江蘇省懷仁中學(xué)高中數(shù)學(xué)《數(shù)學(xué)歸納法》課件 新人教版選修22

(1) 不完全歸納法引例 明朝劉元卿編的明朝劉元卿編的應(yīng)諧錄應(yīng)諧錄中有一個(gè)笑話：財(cái)主的兒子學(xué)寫中有一個(gè)笑話：財(cái)主的兒子學(xué)寫字這則笑話中財(cái)主的兒子得出字這則笑話中財(cái)主的兒子得出“四就是四橫、五就是五橫四就是四橫、五就是五橫”的結(jié)論，用的就是的結(jié)論，用的就是“歸納法歸納法”，不過(guò)，這個(gè)歸納推出的結(jié)論顯然，不過(guò)，這個(gè)歸納推出的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的是錯(cuò)誤的(2) 完全歸納法對(duì)比引例 有一位師傅想考考他的兩個(gè)徒弟，看誰(shuí)更聰明一些他給每有一位師傅想考考他的兩個(gè)徒弟，看誰(shuí)更聰明一些他給每人筐花生去剝皮，看看每一?；ㄉ适遣皇嵌加蟹垡掳凑l(shuí)人筐花生去剝皮，看看每一?；ㄉ适遣皇嵌加蟹垡掳凑l(shuí)先給出答案大徒弟費(fèi)了很大勁將花生全部剝完了；二徒弟只揀先給出答案大徒弟費(fèi)了很大勁將花生全部剝完了；二徒弟只揀了幾個(gè)飽滿的，幾個(gè)干癟的，幾個(gè)熟好的，幾個(gè)沒(méi)熟的，幾個(gè)三了幾個(gè)飽滿的，幾個(gè)干癟的，幾個(gè)熟好的，幾個(gè)沒(méi)熟的，幾個(gè)三仁的，幾個(gè)一仁、兩仁的，總共不過(guò)一把花生顯然，二徒弟比仁的，幾個(gè)一仁、兩仁的，總共不過(guò)一把花生顯然，二徒弟比大徒弟聰明大徒弟聰明(1) 不完全歸納法實(shí)例給出等差數(shù)列前四項(xiàng)給出等差數(shù)列前四項(xiàng), , 寫出該數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出該數(shù)列的通項(xiàng)公式(2) 完全歸納法實(shí)例證明圓周角定理分圓心在圓周角內(nèi)證明圓周角定理分圓心在圓周角內(nèi)部、外部及一邊上三種情況部、外部及一邊上三種情況問(wèn)題問(wèn)題1 1 已知已知 = (nN= (nN* *), ),(1)(1)分別求分別求 , , , ., , , .(2)(2)由此你能得到一個(gè)什么結(jié)論由此你能得到一個(gè)什么結(jié)論? ? 這個(gè)結(jié)論正確嗎這個(gè)結(jié)論正確嗎? ?na2255)( nn1a2a3a4a 問(wèn)題問(wèn)題2 2 費(fèi)馬（費(fèi)馬（Fermat）是）是1717世紀(jì)法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，他曾認(rèn)為，世紀(jì)法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，他曾認(rèn)為，當(dāng)當(dāng)n nN N時(shí)，時(shí)， 一定都是質(zhì)數(shù)，這是他對(duì)一定都是質(zhì)數(shù)，這是他對(duì)n n0 0，1 1，2 2，3 3，4 4作作了驗(yàn)證后得到的后來(lái)，了驗(yàn)證后得到的后來(lái)，1818世紀(jì)偉大的瑞士科學(xué)家歐拉（世紀(jì)偉大的瑞士科學(xué)家歐拉（Euler）卻證明了卻證明了 4 294 967 2974 294 967 2976 700 4176 700 417641641，從而否定了費(fèi)，從而否定了費(fèi)馬的推測(cè)沒(méi)想到當(dāng)馬的推測(cè)沒(méi)想到當(dāng)n n5 5這一結(jié)論便不成立這一結(jié)論便不成立 122n1252 問(wèn)題問(wèn)題3 ,3 ,當(dāng)當(dāng)nN時(shí)，是否都為質(zhì)數(shù)？時(shí)，是否都為質(zhì)數(shù)？ 驗(yàn)證：驗(yàn)證： f（0）41，f（1）43，f（2）47，f（3）53，f（4）61，f（5）71，f（6）83，f（7）97，f（8）113，f（9）131，f（10）151， ， f（39）1 601 但是但是 f（40）1 681 ，是合數(shù)是合數(shù)41)(2nnnf241多米諾成功的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：多米諾成功的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：(1) (1) 第一張牌被推倒；第一張牌被推倒； (2) (2) 假如某一張牌倒下假如某一張牌倒下, , 則它的后一張牌必定倒下則它的后一張牌必定倒下 于是于是, , 我們可以下結(jié)論：我們可以下結(jié)論： 多米諾骨牌會(huì)全部倒下多米諾骨牌會(huì)全部倒下搜索：搜索：再舉幾則生活事例：推倒自行車再舉幾則生活事例：推倒自行車, , 早操排隊(duì)對(duì)齊等早操排隊(duì)對(duì)齊等(1)當(dāng)當(dāng)n1時(shí)等式成立；時(shí)等式成立； (2) 假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)等式成立時(shí)等式成立, 即即ak=a1+(k1)d , 則則 ak+1=ak+d=a1+(k+1)-1d, 即即 nk1時(shí)等式也時(shí)等式也 成立成立 于是于是, 我們可以下結(jié)論：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式我們可以下結(jié)論：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 an=a1+(n1)d 對(duì)任何對(duì)任何nN*都成立都成立類比多米諾骨牌過(guò)程類比多米諾骨牌過(guò)程, , 證明等差數(shù)列通項(xiàng)公式證明等差數(shù)列通項(xiàng)公式. .