2012高考數(shù)學 沖刺必考專題解析 數(shù)學應用題

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1、數(shù)學應用性問題怎么解 數(shù)學應用性問題是歷年高考命題的主要題型之一, 也是考生失分較多的一種題型. 高考中一般命制一道解答題和兩道選擇填空題.解答這類問題的要害是深刻理解題意,學會文字語言向數(shù)學的符號語言的翻譯轉化,這就需要建立恰當?shù)臄?shù)學模型,這當中,函數(shù),數(shù)列,不等式，排列組合是較為常見的模型,而三角,立幾,解幾等模型也應在復課時引起重視. 高中數(shù)學下載平臺 ：數(shù)學1618 （） 為您分享 例1某校有教職員工150人，為了豐富教工的課余生活，每天定時開放健身房和娛樂室。據(jù)調查統(tǒng)計，每次去健身房的人有10%下次去娛樂室，而在娛樂室的人有20%下次去健身房.請問，隨著時間的推移，去健

2、身房的人數(shù)能否趨于穩(wěn)定？ 講解: 引入字母,轉化為遞歸數(shù)列模型. 設第n次去健身房的人數(shù)為an，去娛樂室的人數(shù)為bn，則. . ，于是 即. .故隨著時間的推移，去健身房的人數(shù)穩(wěn)定在100人左右. 上述解法中提煉的模型, 使我們聯(lián)想到了課本典型習題（代數(shù)下冊P.132第34題） 已知數(shù)列的項滿足 其中，證明這個數(shù)列的通項公式是 有趣的是, 用此模型可以解決許多實際應用題, 特別, 2002年全國高考解答題中的應用題(下文例9)就屬此類模型. 例2某人上午7時乘摩托艇以勻速V千米/小時（4≤V≤20）從A港出發(fā)前往50千米處的B港，然后乘汽車以勻速W千米/小時（30

3、≤W≤100）自B港向300千米處的C市駛去，在同一天的16時至21時到達C市, 設汽車、摩托艇所需的時間分別是x小時、y小時，若所需經(jīng)費元，那么V、W分別為多少時，所需經(jīng)費最少？并求出這時所花的經(jīng)費. 戰(zhàn)略合作伙伴：有機蔬菜專賣網(wǎng)：http://www.like- 講解: 題中已知了字母, 只需要建立不等式和函數(shù)模型進行求解. 由于又 則z最大時P最小. 作出可行域，可知過點（10，4）時, z有最大值38， ∴P有最小值93，這時V=12.5，W=30. 視這是整體思維的具體體現(xiàn), 當中的換元法是數(shù)學解題的常用方法. 例3 某鐵路指揮部接到預報，24小時后將有一場超歷

4、史記錄的大暴雨，為確保萬無一失，指揮部決定在24小時內(nèi)筑一道歸時堤壩以防山洪淹沒正在緊張施工的遂道工程。經(jīng)測算，其工程量除現(xiàn)有施工人員連續(xù)奮戰(zhàn)外，還需要20輛翻斗車同時作業(yè)24小時。但是，除了有一輛車可以立即投入施工外，其余車輛需要從各處緊急抽調，每隔20分鐘有一輛車到達并投入施工，而指揮部最多可組織25輛車。問24小時內(nèi)能否完成防洪堤壩工程？并說明理由. 講解: 引入字母, 構建等差數(shù)列和不等式模型. 由20輛車同時工作24小時可完成全部工程可知，每輛車，每小時的工作效率為，設從第一輛車投入施工算起，各車的工作時間為a1，a2，…, a25小時，依題意它們組成公差（小時）的等差數(shù)列，且

