高二數(shù)學(xué)必修4 任意角的三角函數(shù)（二） 課件

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1、abrOMP1.2 任意角的三角函數(shù)任意角的三角函數(shù)1. .（回憶）銳角三角函數(shù)（直角三角形中）（回憶）銳角三角函數(shù)（直角三角形中） abrarbtancossin2. .銳角三角函數(shù)（直角坐標(biāo)系中）銳角三角函數(shù)（直角坐標(biāo)系中）使銳角使銳角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的正半軸重合軸的正半軸重合.xabrarbtancossinxy),(baabrOMP的終邊上任取一點(diǎn)的終邊上任取一點(diǎn)它與原點(diǎn)的距離它與原點(diǎn)的距離),(bap022bar，.在在OMPxy),(ba0M0P. .思思 考考改變終邊上點(diǎn)改變終邊上點(diǎn)的位置，這些比值的位置，這些比值P會(huì)發(fā)生改變嗎？會(huì)發(fā)生改變嗎？這

2、三個(gè)比值不發(fā)生改變這三個(gè)比值不發(fā)生改變. .改變終邊上點(diǎn)改變終邊上點(diǎn)的位置，的位置，P提示：由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比值相等，可知提示：由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比值相等，可知思思 考考是否能通過是否能通過r取特殊值將表達(dá)式簡(jiǎn)化呢？取特殊值將表達(dá)式簡(jiǎn)化呢？提示：提示：. 1r取取即使點(diǎn)即使點(diǎn) 到原點(diǎn)距離為到原點(diǎn)距離為1.PabOMMPaOPOMbOPMPtancossin以原點(diǎn)以原點(diǎn)O為為圓心，以單位圓心，以單位長(zhǎng)度為半徑的圓，稱為單位圓長(zhǎng)度為半徑的圓，稱為單位圓. 3.銳角三角函數(shù)（在單位圓中）銳角三角函數(shù)（在單位圓中）那么這樣的點(diǎn)的軌跡是什么呢？那么這樣的點(diǎn)的軌跡是什么呢？MyoP),(bax1

3、4.用單位圓定義任意角的三角函數(shù)用單位圓定義任意角的三角函數(shù))0 , 1 (AxyoP),(yx的終邊設(shè)設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于一點(diǎn)與單位圓交于一點(diǎn)),(yxp，那么那么（）（）ysinxy叫做叫做的正切，記作的正切，記作tan，即即（）（）)0(tanxxy（）（）xcosx叫做叫做cos，即，即的余弦，記作的余弦，記作y叫做叫做的正弦，記作的正弦，記作sin，即，即正弦、余弦、正切都是以正弦、余弦、正切都是以角角為自變量，以單位圓上的點(diǎn)的為自變量，以單位圓上的點(diǎn)的坐坐或坐標(biāo)的比值或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們將它們統(tǒng)稱為為函數(shù)值的函數(shù)，我們將它們統(tǒng)稱為三

4、角函數(shù)三角函數(shù).標(biāo)標(biāo))0 , 1 (AxyoP),(yx的終邊說說 明明（1）正弦就是交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，余弦就是交點(diǎn)）正弦就是交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，余弦就是交點(diǎn)橫坐標(biāo)的比值橫坐標(biāo)的比值. .的橫坐標(biāo)，的橫坐標(biāo)， 正切就是正切就是 交點(diǎn)的縱坐標(biāo)與交點(diǎn)的縱坐標(biāo)與（3）由于角的集合與實(shí)數(shù)集之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，）由于角的集合與實(shí)數(shù)集之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，三角函數(shù)可以看成是自變量為實(shí)數(shù)的函數(shù)三角函數(shù)可以看成是自變量為實(shí)數(shù)的函數(shù). .（2） 正弦、余弦總有意義正弦、余弦總有意義.當(dāng)當(dāng) 的終邊在的終邊在 y橫坐標(biāo)等于橫坐標(biāo)等于0， xytan無意義，此時(shí)無意義，此時(shí) )(2zkk軸上時(shí)，點(diǎn)軸上時(shí)，點(diǎn)P 的的直

5、角三角形中定義銳角三角函數(shù) abrarbtan,cos,sin直角坐標(biāo)系中定義銳角三角函數(shù) abrarbtan,cos,sin單位圓中定義銳角三角函數(shù) ababtan,cos,sin單位圓中定義任意角的三角函數(shù) ,sinyxcosxytan,任意角的三角函數(shù)的定義過程：任意角的三角函數(shù)的定義過程：AB)0 , 1 (例例1 求求 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值 35練習(xí)：將題目中的練習(xí)：將題目中的35改為改為67呢？呢？yox解：在直角坐標(biāo)系中，解：在直角坐標(biāo)系中，所以所以 335tan,2135cos,2335sin353367tan,2367cos,2167sin，易知，易知 A

