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第二章 §2
一、選擇題
1.袋中有除顏色外完全相同的3個白球和2個紅球,從中任取2個,那么下列事件中發(fā)生的概率為的是( )
A.都不是白球 B.恰有1個白球
C.至少有1個白球 D.至多有1個白球
[答案] D
[解析] P(都不是白球)==,P(恰有1個白球)==,P(至少有1個白球)==,
P(至多有1個白球)==故選D.
2.有20個零件,其中16個一等品,4個二等品,若從這20個零件中任取3個,那么至少有一個是一等品的概率是( )
A. B.
C. D.以上均不對
[答案] D
[解析] 至少有一個是一等品的概
2、率是
.
3.某電視臺有一次對收看新聞節(jié)目觀眾的抽樣調(diào)查中, 隨機(jī)抽取了45名電視觀眾,其中20至40歲的有18人,大于40歲的有27人.用分層抽樣方法在收看新聞節(jié)目的觀眾中隨機(jī)抽取5名,在這5名觀眾中再任取2人,則恰有1名觀眾的年齡在20至40歲的概率為( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 由于是分層抽樣,所以5名觀眾中,年齡為20至40歲的有×5=2人.設(shè)隨機(jī)變量X表示20至40歲的人數(shù),則X服從參數(shù)為N=5,M=2,n=2的超幾何分布,故P(X=1)==.
二、填空題
4.在3名女生和2名男生中任選2人參加一項交流活動,其中至少有1
3、名男生的概率為________.
[答案] 0.7
[解析] 5名學(xué)生中抽取2人的方法有C種,至少有1名男生參加的可能結(jié)果有CC+C種,所以概率為=0.7.
5.從一副不含大小王的52張撲克牌中任意抽出5張,至少有3張A的概率是________.
[答案] 0.001 8
[解析] 因為一副撲克牌中有4張A,所以根據(jù)題意,抽到撲克牌A的張數(shù)X為離散型隨機(jī)變量,且X服從參數(shù)為N=52,M=5,n=4的超幾何分布,它的可能取值為0,1,2,3,4,根據(jù)超幾何分布的公式得至少有3張A的概率為
P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)
=+
=+≈0.001 8.
故至少有3張A的概
4、率約為0.001 8.
三、解答題
6.盒中有16個白球和4個黑球,從中任意取出3個,設(shè)ξ表示其中黑球的個數(shù),求出ξ的分布列.
[分析] 顯然這是一個超幾何分布的例子.
N=20,M=4,n=3.利用P(ξ=m)=求出概率值,則分布列可得.
[解析] ξ可能取的值為0,1,2,3,
P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,
P(ξ=2)=,P(ξ=3)=.
∴ξ的分布列為
ξ
0
1
2
3
P
[點(diǎn)評] 超幾何分布是離散型隨機(jī)變量的分布列中較常見的一種模型,要理解P(ξ=m)=的意義,然后求出的相應(yīng)的概率,列出分布列即可.
一、選擇題
1.10名
5、同學(xué)中有a名女生,若從中抽取2個人作為學(xué)生代表,則恰抽取1名女生的概率是,則a=( )
A.1 B.2或8
C.2 D.8
[答案] B
[解析] 設(shè)X表示抽取的女生人數(shù),則X服從超幾何分布,P(X=1)===,解得a=2或a=8.
2.一個盒子里裝有除顏色外完全相同的黑球10個,紅球12個,白球4個,從中任取2個,其中白球的個數(shù)記為X,則下列算式中等于的是( )
A.P(0
6、能取法種數(shù),即4個白球中至多取1個,故選B.
3.若在甲袋內(nèi)裝有8個白球,4個紅球,在乙袋內(nèi)裝有6個白球,6個紅球.今從兩袋里任意取出1個球,設(shè)取出的白球個數(shù)為X,則下列概率中等于的是( )
A.P(X=0) B.P(X≤2)
C.P(X=1) D.P(X=2)
[答案] C
[解析] 當(dāng)X=1時,有甲袋內(nèi)取出的是白球,乙袋內(nèi)取出的是紅球或甲袋內(nèi)取出的是紅球,乙袋內(nèi)取出的是白球個數(shù)是X=1時,有P(X=1)=.
4.有10件產(chǎn)品,其中3件是次品,從中任取兩件,若X表示取得次品的個數(shù),則P(X<2)等于( )
A. B.
C. D.1
[答案] C
[解析] 由題意,
7、知X取0,1,2,X服從超幾何分布,它取每個值的概率都符合等可能事件的概率公式,即P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,于是P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)=+=.