5、 ，化簡可得. 解得. 可見a1的工作時間可以滿足要求，即工程可以在24小時內(nèi)完成. 對照此題與2002年全國高考文科數(shù)學解答題中的應用題, 你一定會感覺二者的解法是大同小異的. 學習數(shù)學就需要這種將舊模式中的方法遷移為解答新題的有用工具, 這要求你不斷的聯(lián)想, 力求尋找恰當?shù)慕忸}方案. 例4 某學校為了教職工的住房問題，計劃征用一塊土地蓋一幢總建筑面積為A(m2)的宿舍樓.已知土地的征用費為2388元/m2，且每層的建筑面積相同，土地的征用面積為第一層的2.5倍.經(jīng)工程技術人員核算，第一、二層的建筑費用相同都為445元/m2，以后每增高一層，其建筑費用就增加30元/m2.試設計這幢

6、宿舍樓的樓高層數(shù)，使總費用最少，并求出其最少費用.（總費用為建筑費用和征地費用之和）. 講解: 想想看, 需要引入哪些字母? 怎樣建構數(shù)學模型? 設樓高為n層，總費用為y元，則征地面積為，征地費用為元，樓層建筑費用為 [445+445+（445+30）+（445+30×2）+…+445+30×（n－2）]·元，從而 （元） 當且僅當 , n=20（層）時，總費用y最少. 故當這幢宿舍樓的樓高層數(shù)為20層時, 最少總費用為1000A元. 實際應用題的數(shù)列模型是近兩年高考命題的熱門話題, 涉及到等差數(shù)列, 等比數(shù)列, 遞歸數(shù)列等知識點, 化歸轉化是解答的通性同法. 例5 在一很大

7、的湖岸邊（可視湖岸為直線）停放著一只小船，由于纜繩突然斷開，小船被風刮跑，其方向與湖岸成15°角，速度為2.5km/h，同時岸邊有一人,從同一地點開始追趕小船，已知他在岸上跑的速度為4km/h，在水中游的速度為2km/h.,問此人能否追上小船.若小船速度改變，則小船能被人追上的最大速度是多少？ 講解: 不妨畫一個圖形,將文字語言翻譯為圖形語言, 進而想法建立數(shù)學模型. 設船速為v，顯然時人是不可能追上小船，當km/h時，人不必在岸上跑，而只要立即從同一地點直接下水就可以追上小船，因此只要考慮的情況，由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追趕，當人沿岸跑的軌跡和人游

8、水的軌跡以及船在水中漂流的軌跡組成一個封閉的三角形時，人才能追上小船。設船速為v，人追上船所用 時間O A B vt 2(1－k)t 4kt 15° 為t，人在岸上跑的時間為，則人在水中游的時間 為，人要追上小船，則人船運動的路線滿足如圖所示的三角形. 由余弦是理得 即 整理得. 要使上式在（0，1）范圍內(nèi)有實數(shù)解，則有且 解得. 故當船速在內(nèi)時，人船運動路線可物成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的最大速度為，由此可見當船速為2.5km/h時, 人可以追上小船. 涉及解答三角形的實際應用題是近年高考命題的一個冷點, 復課時值得關注. 例6 一

9、根水平放置的長方體形枕木的安全負荷與它的寬度a成正比，與它的厚度 d的平方成正比，與它的長度l的平方成反比. （1）將此枕木翻轉90°（即寬度變?yōu)榱撕穸龋?，枕木的安全負荷變大嗎？為什么? （2）現(xiàn)有一根橫斷面為半圓（半圓的半徑為R）的木材，用它來截取成長方形的枕木，其長度即為枕木規(guī)定的長度，問如何截取，可使安全負荷最大？ a d l 講解:（1）安全負荷為正常數(shù)） 翻轉 ，安全負荷變大.…4分當 ，安全負荷變小. （2）如圖，設截取的寬為a，高為d，則. ∵枕木長度不變，∴u=ad2最大時，安全負荷最大. ，當且僅當，即取，