6、OB與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為 的終邊的終邊)23,21(.35AOB作作例例2 已知角已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)的終邊經(jīng)過點(diǎn)，求角，求角的正弦、的正弦、余弦和正切值余弦和正切值.)4, 3(0P則則yMPPM , 400 xOMOM , 3,0OMP00POMysinxcosxytan于是，于是，OPMPy1000OPPM;54OPOMx100OPOM;53.34),(yxPyox)4, 3(0P. .解：由已知得解：由已知得5)4()3(220OP設(shè)角設(shè)角的終邊與單位圓交于點(diǎn)的終邊與單位圓交于點(diǎn)P),(yx，0MM0P分別過點(diǎn)分別過點(diǎn)作作軸的垂線軸的垂線PxMP、00PM練習(xí)：將點(diǎn)練

7、習(xí)：將點(diǎn)改為改為呢？呢？0P)3, 1(. 3tan,21cos,23sin).0(tan,cos,sin2222xxyyxxyxy 終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)也可以定義角的三角函數(shù)，終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)也可以定義角的三角函數(shù)，并且三角函數(shù)值僅與角并且三角函數(shù)值僅與角有關(guān)，與點(diǎn)有關(guān)，與點(diǎn) 在終邊上的位置在終邊上的位置用角用角 無關(guān)無關(guān).P如果將點(diǎn)如果將點(diǎn) 改為改為 ),(yxP呢？呢？0P思 考5.利用角的終邊上任意一點(diǎn)定義角的三角函數(shù)利用角的終邊上任意一點(diǎn)定義角的三角函數(shù)三角函數(shù)三角函數(shù)定義域定義域sincostan)(2ZkkRR2.確定三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)確定三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)yxo

8、sinyxocosyxotan+（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）+歸納：歸納： 一全正、二正弦、三正切、四余弦一全正、二正弦、三正切、四余弦. .1.根據(jù)三角函數(shù)的定義，確定它們的定義域根據(jù)三角函數(shù)的定義，確定它們的定義域（弧度制）（弧度制）探探究究例例3 確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)：確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)：（1）250cos（2） )4sin(（3） 3tan解：（解：（1）因?yàn)椋┮驗(yàn)?250是第三象限角，是第三象限角， （2） 因?yàn)橐驗(yàn)?4 是第四象限角，所以是第四象限角，所以 0)4sin(（3）因?yàn)椋┮驗(yàn)?tan)2tan(3tan，而，而 的終邊在的

9、終邊在x軸上，所以軸上，所以 0tan0250cos所以所以 我們證明如果我們證明如果式都成立，那么式都成立，那么為第三象限角為第三象限角.例例4 求證：當(dāng)且僅當(dāng)下列不等式組成立時(shí)，角求證：當(dāng)且僅當(dāng)下列不等式組成立時(shí)，角為第三象限角為第三象限角. .0tan 0sin0sin 因?yàn)橐驗(yàn)槭绞?所以所以 角的終邊可能位于第三或第四象限，角的終邊可能位于第三或第四象限， 也可能位于也可能位于y軸的非正半軸上；軸的非正半軸上； 因?yàn)橐驗(yàn)槭蕉汲闪?，式都成立?所以所以 角的終邊只能位于第三象限，角的終邊只能位于第三象限， 為第三象限角為第三象限角.又因?yàn)橛忠驗(yàn)?式式 0tan成立，成立， 所以所以 或第

10、三象限或第三象限.角的終邊可能位于第一角的終邊可能位于第一為第三象限角時(shí)，不等式顯然成立為第三象限角時(shí)，不等式顯然成立.當(dāng)當(dāng)證明：證明：公式一：終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等公式一：終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等. .tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(kkk其中其中Zk 作用：利用公式一，可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求作用：利用公式一，可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求到到02)3600(到或角的三角函數(shù)值角的三角函數(shù)值. .練習(xí)練習(xí)求證：當(dāng)且僅當(dāng)下列不等式組成立時(shí)，求證：當(dāng)且僅當(dāng)下列不等式組成立時(shí)，為第二象限角為第二象限角.0tan0sin角角與與終邊相同

11、的角終邊相同的角 可以表示為可以表示為 )(Zk， 那么終邊相同的角的同一三角函數(shù)值有何關(guān)系？那么終邊相同的角的同一三角函數(shù)值有何關(guān)系？ 思思 考考2 k例例5 求下列三角函數(shù)值：求下列三角函數(shù)值： 780sin49cos)611tan(（1）；（；（2）（3）224cos)24cos(49cos（2）336tan6tan)26tan()611tan(（3）解：（解：（1） )360260sin(780sin60sin23練習(xí)練習(xí)：求下列三角函數(shù)值：求下列三角函數(shù)值. .625cos)3()1050sin()2(319tan)1()3()21()23(小結(jié)：小結(jié)：（1）任意角的三角函數(shù)的定義；）任意角的三角函數(shù)的定義；（2）三角函數(shù)的定義域與三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)；）三角函數(shù)的定義域與三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)；（3）公式一及其應(yīng)用；）公式一及其應(yīng)用；作業(yè)：作業(yè)：課本第課本第23頁，習(xí)題頁，習(xí)題1.2 A組第組第1、2、9題題. .（4）體會(huì)定義過程中體現(xiàn)的數(shù)形結(jié)合的思想）體會(huì)定義過程中體現(xiàn)的數(shù)形結(jié)合的思想.