高中數(shù)學 第二章 推理與證明 2.3 數(shù)學歸納法學案 蘇教版選修2-2.doc

《高中數(shù)學 第二章 推理與證明 2.3 數(shù)學歸納法學案 蘇教版選修2-2.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高中數(shù)學 第二章 推理與證明 2.3 數(shù)學歸納法學案 蘇教版選修2-2.doc（5頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

2.3　數(shù)學歸納法 學習目標 重點難點 1．了解數(shù)學歸納法的原理． 2．能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題. 重點：數(shù)學歸納法的原理． 難點：數(shù)學歸納法的應用. 數(shù)學歸納法 一般地，對于某些與正整數(shù)有關的數(shù)學命題，我們有__________公理： 如果(1)當n取第一個值__________時結論正確； (2)假設當________(k∈N*，且k≥n0)時__________，證明當__________時結論也正確． 那么，命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都成立． 預習交流1 做一做：用數(shù)學歸納法證明1＋2＋3＋…＋n＝(n∈N*)，從k到k＋1時，左端增加的式子為________． 預習交流2 用數(shù)學歸納法應注意哪些步驟？ 在預習中還有哪些問題需要你在聽課時加以關注？請在下列表格中做個備忘吧！ 我的學困點 我的學疑點 答案： 預習導引 數(shù)學歸納法　(1)n0(例如n0＝1,2等)　(2)n＝k 結論正確　n＝k＋1 預習交流1：提示：k＋1 預習交流2：提示：兩個步驟缺一不可，只完成步驟(1)而缺少步驟(2)，就作出判斷可能得出不正確的結論．因為單靠步驟(1)無法遞推下去，即n取n0以后的數(shù)時命題是否正確，我們無法判定．同樣，只有步驟(2)而缺少步驟(1)，也可能得出不正確的結論，缺少步驟(1)這個基礎，假設就失去了成立的前提，步驟(2)也就沒有意義了． 用數(shù)學歸納法證明有關問題的關鍵在于第二步，即n＝k＋1時為什么成立．n＝k＋1時成立是利用假設n＝k時成立，根據(jù)有關的定理、定義、公式、性質等數(shù)學結論推證出n＝k＋1時成立，而不是直接代入，否則n＝k＋1時也成假設了，命題并沒有得到證明． 用數(shù)學歸納法可證明有關的正整數(shù)問題，但并不是所有的正整數(shù)問題都可用數(shù)學歸納法證明，學習時要具體問題具體分析． 一、用數(shù)學歸納法證明等式或不等式 證明12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)． 思路分析：用數(shù)學歸納法證明等式時要注意等式兩邊的項數(shù)隨n怎樣變化，即由n＝k到n＝k＋1時，左右兩邊各增添哪些項． 用數(shù)學歸納法證明： ＋＋…＋＝＋＋…＋. 可用數(shù)學歸納法來證明關于自然數(shù)n的恒等式，證明時兩步缺一不可，第一步必須驗證，證明n＝k＋1時成立，必須用到假設n＝k成立的結論． 二、用數(shù)學歸納法證明幾何問題 有n個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，并且每三個圓都不相交于同一點，求證：這n個圓把平面分成f(n)＝n2－n＋2個部分． 思路分析：由k到k＋1時，研究第k＋1個圓與其他k個圓的交點個數(shù)問題． 證明：凸n邊形的對角線的條數(shù)f(n)＝n(n－3)(n≥4)． (1)幾何問題常常是先探索出滿足條件的公式，然后加以證明，探索的方法是由特殊猜出一般結論． (2)關鍵步驟的證明可以先用f(k＋1)－f(k)得出結果，再結合圖形給予嚴謹?shù)恼f明． (3)幾何問題的證明一要注意數(shù)形結合，二要注意要有必要的文字說明． 三、歸納—猜想—證明 已知等差數(shù)列{an}，等比數(shù)列{bn}，且a1＝b1，a2＝b2(a1≠a2)，an＞0(n∈N*)． (1)比較a3與b3，a4與b4的大小，并猜想an與bn(n≥3)的大小關系； (2)用數(shù)學歸納法證明猜想的正確性． 思路分析：數(shù)列的通項公式應注意由n＝k到n＝k＋1時的變化情況，增加哪些項是難點，注意觀察尋找規(guī)律． 數(shù)列{an}滿足Sn＝2n－an，n∈N*. (1)計算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項公式an； (2)用數(shù)學歸納法證明(1)中的猜想． 觀察、歸納、猜想、證明是一個完整的思維過程，既需要探求和發(fā)現(xiàn)結論，又需要證明所得結論的正確性，是一種十分重要的思維方法．觀察特殊事例時要細，要注意所研討特殊事例的特征及相互關系，關系不明時應適當變形，由觀察、歸納、猜想得到的結論，可能是正確的也可能是錯誤的，需要由數(shù)學歸納法證明． 1．設f(n)＝1＋＋＋＋…＋，則f(k＋1)－f(k)＝________. 2．用數(shù)學歸納法證明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(n∈N*，a≠1)，在驗證n＝1成立時，左邊所得的項為__________． 3．已知數(shù)列，，，…，，…的前n項和為Sn，計算得S1＝，S2＝，S3＝，…，由此可猜測Sn＝________. 