高一數學上學期期末復習 專題04 初等函數（II）三角函數課件

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1、一、基礎知識整合（一）三角函數的概念1任意角(1)角的概念角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置_到另一個位置所成的圖形我們規(guī)定：按_方向旋轉形成的角叫做正角，按_方向旋轉形成的角叫做負角如果一條射線沒有作任何旋轉，我們稱它形成了一個_(2)象限角使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的_重合角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角是第一象限角可表示為 ，kZ()；是第二象限角可表示為 ；是第三象限角可表示為 ；是第四象限角可表示為 (3)非象限角如果角的終邊在_上，就認為這個角不屬于任何一個象限終邊在x軸非負半軸上的角的集合可記作|2k，kZ；終邊在x軸非正半軸上的角的集合可記作_；終邊

2、在y軸非負半軸上的角的集合可記作_；終邊在y軸非正半軸上的角的集合可記作_；終邊在x軸上的角的集合可記作_；終邊在y軸上的角的集合可記作_；終邊在坐標軸上的角的集合可記作_ (4)終邊相同的角所有與角終邊相同的角，連同角在內，可構成一個集合S_.2弧度制(1)把長度等于_的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示，讀作弧度_，l是半徑為r的圓的圓心角所對弧的長(2)弧度與角度的換算：360_rad，180_rad，1_rad0.01745rad，反過來1rad_57.305718.(3)若圓心角用弧度制表示，則弧長公式l_；扇形面積公式S扇_3任意角的三角函數(1)任意角的三角函數的定義

3、設是一個任意角，它的終邊上任意一點P(x，y)與原點的距離為r(r0)，則sin_，cos_，tan_ (x0)(2)三角函數值在各象限的符號4三角函數線如圖，角的終邊與單位圓交于點P.過點P作x軸的垂線，垂足為M，過點A(1，0)作單位圓的切線，設它與的終邊(當為第一、四象限角時)或其反向延長線(當為第二、三象限角時)相交于點T.根據三角函數的定義，有OMx_，MPy_，AT _.像OM，MP，AT這種被看作帶有方向的線段，叫做有向線段，這三條與單位圓有關的有向線段MP，OM，AT，分別叫做角的 、 、 ，統(tǒng)稱為三角函數線5特殊角的三角函數值(二）三角函數的誘導公式1.誘導公式的內容：2.誘

4、導公式的規(guī)律：三角函數的誘導公式可概括為：奇變偶不變，符號看象限其中“奇變偶不變”中的奇、偶分別是指 的奇數倍和偶數倍，變與不變是指函數名稱的變化若是奇數倍，則正、余弦互變，正、余切互變；若是偶數倍，則函數名稱_“符號看象限”是把當成_時，原三角函數式中的角 () 所在_原三角函數值的符號注意：把當成銳角是指不一定是銳角，如sin(360120)sin120，sin(270120)cos120，此時把120當成了銳角來處理“原三角函數”是指等號左邊的函數223sincos，sincos，sincos三者之間的關系(sincos)2_；(sincos)2_；(sincos)2(sincos)2=

5、_；(sincos)2(sincos)2=_.（三）三角函數圖象和性質1“五點法”作圖(1)在確定正弦函數ysinx在0，2上的圖象形狀時，起關鍵作用的五個點是 ， ， ， ， (2)在確定余弦函數ycosx在0，2上的圖象形狀時，起關鍵作用的五個點是 ， ， ， ， 2周期函數的定義對于函數f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的每一個值時，都有_，那么函數f(x)就叫做周期函數，非零常數T叫做這個函數的周期如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做f(x)的_3三角函數的圖象和性質（四）三角函數圖象變換1用五點法畫yAsin(x)在一個周期內

6、的簡圖用五點法畫yAsin(x)在一個周期內的簡圖時，要找五個特征點，如下表所示.3函數yAsin(x)(A0，0)的物理意義簡諧運動的圖象所對應的函數解析式y(tǒng)Asin(x)，x0，)，其中A0，0.在物理中，描述簡諧運動的物理量，如振幅、周期和頻率等都與這個解析式中的常數有關：A就是這個簡諧運動的振幅，它是做簡諧運動的物體離開平衡位置的最大距離；這個簡諧運動的周期是T ，這是做簡諧運動的物體往復運動一次所需要的時間；這個簡諧運動的頻率由公式fT(1) 給出，它是做簡諧運動的物體在單位時間內往復運動的次數；x稱為相位；x_時的相位稱為初相二、熱點題型展示類型一角的概念與扇形的弧長與面積問題【名

7、師點睛】1要注意銳角與第一象限角的區(qū)別，銳角的集合僅是第一象限角的集合的一個真子集，即銳角是第一象限角，但第一象限角不一定是銳角2在同一個式子中，采用的度量制必須一致，不可混用如2k30(kZ)，k3602()(kZ)的寫法都是不規(guī)范的3扇形的弧長與面積問題.直接用公式l|R可求弧長，利用S弓S扇S可求弓形面積關于扇形的弧長公式和面積公式有角度制與弧度制這兩種形式，其中弧度制不僅形式易記，而且好用，在使用時要注意把角度都換成弧度，使度量單位一致弧長、面積是實際應用中經常遇到的兩個量，應切實掌握好其公式并能熟練運用類型二三角函數的定義與三角函數線【名師點睛】1.三角函數線是任意角的三角函數的幾何

