《一元一次不等式組的應用》典型例題(共9頁)

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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上 《一元一次不等式組的應用》典型例題 例題1 車站有待運的甲種貨物1530噸，乙種貨物1150噸，原計劃用50節(jié)兩種型號的車廂將這批貨物運至北京，已知每節(jié)A型貨箱的運費為0.5萬元，每節(jié)B型貨箱的運費為0.8萬元，甲種貨物35噸和乙種貨物15噸可裝滿一節(jié)A型貨箱，甲種貨物25噸和乙種貨物35噸可裝滿一節(jié)B型貨箱，按此要求安排兩種貨箱的節(jié)數(shù)，共有哪幾種方案？請你設計出來，并說明哪種方案的運費最少？ 例題2 幼兒園大班分蘋果，若每人分3個，則余8個，若前面每人分5個，則最后一個小朋友得到的蘋果數(shù)不足3個，求有多少個小朋友和多少個蘋果？

2、例題3 某班需要買一些筆記本和鋼筆以表揚在數(shù)學競賽中獲獎的10名學生，已知筆記本的單價是3.5元，鋼筆的單價是8元，且購買獎品的金額不超過70元．問至多能買幾支鋼筆？ 例題4　某賓館底樓客房比二樓少5間，某旅游團有48人，若全安排在底樓，每間4人，房間不夠，每間5人，有房間沒有住滿，又若安排住二樓，每間3人，房間不夠，每間4人，又有房間沒有住滿，問賓館底樓有客房幾間？ 例題5　幼兒園有玩具若干件，分給小朋友，如果每人3件，那么還余59件，如果每人分5件，那么最后一個小朋友少幾件，來這個幼兒園有多少玩具？多少個小朋友？ 例題6 某工廠現(xiàn)有甲種原料360kg，乙種原料

3、290kg，計劃利用這兩種原料生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品共50件．已知生產(chǎn)一件A種產(chǎn)品需甲種原料9kg、乙種原料3kg；生產(chǎn)一件B種產(chǎn)品需甲種原料4kg、乙種原料10kg． （1）設生產(chǎn)x件A種產(chǎn)品，寫出x應滿足的不等式組； （2）如果x是整數(shù)，有哪幾種符合題意的生產(chǎn)方案？請你幫助設計． 例題7 一條鐵路線上各站之間的路程如圖所示，單位為千米．一列火車7：30從A站開出，向E站行駛，行駛速度為80km/h，每站停車時間約4min，問這列火車何時行駛在D站與E站之間（不包括D站、E站）的鐵路線上． 例題8 某自行車廠今年生產(chǎn)銷售一種新自行車，現(xiàn)向你提供以下有關(guān)信息： （1）該廠

4、去年已備有這種自行車的車輪10000只，車輪車間今年平均每月可生產(chǎn)車輪1500只，每輛自行車需裝配2只輪； （2）該廠裝配車間（自行車生產(chǎn)最后一道工序的生產(chǎn)車間）每月至少可裝配這種自行車1000輛，但不超過1200輛； （3）今年該廠已收到各地客戶訂購這種自行車共14500輛的訂貨單； （4）這種自行車出廠銷售單價為500元/輛． 設該廠今年這種自行車的銷售金額為萬元，請你根據(jù)上述信息，判斷的取值范圍． 例題9 某園林的門票每張10元，一次使用．考慮人們的不同需求，也為了吸引更多的游客，該園林除保留原來的售票方法外，還推出了一種購買個人年票的售票方法（個人年票從購買日起，可供持

5、票者使用一年）．年票分三類：A類年票每張120元，持票者進入園林時，無需再買門票；B類年票每張60元，持票者進入該園林時，需再購買門票，每次2元；C類年票每張40元，持票者進入該園林時，需再購買門票，每次3元． （1）如果你只選擇一種購買門票的方式，并且你計劃在一年中用80元花在該園林的門票上，試通過計算，找出進入該園林的次數(shù)最多的購票方式． （2）求一年中進入該園林至少超過多少次時，購買A在年票比較合算． 例題10 有兩個學生參加四次測驗，他們的平均分數(shù)不同，但都是低于90分的整數(shù)．他們又參加了第五次測驗，測驗后他們的平均成績都提高到90分．問在第五次測驗時，這兩個學生的分數(shù)各是多

