．直角三角形　　　　　B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形 解析：cos A＝sin(－A)>sin B，－A，B都是銳角， 則－A>B，A＋B<，C>. 答案：C 2.如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于akm，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為(　　) A．a(chǎn) km　　　　　B.a km C.a km D．2a km 解析：利用余弦定理解△AB

2、C.易知∠ACB＝120°，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 120°＝2a2－2a2×(－)＝3a2， ∴AB＝a. 答案：B 3．張曉華同學(xué)騎電動(dòng)自行車(chē)以24 km/h的速度沿著正北方向的公路行駛，在點(diǎn)A處望見(jiàn)電視塔S在電動(dòng)車(chē)的北偏東30°方向上，15 min后到點(diǎn)B處望見(jiàn)電視塔在電動(dòng)車(chē)的北偏東75°方向上，則電動(dòng)車(chē)在點(diǎn)B時(shí)與電視塔S的距離是(　　) A．2 km B．3 km C．3 km D．2 km 解析：如圖，由條件知AB＝24×＝6，在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°， 所以∠ASB

3、＝45°.由正弦定理知＝， 所以BS＝sin 30°＝3. 答案：B 4．輪船A和輪船B在中午12時(shí)離開(kāi)海港C，兩艘輪船航行方向的夾角為120°，輪船A的航行速度是25海里/小時(shí)，輪船B的航行速度是15海里/小時(shí)，下午2時(shí)兩船之間的距離是(　　) A．35海里 B．35 海里 C．35 海里 D．70海里 解析：設(shè)輪船A、B航行到下午2時(shí)時(shí)所在的位置分別是E、F，則依題意有CE＝25×2＝50，CF＝15×2＝30，且∠ECF＝120°， EF＝ ＝＝70. 答案：D 5.如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50

4、m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計(jì)算出A、B兩點(diǎn)的距離為(　　) A．50 m B．50 m C．25 m D. m 解析：∠B＝180°－∠ACB－∠CAB＝30° 由正弦定理得＝，∴AB＝＝＝50(m)． 答案：A 6．一船向正北航行，看見(jiàn)正西方向有相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見(jiàn)一燈塔在船的南偏西60°方向，另一燈塔在船的南偏西75°方向，則這只船的速度是每小時(shí)(　　) A．5海里 B．5 海里 C．10海里 D．10 海里 解析：如圖，依題意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°

5、，從而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，可得AB＝5，于是這只船的速度是＝10(海里/小時(shí))． 答案：C 二、填空題 7．在直徑為30 m的圓形廣場(chǎng)中央上空，設(shè)置一個(gè)照明光源，射向地面的光呈圓形，且其軸截面頂角為120°，若要光源恰好照整個(gè)廣場(chǎng)，則光源的高度為_(kāi)_______m. 解析：軸截面如圖，則光源高度h＝＝5(m)． 答案：5 8．在△ABC中，BC＝1，∠B＝，當(dāng)△ABC的面積等于時(shí)，tan C＝________. 解析：S△ABC＝acsin B＝，∴c＝4. 由余弦定理：b2＝a2＋c2－2accos B＝13， ∴cos C＝＝－，sin C＝，

6、∴tan C＝－＝－2. 答案：－2 9．據(jù)新華社報(bào)道，2011年8月，颶風(fēng)“艾琳”在美國(guó)東海岸登陸．颶風(fēng)中心最大風(fēng)力達(dá)到12級(jí)以上，大風(fēng)、降雨給災(zāi)區(qū)帶來(lái)嚴(yán)重的災(zāi)害，不少大樹(shù)被大風(fēng)折斷．某路邊一樹(shù)干被臺(tái)風(fēng)吹斷后，折成與地面成45°角，樹(shù)干也傾斜為與地面成75°角，樹(shù)干底部與樹(shù)尖著地處相距20米，則折斷點(diǎn)與樹(shù)干底部的距離是________米． 解析：如圖，設(shè)樹(shù)干底部為O，樹(shù)尖著地處為B，折斷點(diǎn)為A，則 ∠ABO＝45°， ∠AOB＝75°，∴∠OAB＝60°. 由正弦定理知，＝，∴AO＝(米)． 答案： 三、解答題 10．某校運(yùn)動(dòng)會(huì)開(kāi)幕式上舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡度15°的

7、看臺(tái)的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測(cè)得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°，第一排和最后一排的距離為10米(如圖所示)，旗桿底部與第一排在一個(gè)水平面上．若國(guó)歌長(zhǎng)度約為50秒，升旗手應(yīng)以多大的速度勻速升旗？ 解：在△BCD中，∠BDC＝45°，∠CBD＝30°，CD＝10， 由正弦定理，得BC＝＝20； 在Rt△ABC中，AB＝BCsin 60°＝20×＝30(米)． 所以升旗速度v＝＝＝0.6(米/秒)． 11.為撲滅某著火點(diǎn)，現(xiàn)場(chǎng)安排了兩支水槍，如圖，D是著火點(diǎn)，A、B分別是水槍位置，已知AB＝15米，在A處看到著火點(diǎn)的仰角為60°，∠ABC＝30°，∠BAC＝10

8、5°，求兩支水槍的噴射距離至少是多少？ 解：在△ABC中，可知∠ACB＝45°， 由正弦定理得：＝， 解得AC＝15米． 又∵∠CAD＝60°，∴AD＝30，CD＝15， sin 105°＝sin(45°＋60°)＝. 由正弦定理得：＝， 解得BC＝米． 由勾股定理可得BD＝ ＝15米， 綜上可知兩支水槍的噴射距離至少分別為30米，15米． 12．某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上．在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛，假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛

9、，經(jīng)過(guò)t小時(shí)與輪船相遇． (1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？ (2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說(shuō)明理由． 解：1)設(shè)小艇與輪船在B處相遇，相遇時(shí)小艇航行的距離為S海里，如圖所示． 在△AOB中，A＝90°－30°＝60° ∴S＝ ＝＝ . 故當(dāng)t＝時(shí)，Smin＝10，此時(shí)v＝＝30. 即小艇以30海里/小時(shí)的速度航行，相遇時(shí)小艇的航行距離最?。? (2)由題意可知OB＝vt 在△AOB中利用余弦定理得： v2t2＝400＋900t2－2·20·30tcos 60° 故v2＝900－＋ ∵0＜v≤30，∴900－＋≤900. 即－≤0，解得t≥，又t＝時(shí)，v＝30(海里/小時(shí))， 故v＝30時(shí)，t取得最小值，且最小值等于. 此時(shí)，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20，故可設(shè)計(jì)航行方案如下： 航行方向?yàn)楸逼珫|30°，航行速度為30海里/小時(shí)，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇 內(nèi)容總結(jié)