8、表示，利用單位圓中的三角函數線可以直觀地表示三角函數值的符號及大小，并能從任意角的旋轉過程中表示三角函數值的變化規(guī)律在求三角函數的定義域、解三角不等式、證明三角不等式等方面，三角函數線具有獨特的簡便性已知三角函數值的符號確定角的終邊位置不要遺漏終邊在坐標軸上的情況2.牢記各象限三角函數值的符號，在計算或化簡三角函數關系時，要注意對角的范圍以及三角函數值的正負進行討論3.已知角的終邊上一點的坐標可利用三角函數的定義求三角函數值，若含有參數，則要注意對可能情況進行分類討論4.在解簡單的三角不等式時，利用單位圓及三角函數線，常使問題變的簡單1.【2015福建高考】若 ， 且 為第四象限角，則 的值等

9、于（ ） 【答案】D125.125.512.512.DCBA.125tan,12)5(13,135sin【解析】22可得；為第四象限的角，則因為xry類型三同角三角函數的基本關系及誘導公式【名師點睛】1誘導公式用角度制和弧度制表示都可，運用時應注意函數名稱是否要改變以及正負號的選取2已知一個角的某一個三角函數值，求這個角的其他三角函數值，這類問題用同角三角函數的基本關系式求解，一般分為三種情況：(1)一個角的某一個三角函數值和這個角所在的象限或終邊所在的位置都是已知的，此類情況只有一組解(2)一個角的某一個三角函數值是已知的，但這個角所在的象限或終邊所在的位置沒有給出，解答這類問題，首先要根據

10、已知的三角函數值確定這個角所在的象限或終邊所在的位置，然后分不同的情況求解(3)一個角的某一個三角函數值是用字母給出的，此類情況須對字母進行討論，并注意適當選取分類標準，一般有兩組解3計算、化簡三角函數式常用技巧(1)減少不同名的三角函數，或化切為弦，或化弦為切，如涉及sin，cos的齊次分式問題，常采用分子分母同除以cosn(nN*)，這樣可以將被求式化為關于tan的式子(2)巧用“1”進行變形，如1sin2cos2tancottan45sec2tan2等(3)平方關系式需開方時，應慎重考慮符號的選取(4)熟悉sincos，sincos，sincos三者之間的內在聯系，利用(sincos)2

11、12sincos進行和積轉換，可知一求二1. （2015全國1） 真題再現類型四三角函數的圖象與性質【名師點睛】1.求三角函數的定義域.常常歸結為解三角不等式(或等式)；經常借助兩個工具，即單位圓中的三角函數線和三角函數的圖象，有時也利用數軸；對于較為復雜的求三角函數的定義域問題，應先列出不等式(組)分別求解，然后利用數軸或三角函數線求交集2.求三角函數的值域(最值)時，代數中求值域(最值)的方法均適用，注意三角函數的取值范圍)、換元法(注意換元后的范圍變化)、判別式法、不等式法等對于形如yAsin(x)b(或yAcos(x)b)，可直接求出x在區(qū)間的范圍，然后根據單調性求解3. 求三角函數的

12、周期.通常應將函數式化為只有一個函數名，且角度唯一，最高次數為一次的形式，然后借助于常見三角函數的周期來求解注意帶絕對值的三角函數的周期是否減半，可用圖象法判定，y|cosx|的圖象即是將ycosx的圖象在x軸下方部分翻折到x軸的上方去4.判斷三角函數奇偶性時，必須先檢查定義域是否是關于原點的對稱區(qū)間，如果是，再驗證f(x)是否等于f(x)或f(x)，進而判斷函數的奇偶性；如果不是，則該函數必為非奇非偶函數另外，對較復雜的解析式，可選擇先化簡再判斷，也可直接用x取代x，再化簡判斷，還可利用f(x)f(x)0是否成立來判斷其奇偶性5.三角函數的單調性.三角函數單調區(qū)間的確定，一般先將函數式化為基

13、本三角函數標準式，然后通過同解變形或利用數形結合方法求解利用三角函數的單調性比較兩個同名三角函數值的大小，必須先看兩角是否同屬于這一函數的同一單調區(qū)間內，不屬于的，可先化至同一單調區(qū)間內若不是同名三角函數，則應考慮化為同名三角函數或用差值法(例如與0比較，與1比較等)求解若函數ysin(x)中0，可用誘導公式將函數變?yōu)閥sin(x)的形式(目的是將x的系數變?yōu)檎?，將“x”視為一個整體，那么ysin(x)的增區(qū)間為ysin(x)的減區(qū)間，其減區(qū)間為ysin(x)的增區(qū)間對于函數ycos(x)，ytan(x)(0)等的單調性的討論同上6.三角函數的對稱性.解此類選擇題最快捷的方式往往是代入驗證法

14、；對于函數f(x)Asin(x)B，如果求f(x)圖象的對稱軸，只需解方程sin(x)1，也就是令x2()k(kZ)求x；如果求f(x)圖象的對稱中心，只需解方程sin(x)0，也就是令xk(kZ)求x；對于較復雜的三角函數表達式，有時可以通過恒等變換為的情形. 類型五三角函數圖象的變換【名師點睛】1.根據yAsin(x)，xR的圖象求解析式的步驟：(1)首先確定振幅和周期，從而得到A與.()A為離開平衡位置的最大距離，即最大值與最小值的差的一半()由周期得到：函數圖象在其對稱軸處取得最大值或最小值，且相鄰的兩條對稱軸之間的距離為函數的半個周期；函數圖象與x軸的交點是其對稱中心，相鄰兩個對稱中心間的距離也是函數的半個周期；一條對稱軸與其相鄰的一個對稱中心間的距離為函數的4(1)個周期(借助圖象很好理解記憶)【名師點睛】求形如yAsin(x)或yAcos(x)(其中A0，0)的函數的單調區(qū)間，可以通過解不等式的方法去解答，列不等式的原則是：把“x(0)”視為一個“整體”；A0(A0)時，所列不等式的方向與ysin x(xR)，ycos x(xR)的單調區(qū)間對應的不等式方向相同(反)四、強化訓練提高