6、少？（滿分100分，得分都是整數(shù)） 例題11　大小盒子共裝球99個，每個大盒裝12個，小盒裝5個，恰好裝完，盒子個數(shù)大于10，問：大小盒子各多少個？ 參考答案 例題1 分析 這是一道方案設計優(yōu)化問題，要將貨物運至北京，車廂的總裝載重量必須大于或等于貨物的總量，由此可列不等式。 解答 設需要A型車廂x節(jié)， 由題意得 解得， 因為x為整數(shù)，所以x取28，29，30， 即有3種方案： （1）A型28節(jié)，B型22節(jié)；（2）A型29節(jié)，B型21節(jié)；（3）A型30節(jié)，B型20節(jié)， 由題意知，運費，當時，y取最小值，即A型車廂20節(jié)，B型車廂20節(jié)時運費最少． 例題2 分

7、析 設有個小朋友，則蘋果數(shù)為．如果每人分5個，因為最后一個小朋友的蘋果數(shù)不足3個，所以應在和之間，可得不等式組． 解答 設幼兒園大班共有個小朋友，根據(jù)題意得 由（1）得； 由（2）得． 所以不等式組的解集為． 又因為為整數(shù)，故． 所以，有6個小朋友，共有蘋果3×6＋8＝26（個）． 例題3 分析 因為每人只獲1件獎品，故筆記本和鋼筆的數(shù)量和是10，總金額不超過70元．根據(jù)題意，可列出下列由方程和不等式組成的式子． 解答 設購買本筆記本，支鋼筆，依題意可得 由（1）得，（3） 將（3）代入（2）得，解得． 又是正整數(shù)，所以的最大值是7，即至多能買7支鋼筆．

8、 例題4　解答 設底樓有間客房，則二樓有(+5)間客房， 根據(jù)題意，得， 　　 　　∴9＜＜12． 　　　　依題意，又可得， 　 　　∴ 7＜＜11． 故 =10． 答：底樓有10間客房． 　　說明 本題是列不等式解應用題，在確定設未知數(shù)后，關(guān)鍵是找出不等式關(guān)系和列出不等式，為此須認真斟酌關(guān)鍵詞語如“不夠”和“沒住滿”的含義． 例題5　分析 此問題中有兩個未知數(shù)，且沒有等量關(guān)系，有不等關(guān)系，因此可考慮用不等式組來解． 解答 設小朋友x人，則有 解（1），得， 解（2），得， ∴ ∵ x為整數(shù)，∴ 此時 答：幼兒園有小朋友30人，玩具149件；幼

9、兒園有小朋友31人，玩具152件． 說明 利用一元一次不等式組解應用題的步驟與列一元二次方程組解應用題大體相同，不同的是后者尋求的是等量關(guān)系，列出的是等式，前者尋求的是不等關(guān)系，列出的是不等式，并且解不等式組所得結(jié)果通常為一解集，需從解集中找出符合題意的答案． 例題6 解答 （1）根據(jù)題意，x滿足不等式組： （2）解不等式組，得 ． 因為x是整數(shù)，所以． 因此生產(chǎn)方案有三種：生產(chǎn)A種產(chǎn)品30件、B種產(chǎn)品20件；或生產(chǎn)A種產(chǎn)品31件、B種產(chǎn)品19件；或生產(chǎn)A種產(chǎn)品32件、B種產(chǎn)品18件． 例題7 分析 如果設這列火車行駛至DE這段鐵路線上任意一處（不包括）

10、所經(jīng)過的時間為，那么就能用的一次式表示列車所經(jīng)過的路程．根據(jù)這個路程應大于（80＋50＋70）km，且小于（80＋50＋70＋60）km，就可列出不等式組，解出的取值范圍．再根據(jù)列車出發(fā)的時間，就能求出列車何時行駛在DE這段鐵路線上． 解答 設這列火車行駛至DE這段鐵路線上任意一處（不包括）所經(jīng)過的時間為，則相應所經(jīng)過的路程為km． 依題意，得 解不等式（1），得． 解不等式（2），得． ∴不等式組的解集是． 7.5＋2.7＝10.2（時），7.5＋3.45＝10.95（時）． 答：這列火車行駛在DE這段鐵路線上的時間是10：12至10：57． 說明 列不等式組時，要注

