江蘇省懷仁中學高中數學《數學歸納法》課件 新人教版選修22

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1、(1) 不完全歸納法引例 明朝劉元卿編的明朝劉元卿編的應諧錄應諧錄中有一個笑話:財主的兒子學寫中有一個笑話:財主的兒子學寫字這則笑話中財主的兒子得出字這則笑話中財主的兒子得出“四就是四橫、五就是五橫四就是四橫、五就是五橫”的結論,用的就是的結論,用的就是“歸納法歸納法”,不過,這個歸納推出的結論顯然,不過,這個歸納推出的結論顯然是錯誤的是錯誤的(2) 完全歸納法對比引例 有一位師傅想考考他的兩個徒弟,看誰更聰明一些他給每有一位師傅想考考他的兩個徒弟,看誰更聰明一些他給每人筐花生去剝皮,看看每一?;ㄉ适遣皇嵌加蟹垡掳凑l人筐花生去剝皮,看看每一?;ㄉ适遣皇嵌加蟹垡掳?,看誰先給出答案大徒

2、弟費了很大勁將花生全部剝完了;二徒弟只揀先給出答案大徒弟費了很大勁將花生全部剝完了;二徒弟只揀了幾個飽滿的,幾個干癟的,幾個熟好的,幾個沒熟的,幾個三了幾個飽滿的,幾個干癟的,幾個熟好的,幾個沒熟的,幾個三仁的,幾個一仁、兩仁的,總共不過一把花生顯然,二徒弟比仁的,幾個一仁、兩仁的,總共不過一把花生顯然,二徒弟比大徒弟聰明大徒弟聰明(1) 不完全歸納法實例給出等差數列前四項給出等差數列前四項, , 寫出該數列的通項公式寫出該數列的通項公式(2) 完全歸納法實例證明圓周角定理分圓心在圓周角內證明圓周角定理分圓心在圓周角內部、外部及一邊上三種情況部、外部及一邊上三種情況問題問題1 1 已知已知 =

3、 (nN= (nN* *), ),(1)(1)分別求分別求 , , , ., , , .(2)(2)由此你能得到一個什么結論由此你能得到一個什么結論? ? 這個結論正確嗎這個結論正確嗎? ?na2255)( nn1a2a3a4a 問題問題2 2 費馬(費馬(Fermat)是)是1717世紀法國著名的數學家,他曾認為,世紀法國著名的數學家,他曾認為,當當n nN N時,時, 一定都是質數,這是他對一定都是質數,這是他對n n0 0,1 1,2 2,3 3,4 4作作了驗證后得到的后來,了驗證后得到的后來,1818世紀偉大的瑞士科學家歐拉(世紀偉大的瑞士科學家歐拉(Euler)卻證明了卻證明了 4

4、 294 967 2974 294 967 2976 700 4176 700 417641641,從而否定了費,從而否定了費馬的推測沒想到當馬的推測沒想到當n n5 5這一結論便不成立這一結論便不成立 122n1252 問題問題3 ,3 ,當當nN時,是否都為質數?時,是否都為質數? 驗證:驗證: f(0)41,f(1)43,f(2)47,f(3)53,f(4)61,f(5)71,f(6)83,f(7)97,f(8)113,f(9)131,f(10)151, , f(39)1 601 但是但是 f(40)1 681 ,是合數是合數41)(2nnnf241多米諾成功的關鍵有兩點:多米諾成功的關

5、鍵有兩點:(1) (1) 第一張牌被推倒;第一張牌被推倒; (2) (2) 假如某一張牌倒下假如某一張牌倒下, , 則它的后一張牌必定倒下則它的后一張牌必定倒下 于是于是, , 我們可以下結論:我們可以下結論: 多米諾骨牌會全部倒下多米諾骨牌會全部倒下搜索:搜索:再舉幾則生活事例:推倒自行車再舉幾則生活事例:推倒自行車, , 早操排隊對齊等早操排隊對齊等(1)當當n1時等式成立;時等式成立; (2) 假設當假設當nk時等式成立時等式成立, 即即ak=a1+(k1)d , 則則 ak+1=ak+d=a1+(k+1)-1d, 即即 nk1時等式也時等式也 成立成立 于是于是, 我們可以下結論:等差

6、數列的通項公式我們可以下結論:等差數列的通項公式 an=a1+(n1)d 對任何對任何nN*都成立都成立類比多米諾骨牌過程類比多米諾骨牌過程, , 證明等差數列通項公式證明等差數列通項公式. .證明一個與正整數有關的命題關鍵步驟如下:證明一個與正整數有關的命題關鍵步驟如下:(2) 假設當假設當nk (kN*, kn0 ) 時結論正確時結論正確, 證明當證明當nk1時結論也正確時結論也正確完成這兩個步驟后完成這兩個步驟后, 就可以斷定命題對從開就可以斷定命題對從開始的所有正整數始的所有正整數n都正確都正確這種證明方法叫做這種證明方法叫做數學歸納法數學歸納法(1) 證明當證明當n取第一個值取第一個

7、值n = n0 時結論正確時結論正確;例題例題 在數列在數列na中, 1a1, nnnaaa11(n ),*N先計算先計算2a,3a,4a的值,再推測通項的值,再推測通項 的公式的公式, ,na最后證明你的結論最后證明你的結論 (1)(第)(第63頁例頁例1)用數學歸納法證明:)用數學歸納法證明: 135(2n1)n2 .(2)(第)(第64頁練習頁練習3)首項是)首項是a1 , 公比是公比是 q 的的等比數列的通項公式是等比數列的通項公式是 an=a1qn1.(1) 本節(jié)課的中心內容是歸納法和數學歸納法;本節(jié)課的中心內容是歸納法和數學歸納法;(2) 歸納法是一種由特殊到一般的推理方法,它可以

8、分為完全歸納法是一種由特殊到一般的推理方法,它可以分為完全歸納法和不完全歸納法兩種,完全歸納法只局限于有限個元素,歸納法和不完全歸納法兩種,完全歸納法只局限于有限個元素,而不完全歸納法得出的結論不一定具有可靠性,數學歸納法屬于而不完全歸納法得出的結論不一定具有可靠性,數學歸納法屬于完全歸納法;完全歸納法;(3) 數學歸納法作為一種證明方法,它的基本思想是遞推數學歸納法作為一種證明方法,它的基本思想是遞推(遞歸遞歸)思想,它的使用要點可概括為:兩個步驟一結論,遞推基礎不可思想,它的使用要點可概括為:兩個步驟一結論,遞推基礎不可少,歸納假設要用到,結論寫明莫忘掉;少,歸納假設要用到,結論寫明莫忘掉

9、;(4) 本節(jié)課所涉及到的數學思想方法有:遞推思想、類比思想、本節(jié)課所涉及到的數學思想方法有:遞推思想、類比思想、分類思想、歸納思想、辯證唯物主義思想分類思想、歸納思想、辯證唯物主義思想(1) (1) 課本第課本第6464頁練習第頁練習第1, 21, 2題;第題;第6767頁習題頁習題2.12.1第第2 2題題(2) (2) (辨析與思考辨析與思考) ) 用數學歸納法證明用數學歸納法證明 1+2+22+23+2n = 2n1(n N*)時時, 其中第二步采用下面的證法:其中第二步采用下面的證法: 設設nk時等式成立時等式成立, 即即1+2+22+23+2k1=2k1, 則則當當nk1時時, ,即即nk1時等式也成立時等式也成立12212122222111132kkkk

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