中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 解答重難點(diǎn)題型突破 題型一 簡(jiǎn)單幾何圖形的證明與計(jì)算試題.doc

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專題二　解答重難點(diǎn)題型突破 題型一　簡(jiǎn)單幾何圖形的證明與計(jì)算 類型一　特殊四邊形的探究 1．(xx開封模擬)如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90，∠B＝60，以邊AC上一點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作⊙O，⊙O恰好經(jīng)過邊BC的中點(diǎn)D，并與邊AC相交于另一點(diǎn)F. (1)求證：BD是⊙O的切線； (2)若BC＝2，E是半圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE、AD、DE. 填空： ①當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度是__________時(shí)，四邊形ABDE是菱形； ②當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度是__________時(shí)，△ADE是直角三角形. 2．(xx商丘模擬)如圖，已知⊙O的半徑為1，AC是⊙O的直徑，過點(diǎn)C作⊙O的切線BC，E是BC的中點(diǎn)，AB交⊙O于D點(diǎn)． (1)直接寫出ED和EC的數(shù)量關(guān)系：； (2)DE是⊙O的切線嗎？若是，給出證明；若不是，說明理由； (3)填空：當(dāng)BC＝__________時(shí)，四邊形AOED是平行四邊形，同時(shí)以點(diǎn)O、D、E、C為頂點(diǎn)的四邊形是__________. 3．如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60，BC＝5 cm，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AD以1 cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以2 cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)． (1)連接EF，當(dāng)EF經(jīng)過BD邊的中點(diǎn)G時(shí)，求證：△DGE≌△BGF； (2)填空： ①當(dāng)t為__________s時(shí)，△ACE的面積是△FCE的面積的2倍； ②當(dāng)t為__________s時(shí)，四邊形ACFE是菱形. 4．(xx新鄉(xiāng)模擬)如圖，AC是?ABCD的一條對(duì)角線，過AC中點(diǎn)O的直線分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn). (1)求證：AE＝CF； (2)連接AF，CE. ①當(dāng)EF和AC滿足條件__________時(shí)，四邊形AFCE是菱形； ②若AB＝1，BC＝2，∠B＝60，則四邊形AFCE為矩形時(shí)，EF的長(zhǎng)是__________． 類型二　幾何問題的證明與計(jì)算 1．(xx周口模擬)如圖，AB為⊙O的直徑，F(xiàn)為弦AC的中點(diǎn)，連接OF并延長(zhǎng)交弧AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E. (1)求證：AC∥DE； (2)連接CD，若OA＝AE＝2時(shí)，求出四邊形ACDE的面積． 2．(xx湘潭)如圖，在?ABCD中，DE＝CE，連接AE并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F. (1)求證：△ADE≌△FCE； (2)若AB＝2BC，∠F＝36.求∠B的度數(shù). 3．(xx山西)如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB為⊙O的直徑，OD⊥AB，與AC交于點(diǎn)E，與過點(diǎn)C的⊙O的切線交于點(diǎn)D. (1)若AC＝4，BC＝2，求OE的長(zhǎng)． (2)試判斷∠A與∠CDE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由. 4．(xx杭州)如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)G在對(duì)角線BD上(不與點(diǎn)B，D重合)，GE⊥DC于點(diǎn)E，GF⊥BC于點(diǎn)F，連接AG. (1)寫出線段AG，GE，GF長(zhǎng)度之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由； (2)若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，∠AGF＝105，求線段BG的長(zhǎng). 題型一　簡(jiǎn)單幾何圖形的證明與計(jì)算 類型一　特殊四邊形的探究 1．