4．平面內(nèi)原有k條直線，它們的交點個數(shù)為f(k)，則增加一條直線后，它們的交點個數(shù)最多為________． 5．求證：＋＋…＋＞(n≥2，n∈N*)． 提示：用最精練的語言把你當堂掌握的核心知識的精華部分和基本技能的要領部分寫下來并進行識記. 知識精華 技能要領 答案： 活動與探究1：證明：(1)當n＝1時，左邊＝12－22＝－3， 右邊＝－1(21＋1)＝－3， ∴左邊＝右邊，等式成立． (2)假設當n＝k時等式成立， 即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)成立． 則當n＝k＋1時， 左邊＝12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋[2(k＋1)－1]2－[2(k＋1)]2 ＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2 ＝(2k＋1)(k＋1)－4(k＋1)2 ＝(k＋1)[2k＋1－4(k＋1)]＝(k＋1)(－2k－3) ＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]＝右邊， ∴當n＝k＋1時，等式成立． 由(1)(2)可知對于任意正整數(shù)n，等式都成立． 遷移與應用： 證明：(1)當n＝1時，左邊＝＝，右邊＝，等式成立． (2)假設當n＝k時，等式成立，即＋＋…＋＝＋＋…＋， 則當n＝k＋1時，＋＋…＋＋ ＝＋＋…＋＋ ＝＋＋…＋＋＋＝＋＋…＋＋＋ ＝＋＋…＋＋， 即當n＝k＋1時，等式成立． 根據(jù)(1)(2)可知，對一切n∈N*，等式成立． 活動與探究2：證明：(1)當n＝1時，即一個圓把平面分成2個部分f(1)＝2，又n＝1時，n2－n＋2＝2， ∴命題成立． (2)假設當n＝k(k≥1)時，命題成立，即k個圓把平面分成f(k)＝k2－k＋2個部分，那么設第k＋1個圓記作⊙O，由題意，它與k個圓中每個圓交于兩點，又無三圓交于同一點，于是它與其他k個圓相交于2k個點．把⊙O分成2k條弧，而每條弧把原區(qū)域分成2部分，因此這個平面的總區(qū)域增加2k個部分，即f(k＋1)＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2.即n＝k＋1時命題成立． 由(1)(2)可知，對任何n∈N*命題均成立． 遷移與應用： 證明：(1)當n＝4時，f(4)＝4(4－3)＝2， 四邊形有兩條對角線，命題成立． (2)假設當n＝k時命題成立，即凸k邊形的對角線的條數(shù)f(k)＝k(k－3)(k≥4)， 當n＝k＋1時，凸k＋1邊形是在k邊形基礎上增加了一邊，增加了一個頂點Ak＋1，增加的對角線是以頂點Ak＋1為一個端點的所有對角線，再加上原k邊形的一邊A1Ak，共增加的對角線條數(shù)(k＋1－3)＋1＝k－1. f(k＋1)＝k(k－3)＋k－1＝(k2－k－2) ＝(k＋1)(k－2)＝(k＋1)[(k＋1)－3]， 故當n＝k＋1時，命題也成立． 由(1)(2)可知，對于n≥4，n∈N*命題都成立． 活動與探究3：(1)解：設a1＝b1＝a，公差為d，公比為q，由a2＝b2，得a＋d＝aq.① ∵a1≠a2，an＞0，∴a＞0，d＞0. 由①，得d＝aq－a，q＝1＋＞1. ∴b3－a3＝aq2－(a＋2d)＝aq2－a－2a(q－1)＝a(q－1)2＞0. ∴b3＞a3. ∵b4－a4＝aq3－(a＋3d)＝a(q－1)(q2＋q－2)＝a(q－1)2(q＋2)＞0， ∴b4＞a4.猜想出bn＞an(n≥3，n∈N*)． (2)證明：①當n＝3時，由(1)可知已證得b3＞a3， ∴n＝3時猜想成立． ②假設當n＝k(n∈N*，k≥3)時，bk＞ak成立． 則當n＝k＋1時，∵bk＋1＝bkq，ak＋1＝ak＋d， ∴bk＋1－ak＋1＝bkq－ak－d＝bk－ak－d ＝(bk－ak)＋－d＝(bk－ak)＋. ∵q＝1＋＞1，且b1＝a＞0， ∴{bn}為遞增數(shù)列．∴bk＞a. ∴bk－a＞0.又bk－ak＞0， ∴(bk－ak)＋＞0. ∴bk＋1－ak＋1＞0.∴bk＋1＞ak＋1. ∴n＝k＋1時，猜想也成立． 由①和②可知，對于n∈N*，n≥3猜想成立． 遷移與應用： (1)解：當n＝1時，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1. 當n＝2時，a1＋a2＝S2＝22－a2，∴a2＝. 當n＝3時，a1＋a2＋a3＝S3＝23－a3，∴a3＝. 當n＝4時，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝24－a4， ∴a4＝.由此猜想an＝(n∈N*)． (2)證明：當n＝1時，a1＝1，結論成立． 假設n＝k時，結論成立，即ak＝，那么n＝k＋1時，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，∴2ak＋1＝2＋ak.∴ak＋1＝＝＝. 這表明n＝k＋1時，結論成立，∴an＝. 當堂檢測 1．＋　2．1＋a＋a2　3．　4.f(k)＋k 5．證明：(1)當n＝2時，左邊＝＋＋＋＞，不等式成立． (2)假設當n＝k(k≥2，k∈N*)時命題成立，即 ＋＋…＋＞， 則當n＝k＋1時，＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋＞＋＞＋＝，所以當n＝k＋1時不等式也成立． 由(1)(2)可知，原不等式對一切n≥2，n∈N*均成立．