10、 取時，u最大， 即安全負荷最大. 三次函數(shù)最值問題一般可用三元均值不等式求解, 如果學過導數(shù)知識, 其解法就更為方便, 省去了應用均值不等式時配湊“定和”或“定積”的技巧性. 例7 已知甲、乙、丙三種食物的維生素A、B含量及成本如下表，若用 甲、乙、丙三種食物各x千克，y千克，z千克配成100千克混合食物，并使混合食物 內(nèi)至少含有56000單位維生素A和63000單位維生素B. 甲 乙 丙 維生素A（單位/千克） 600 700 400 維生素B（單位/千克） 800 400 500 成本（元/千克） 11 9 4 （1）用x，y表示混合食

11、物成本c元； （2）確定x，y，z的值，使成本最低. 講解:（1）依題意得 . （2）由 , 得 ， 當且僅當時等號成立., ∴當x=50千克，y=20千克，z=30千克時，混合物成本最低為850元. 線性規(guī)劃是高中數(shù)學的新增內(nèi)容, 涉及此類問題的求解還可利用圖解法, 試試看. 例8 隨著機構改革工作的深入進行，各單位要減員增效，有一家公司現(xiàn)有職員人（140<<420，且為偶數(shù)），每人每年可創(chuàng)利萬元.據(jù)評估，在經(jīng)營條件不變的前提下，每裁員1人，則留崗職員每人每年多創(chuàng)利萬元，但公司需付下崗職員每人每年萬元的生活費，并且該公司正常運轉所需人數(shù)不得小于現(xiàn)有職員的，為獲得最大

12、的經(jīng)濟效益，該公司應裁員多少人？ 講解 設裁員人，可獲得的經(jīng)濟效益為萬元,則 = 依題意 ≥ ∴0<≤. 又140<<420, 70<<210. (1)當0<≤,即70<≤140時，,取到最大值; (2)當>,即140<<210時， ,取到最大值; 綜上所述，當70<≤140時，應裁員人；當140<<210時，應裁員人. 在多字母的數(shù)學問題當中，分類求解時需要搞清：為什么分類？對誰分類？如何分類？ 例9 某城市2001年末汽車保有量為30萬輛，預計此后每年報廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)量相同.為保護城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬

13、輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應超過多少輛? 講解設2001年末汽車保有量為萬輛，以后各年末汽車保有量依次為萬輛，萬輛，……，每年新增汽車萬輛，則 ， 所以，當時，，兩式相減得： （1）顯然，若，則，即，此時 （2）若，則數(shù)列為以為首項，以為公比的等比數(shù)列，所以，. （i）若，則對于任意正整數(shù)，均有，所以，，此時， （ii）當時，，則對于任意正整數(shù)，均有，所以，， 由，得 ， 要使對于任意正整數(shù)，均有恒成立， 即 對于任意正整數(shù)恒成立，解這個關于x的一元一次不等式 , 得 , 上式恒成立的條件為：，由于關于的函數(shù)單調遞減，所以，. 本題是2002年全國高考題，上面

14、的解法不同于參考答案，其關鍵是化歸為含參數(shù)的不等式恒成立問題，其分離變量后又轉化為函數(shù)的最值問題. 例10 為促進個人住房商品化的進程，我國1999年元月公布了個人住房公積金貸款利率和商業(yè)性貸款利率如下： 貸款期(年數(shù)) 公積金貸款月利率(‰) 商業(yè)性貸款月利率(‰) …… 11 12 13 14 15 …… …… 4.365 4.455 4.545 4.635 4.725 …… …… 5.025 5.025 5.025 5.025 5.025 …… 汪先生家要購買一套商品房，計劃貸款25萬元，其中公積金貸款10萬元，分十二年還清