11、意單位的統(tǒng)一，否則會影響表達式的正確性． 例題8 解答 （1）去年備有和今年生產(chǎn)的車輪共有 1000＋1500×12＝28000（只）， 共可裝配自行車的輛數(shù)為 28000÷2＝14000（輛）． （2）該廠全年生產(chǎn)自行車的輛數(shù)范圍是： 全年生產(chǎn)自行車輛數(shù)， 即全年生產(chǎn)自行車輛數(shù)． （3）今年訂購自行車14500輛，可知供不應求，以最快生產(chǎn)速度也不能滿足社會要求，得擴大生產(chǎn)能力． （4）由上分析可知， ∴600（萬元）（萬元）． 說明 本例中14400輛是可以生產(chǎn)出，但實際上原料供應只能保證生產(chǎn)14000輛，故計算的范圍時只能用14000輛參與計算． 例題9 分析

12、 討論某次經(jīng)濟行為是否合算，即要看這種方式與其他方式比較是否花費最少，故本題（2）要轉(zhuǎn)化為用不等式組的知識求解． 解答 （1）因為，所以不可能選A類年票． 若選B類年票，則（次）； 若選C類年票，則（次）； 若不購買年票，則（次）． 所以計劃用80元花在該園林的門票上時，選擇購買C類年票的方法進入園林的次數(shù)最多，為13次． （2）設至少超過次時，購買A類年票比較合算，則有不等式組 解得 其公共解集為． 所以，一年中進入該園林至少超過30次時，購買A類年票比較合算． 說明 本例展示的是生活中的一件小事，但暗示我們，生活中無處不存在數(shù)學的身影，滲透在生活中的一個個

13、細節(jié)中． 例題10 分析 此例中的未知量較多（如兩學生前四次的平均分數(shù)，第五次測驗的分數(shù)等），且沒有足夠的等量關(guān)系，難以列方程組求解．但題中蘊含兩個不等關(guān)系：平均分低于90分；滿分100分，即測驗分數(shù)不超過100分．于是考慮利用不等式的有關(guān)知識求解． 解答 設其中某個學生前4次的平均分為分，第5次測驗的成績?yōu)榉?，依題意有，即． 由第5次測驗的成績高于90分，而又不大于100分，得， 解得， 因為為整數(shù)，故或89． 又已知兩個學生平均分數(shù)不等，故前4次的平均分一個為88分，另一個為89分，第5次測驗一個學生的成績?yōu)?8分，另一個的成績?yōu)?4分． 說明 利用不等式（組）解應用

14、題，其步驟與列方程（組）解應用題大體相同．不同的是，后者探求等量關(guān)系，列出的是等式，而前者尋求不等關(guān)系，列出的是不等式，并且解不等式（組）得到的結(jié)果通常為一解集，需從解集中找出符合題意的答案． 例題11　分析 問題中有兩個未知量，只有一個等量關(guān)系，另外還有一個附加條件，這是一個求有條件的不定方程整數(shù)解的問題，求不定方程整數(shù)解的一種方法是觀察系數(shù)特征，用試驗的辦法求解． 解答 設大、小盒分別有x個、y個，根據(jù)題意得： 由①知y為奇數(shù)，且， ∵x為自然數(shù)，∴通過試驗可得時，， 但與矛盾，故舍去， 當時，，即 也可以用逐步代換的方法（常規(guī)方法）求解如下： 由①得， 設，則 再設，則 再設，得（t為整數(shù)）逐步回代得（t為整數(shù)）． 由于x，y均為自然數(shù)，即 ∴ ∴ 或1． 當時，，但與矛盾，舍去． 當時，，符合題意． 說明 不定方程組可以通過消元轉(zhuǎn)化為二元一次不定方程求解，如中國古代“百雞問題”、“孫子定理”、“雞兔同籠”等，都屬于這一類求解問題． 專心---專注---專業(yè)