(1)證明：連接OD，如解圖， ∵∠BAC＝90，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)， ∴DB＝DA＝DC， ∵∠B＝60，∴△ABD為等邊三角形， ∴∠DAB＝∠ADB＝60，∠DAC＝∠C＝30，而OA＝OD， ∴∠ODA＝∠OAD＝30， ∴∠ODB＝60＋30＝90， ∴OD⊥BC，又∵OD是⊙O的半徑， ∴BD是⊙O的切線； (2)解：①連接OD、OE，∵△ABD為等邊三角形， ∴AB＝BD＝AD＝CD＝， 在Rt△ODC中，OD＝CD＝1， 當(dāng)DE∥AB時(shí)，DE⊥AC，∴AD＝AE， ∵∠ADE＝∠BAD＝60， ∴△ADE為等邊三角形， ∴AD＝AE＝DE，∠ADE＝60，∴∠AOE＝2∠ADE＝120，∴AB＝BD＝DE＝AE， ∴四邊形ABDE為菱形， 此時(shí)，的長(zhǎng)度＝＝π， ②當(dāng)∠ADE＝90時(shí)，AE為直徑，點(diǎn)E與點(diǎn)F重合，此時(shí)的長(zhǎng)度＝＝π， 當(dāng)∠DAE＝90時(shí)，DE為直徑，∠AOE＝2∠ADE＝60，此時(shí)的長(zhǎng)度＝＝π， 所以當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為π或π時(shí)，△ADE是直角三角形. 2．解：(1)連接CD，如解圖， ∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC＝90， ∵E是BC的中點(diǎn)， ∴DE＝CE； (2)DE是⊙O的切線．理由如下： 連接OD，如解圖， ∵BC為切線，∴OC⊥BC， ∴∠OCB＝90，即∠2＋∠4＝90， ∵OC＝OD，ED＝EC，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90，即∠ODE＝90，∴OD⊥DE， ∴DE是⊙O的切線； (3)當(dāng)BC＝2時(shí)， ∵CA＝CB＝2，∴△ACB為等腰直角三角形，∴∠B＝45， ∴△BCD為等腰直角三角形，∴DE⊥BC，DE＝BC＝1， ∵OA＝DE＝1，AO∥DE，∴四邊形AOED是平行四邊形； ∵OD＝OC＝CE＝DE＝1，∠OCE＝90， ∴四邊形OCED為正方形. 3．(1)證明：∵G為BD的中點(diǎn)， ∴BG＝DG， ∵四邊形ABCD是菱形， ∴AD∥BC， ∴∠EDG＝∠FBG，∠GED＝∠GFB， ∴△DGE≌△BGF(AAS)； (2)解：①分兩種情況考慮：當(dāng)點(diǎn)F在線段BC上時(shí)，如解圖①，連接AC，EC，設(shè)菱形ABCD邊BC上的高為h，由題意知S△ACE＝AEh，S△FCE＝CFh，∵△ACE的面積是△FCE的面積的2倍，∴AEh＝2CFh，∴AE＝2CF，∵AE＝t，CF＝5－2t，∴t＝2(5－2t)，解得t＝2；當(dāng)點(diǎn)F在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如解圖②，連接AC，EC，AE＝t，CF＝2t－5，∵△ACE的面積是△FCE的面積的2倍，∴AE＝2CF，∴t＝2(2t－5)，解得t＝； ②∵四邊形ABCD為菱形，∴AB＝BC，∵∠ABC＝60，∴△ABC為等邊三角形，∴AC＝AB＝5，當(dāng)四邊形ACFE為菱形時(shí)，則AE＝AC＝CF＝5，即t＝5. 4．(1)證明：∵AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO. ∵O是AC的中點(diǎn)，∴OA＝OC， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF(ASA)． ∴AE＝CF. (2)解：①當(dāng)EF和AC滿足條件EF⊥AC時(shí)，四邊形AFCE是菱形； 如解圖所示， ∵AE∥CF，AE＝CF， ∴四邊形AFCE是平行四邊形， 又∵EF⊥AC，∴四邊形AFCE是菱形； ②若四邊形AFCE為矩形， 則EF＝AC，∠AFB＝∠AFC＝90， ∵AB＝1，BC＝2，∠B＝60，∴∠BAF＝30， ∴BF＝AB＝， ∴AF＝BF＝，CF＝2－＝， ∴AC＝＝＝， ∴EF＝. 類型二　幾何問題的證明與計(jì)算 1．證明：(1)∵F為弦AC的中點(diǎn)， ∴AF＝CF，∴OD⊥AC， ∵DE切⊙O于點(diǎn)D，∴OD⊥DE， ∴AC∥DE； (2)∵AC∥DE，且OA＝AE， ∴F為OD的中點(diǎn)，即OF＝FD， 又∵AF＝CF， ∠AFO＝∠CFD， ∴△AFO≌△CFD(SAS)，∴S△AFO＝S△CFD，∴S四邊形ACDE＝S△ODE. 在Rt△ODE中，OD＝OA＝AE＝2， ∴OE＝4， ∴DE＝＝＝2， ∴S四邊形ACDE＝S△ODE＝ODDE＝22＝2. 2．(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠D＝∠ECF， 在△ADE和△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE(ASA)； (2)解：∵△ADE≌△FCE，∴AD＝FC， ∵AD＝BC，AB＝2BC，∴AB＝FB， ∴∠BAF＝∠F＝36，∴∠B＝180－236＝108. 3．解：(1)∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝2， ∴OA＝AB＝， ∵OD⊥AB， ∴∠AOE＝∠ACB＝90， 又∵∠A＝∠A， ∴△AOE∽△ACB， ∴＝，即＝， 解得：OE＝； (2) ∠CDE＝2∠A，理由如下：連接OC，如解圖所示： ∵OA＝OC，∴∠1＝∠A， ∵CD是⊙O的切線，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90， ∴∠2＋∠CDE＝90， ∵OD⊥AB，∴∠2＋∠3＝90，∴∠3＝∠CDE， ∵∠3＝∠A＋∠1＝2∠A， ∴∠CDE＝2∠A. 4．解：(1)結(jié)論：AG2＝GE2＋GF2. 理由：如解圖，連接CG. ∵四邊形ABCD是正方形，∴A、C關(guān)于對(duì)角線BD對(duì)稱， ∵點(diǎn)G在BD上，∴GA＝GC， ∵GE⊥DC于點(diǎn)E，GF⊥BC于點(diǎn)F， ∴∠GEC＝∠ECF＝∠CFG＝90， ∴四邊形EGFC是矩形，∴CF＝GE， 在Rt△GFC中，∵CG2＝GF2＋CF2，∴AG2＝GF2＋GE2； (2)如解圖，作AH⊥BG于點(diǎn)H， 由題意得∠AGB＝60，∠ABH＝45，∴△ABH是等腰直角三角形， ∵AB＝1，∴AH＝BH＝，HG＝，∴BG＝.