證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題關(guān)鍵步驟如下：證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題關(guān)鍵步驟如下：(2) 假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)nk (kN*, kn0 ) 時(shí)結(jié)論正確時(shí)結(jié)論正確, 證明當(dāng)證明當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論也正確時(shí)結(jié)論也正確完成這兩個(gè)步驟后完成這兩個(gè)步驟后, 就可以斷定命題對(duì)從開就可以斷定命題對(duì)從開始的所有正整數(shù)始的所有正整數(shù)n都正確都正確這種證明方法叫做這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法(1) 證明當(dāng)證明當(dāng)n取第一個(gè)值取第一個(gè)值n = n0 時(shí)結(jié)論正確時(shí)結(jié)論正確;例題例題 在數(shù)列在數(shù)列na中, 1a1, nnnaaa11(n ),*N先計(jì)算先計(jì)算2a，3a，4a的值，再推測(cè)通項(xiàng)的值，再推測(cè)通項(xiàng) 的公式的公式, ,na最后證明你的結(jié)論最后證明你的結(jié)論 （1）（第）（第63頁(yè)例頁(yè)例1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：）用數(shù)學(xué)歸納法證明： 135（2n1）n2 .（2）（第）（第64頁(yè)練習(xí)頁(yè)練習(xí)3）首項(xiàng)是）首項(xiàng)是a1 , 公比是公比是 q 的的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是 an=a1qn1.(1) 本節(jié)課的中心內(nèi)容是歸納法和數(shù)學(xué)歸納法；本節(jié)課的中心內(nèi)容是歸納法和數(shù)學(xué)歸納法；(2) 歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，它可以分為完全歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，它可以分為完全歸納法和不完全歸納法兩種，完全歸納法只局限于有限個(gè)元素，歸納法和不完全歸納法兩種，完全歸納法只局限于有限個(gè)元素，而不完全歸納法得出的結(jié)論不一定具有可靠性，數(shù)學(xué)歸納法屬于而不完全歸納法得出的結(jié)論不一定具有可靠性，數(shù)學(xué)歸納法屬于完全歸納法；完全歸納法；(3) 數(shù)學(xué)歸納法作為一種證明方法，它的基本思想是遞推數(shù)學(xué)歸納法作為一種證明方法，它的基本思想是遞推(遞歸遞歸)思想，它的使用要點(diǎn)可概括為：兩個(gè)步驟一結(jié)論，遞推基礎(chǔ)不可思想，它的使用要點(diǎn)可概括為：兩個(gè)步驟一結(jié)論，遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉；少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉；(4) 本節(jié)課所涉及到的數(shù)學(xué)思想方法有：遞推思想、類比思想、本節(jié)課所涉及到的數(shù)學(xué)思想方法有：遞推思想、類比思想、分類思想、歸納思想、辯證唯物主義思想分類思想、歸納思想、辯證唯物主義思想(1) (1) 課本第課本第6464頁(yè)練習(xí)第頁(yè)練習(xí)第1, 21, 2題；第題；第6767頁(yè)習(xí)題頁(yè)習(xí)題2.12.1第第2 2題題(2) (2) (辨析與思考辨析與思考) ) 用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明 1+2+22+23+2n = 2n1(n N*)時(shí)時(shí), 其中第二步采用下面的證法：其中第二步采用下面的證法： 設(shè)設(shè)nk時(shí)等式成立時(shí)等式成立, 即即1+2+22+23+2k1=2k1, 則則當(dāng)當(dāng)nk1時(shí)時(shí), ,即即nk1時(shí)等式也成立時(shí)等式也成立12212122222111132kkkk