15、；商業(yè)貸款15萬元，分十五年還清．每種貸款分別按月等額還款，問： (1)汪先生家每月應還款多少元? (2)在第十二年底汪先生家還清了公積金貸款，如果他想把余下的商業(yè)貸款也一次性還清；那么他家在這個月的還款總數(shù)是多少? (參考數(shù)據(jù)：1.004455144＝1.8966，1.005025144＝2.0581，1.005025180＝2.4651) 講解 設月利率為r，每月還款數(shù)為a元，總貸款數(shù)為A元，還款期限為n月　　第1月末欠款數(shù)　A(1＋r)－a　　第2月末欠款數(shù)　[A(1＋r)－a](1＋r)－a＝ A(1＋r)2－a (1＋r)－a 第3月末欠款數(shù)　[A(1＋

16、r)2－a (1＋r)－a](1＋r)－a＝A(1＋r)3－a (1＋r)2－a(1＋r)－a……　　第n月末欠款數(shù)　 得： 　　對于12年期的10萬元貸款，n＝144，r＝4.455‰∴ 　　對于15年期的15萬元貸款，n＝180，r＝5.025‰∴ 　　由此可知，汪先生家前12年每月還款942.37＋1268.22＝2210.59元，后3年每月還款1268.22元． 　　(2)至12年末，汪先生家按計劃還款以后還欠商業(yè)貸款 　　其中A＝150000，a＝1268.22，r＝5.025‰∴X＝41669.53 再加上當月的計劃還款數(shù)2210.59元，當月共還款4388

17、0.12元． 需要提及的是，本題的計算如果不許用計算器，就要用到二項展開式進行估算，這在2002年全國高考第（12）題中得到考查. 例11 醫(yī)學上為研究傳染病傳播中病毒細胞的發(fā)展規(guī)律及其預防，將病毒細胞注入一只小白鼠體內(nèi)進行實驗，經(jīng)檢測，病毒細胞的增長數(shù)與天數(shù)的關系記錄如下表. 已知該種病毒細胞在小白鼠體內(nèi)的個數(shù)超過108的時候小白鼠將死亡．但注射某種藥物，將可殺死其體內(nèi)該病毒細胞的98%． （1）為了使小白鼠在實驗過程中不死亡，第一次最遲應在何時注射該種藥物？（精確到天） （2）第二次最遲應在何時注射該種藥物，才能維持小白鼠的生命？（精確到天） 天數(shù)t 病毒細胞總數(shù)N 1

18、 2 3 4 5 6 7 … 1 2 4 8 16 32 64 … 已知：lg2=0.3010． 講解 （1）由題意病毒細胞關于時間n的函數(shù)為, 則由 兩邊取對數(shù)得 n27.5, 即第一次最遲應在第27天注射該種藥物. （2）由題意注入藥物后小白鼠體內(nèi)剩余的病毒細胞為, 再經(jīng)過x天后小白鼠體內(nèi)病毒細胞為, 由題意≤108，兩邊取對數(shù)得 ， 故再經(jīng)過6天必須注射藥物，即第二次應在第33天注射藥物． 本題反映的解題技巧是“兩邊取對數(shù)”，這對實施指數(shù)運算是很有效的. 例12有一個受到污染的湖泊，其湖水

19、的容積為V立方米，每天流出湖泊的水量都是r立方米，現(xiàn)假設下雨和蒸發(fā)正好平衡，且污染物質與湖水能很好地混合，用g(t)表示某一時刻t每立方米湖水所含污染物質的克數(shù)，我們稱為在時刻t時的湖水污染質量分數(shù)，已知目前污染源以每天p克的污染物質污染湖水，湖水污染質量分數(shù)滿足關系式g(t)= +［g(0)- ］·e(p≥0),其中，g(0)是湖水污染的初始質量分數(shù). （1）當湖水污染質量分數(shù)為常數(shù)時，求湖水污染的初始質量分數(shù)； （2）求證：當g(0)< 時，湖泊的污染程度將越來越嚴重； （3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要經(jīng)過多少天才能使湖水的污染水平下降到開始時污染水平的5

20、%？ 講解（1）∵g(t)為常數(shù), 有g(0)-=0,∴g(0)= . (2) 我們易證得0e, ∴g(t1)