5.盒中有10個螺絲釘,其中有3個是壞的,現(xiàn)從盒中隨機(jī)抽取4個,那么等于( )
A.恰有1個是壞的概率
B.恰有2個是好的概率
C.4個全是好的概率
D.至多有2個是壞的概率
[答案] B
[解析] A中“恰有1個是壞的概率”為P1===;B中“恰有2個是好的概率”為P2==;C中“4個全是好的概率”為P3==;D中“至多有2個是壞的概率”為P4=P1+P2+P3=,故選B.
二、填空題
8、
6.某班有50名學(xué)生,其中15人選修A課程,另外35人選修B課程,從班級中任選兩名學(xué)生,他們是選修不同課程的學(xué)生的概率是________.
[答案]
[解析] 將50名學(xué)生看做一批產(chǎn)品,其中選修A課程為不合格品,選修B課程為合格品,隨機(jī)抽取兩名學(xué)生,X表示選修A課程的學(xué)生數(shù),則X服從超幾何分布,其中N=50,M=15,n=2.依題意所求概率為P(X=1)==.
7.一批產(chǎn)品共50件,其中5件次品,45件合格品,從這批產(chǎn)品中任意抽兩件,則其中出現(xiàn)次品的概率為________.
[答案]
[解析] 設(shè)抽到次品的件數(shù)為X,則X服從參數(shù)為N=50,M=5,n=2的超幾何分布,于是出現(xiàn)次
9、品的概率為
P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)
=+=+=.
即出現(xiàn)次品的概率為.
三、解答題
8.從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽,設(shè)隨機(jī)變量X表示所選3人中女生的人數(shù).
(1)求X的分布列;
(2)求“所選3人中女生人數(shù)不大于1”的概率.
[分析] 這個問題與取產(chǎn)品的問題類似,從中發(fā)現(xiàn)兩個問題在本質(zhì)上的一致性,從而可用超幾何分布來解決此問題.
[解析] (1)X的可能取值為0,1,2,P(X=k)=,k=0,1,2.
所以X的分布列為
X
0
1
2
P
(2)P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=+=.
[點(diǎn)評] 本題考查
10、超幾何分布及分布列等概念,考查運(yùn)用概率知識解決實際問題的能力.解此類題首先要分析題意,確定所給問題是否是超幾何分布問題,若是,則寫出參數(shù)N,M,n的取值,然后利用超幾何分布的概率公式求出相應(yīng)的概率,寫出其分布列.
9.甲、乙兩人參加一次英語口語考試,已知在備選的10道試題中,甲能答對其中的6道試題,乙能答對其中的8道試題.規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3題進(jìn)行測試,答對一題得5分,答錯一題得0分.
求:(1)甲答對試題數(shù)X的分布列;
(2)乙所得分?jǐn)?shù)Y的分布列.
[解析] (1)X的可能取值為0,1,2,3.
P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X
11、=3)==.
所以甲答對試題數(shù)X的分布列為
X=k
0
1
2
3
P(X=k)
(2)乙答對試題數(shù)可能為1,2,3,所以乙所得分?jǐn)?shù)Y=5,10,15.
P(Y=5)==,
P(X=10)==,
P(Y=15)==.
所以乙所得分?jǐn)?shù)Y的分布列為
Y
5
10
15
P
[點(diǎn)評] 此題兩問都屬于典型的超幾何分布,關(guān)鍵是根據(jù)計數(shù)原理,完成隨機(jī)變量各取值的概率計算.在分析第(2)問隨機(jī)變量的可能取值時,極容易忽視已知條件“乙能答對8道題”,而錯誤地認(rèn)為“Y=0,5,10,15”,可見分析隨機(jī)變量的可能取值一定要正確.同時應(yīng)注意,在求解分
12、布列時可運(yùn)用分布列的性質(zhì)來檢驗答案是否正確.
10.(2014·天津理,16)某大學(xué)志愿者協(xié)會有6名男同學(xué),4名女同學(xué).在這10名同學(xué)中,3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院,其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個學(xué)院,現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué),到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(每位同學(xué)被選到的可能性相同).
(1)求選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率;
(2)設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
[解析] (1)設(shè)“選出的3名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院”為事件A,則
P(A)==.
所以,選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率為.
(2)隨機(jī)變量X的所有可能值為0,1,2,3.
P(X=k)=(k=0,1,2,3)
所以,隨機(jī)變量X的分布列是
X
0
1
2
3
P
隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.
專心---專注---專業(yè)