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課時(shí)規(guī)范練36 數(shù)學(xué)歸納法
基礎(chǔ)鞏固組
1.如果命題p(n)對(duì)n=k(k∈N+)成立,則它對(duì)n=k+2也成立.若p(n)對(duì)n=2也成立,則下列結(jié)論正確的是( )
A.p(n)對(duì)所有正整數(shù)n都成立
B.p(n)對(duì)所有正偶數(shù)n都成立
C.p(n)對(duì)所有正奇數(shù)n都成立
D.p(n)對(duì)所有自然數(shù)n都成立
2.用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)n是正奇數(shù)時(shí),xn+yn能被x+y整除”,在第二步時(shí),正確的證法是 ( )
A.假設(shè)n=k(k∈N+),證明n=k+1時(shí)命題成立
B.假設(shè)n=k(k是正奇數(shù)),證明n=k+1時(shí)命題成立
C.假設(shè)n=2k+1(k∈N+),證明n=k+1時(shí)命題成立
D.假設(shè)n=k(k是正奇數(shù)),證明n=k+2時(shí)命題成立
3.(2018安徽蚌埠期末,5)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“1n+1+1n+2+…+12n>1324(n>2)”的過(guò)程中,歸納遞推由n=k到n=k+1時(shí),不等式的左邊( )
A.增加了一項(xiàng)12(k+1)
B.增加了兩項(xiàng)12k+1+12(k+1)
C.增加了兩項(xiàng)12k+1+12(k+1),又減少了一項(xiàng)1k+1
D.增加了一項(xiàng)12(k+1),又減少了一項(xiàng)1k+1
4.(2018遼寧遼陽(yáng)期末,6)證明等式12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)6(n∈N+)時(shí),某學(xué)生的證明過(guò)程如下:
(1)當(dāng)n=1時(shí),12=1236,等式成立;
(2)假設(shè)n=k(k∈N+)時(shí),等式成立,
即12+22+32+…+k2=k(k+1)(2k+1)6,則當(dāng)n=k+1時(shí),
12+22+32+…+k2+(k+1)2
=k(k+1)(2k+1)6+(k+1)2
=(k+1)[k(2k+1)+6(k+1)]6
=(k+1)(2k2+7k+6)6
=(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]6,
所以當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立,故原等式成立.
那么上述證明( )
A.全過(guò)程都正確
B.當(dāng)n=1時(shí)驗(yàn)證不正確
C.歸納假設(shè)不正確
D.從n=k到n=k+1的推理不正確
5.(2018遼寧撫順期中,14)用數(shù)學(xué)歸納法證明:“兩兩相交且不共點(diǎn)的n條直線把平面分為f(n)部分,則f(n)=1+n(n+1)2.”證明第二步歸納遞推時(shí),用到f(k+1)=f(k)+ .
6.試證:當(dāng)n∈N+時(shí),f(n)=32n+2-8n-9能被64整除.
7.(2018山東師范大學(xué)附屬中學(xué)期中,18)證明:對(duì)任意的n∈N+,不等式325476…2n+12n>n+1成立.
8.(2018廣東中山一中三模,21)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3,an+1=an2-2nan+2(n∈N+).
(1)求a2,a3,a4的值,并猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式(不需證明);
(2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n≥6時(shí),有Sn<2n成立.
綜合提升組
9.設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù),且f(x)滿足:“當(dāng)f(k)≥k2成立時(shí),總可推出f(k+1)≥(k+1)2成立”.則下列命題總成立的是( )
A.若f(3)≥9成立,則當(dāng)k≥1時(shí),均有f(k)≥k2成立
B.若f(5)≥25成立,則當(dāng)k≤5時(shí),均有f(k)≤k2成立
C.若f(7)<49成立,則當(dāng)k≥8時(shí),均有f(k)
4時(shí),f(n)= (用n表示).
11.(2018遼寧六校協(xié)作體期中,17)是否存在常數(shù)a,b使得等式12+22+…+n2=n(2n+1)(an+b)對(duì)一切正整數(shù)n都成立?若存在,求出a,b值,并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
創(chuàng)新應(yīng)用組
12.(2018河南洛陽(yáng)模擬,18)將正整數(shù)作如下分組:(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),(11,12,13,14,15),(16,17,18,19,20,21),….分別計(jì)算各組包含的正整數(shù)的和如下,
S1=1,
S2=2+3=5,
S3=4+5+6=15,
S4=7+8+9+10=34,
S5=11+12+13+14+15=65,
S6=16+17+18+19+20+21=111,
(1)求S7的值;
(2)由S1,S1+S3,S1+S3+S5,S1+S3+S5+S7的值,試猜測(cè)S1+S3+…+S2n-1的結(jié)果,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.
13.已知函數(shù)f0(x)=sinxx(x>0),設(shè)fn(x)為fn-1(x)的導(dǎo)數(shù),n∈N+.
(1)求2f1π2+π2f2π2的值;
(2)證明:對(duì)任意的n∈N+,等式nfn-1π4+π4fnπ4=22都成立.
參考答案
課時(shí)規(guī)范練36 數(shù)學(xué)歸納法
1.B n=k時(shí)成立,當(dāng)n=2時(shí),n=k+2成立,n為2,4,6,…,故n為所有正偶數(shù).
2.D 相鄰兩個(gè)正奇數(shù)相差2,故D選項(xiàng)正確.
3.C 當(dāng)n=k時(shí),左邊=1k+1+1k+2+…+12k, ①
當(dāng)n=k+1時(shí),左邊=1k+2+1k+3+…+12k+1+12k+2,②
所以增加了兩項(xiàng)12k+1+12(k+1),又減少了一項(xiàng)1k+1,故答案為C.
4.A 考查所給的證明過(guò)程:當(dāng)n=1時(shí)驗(yàn)證是正確的,歸納假設(shè)是正確的,從n=k到n=k+1的推理也是正確的,即證明過(guò)程中不存在任何的問(wèn)題.故選A.
5.k+1 當(dāng)n=k(k≥2)時(shí),有f(k)=1+k(k+1)2,當(dāng)n=k+1時(shí),f(k+1)=1+(k+1)(k+2)2,
∴從k到k+1左端需增加的代數(shù)式1+(k+1)(k+2)2-1-k(k+1)2=k+12(k+2-k)=k+1,
∴在證明第二步歸納推理的過(guò)程中,用到f(k+1)=f(k)+(k+1).
6.證明 (1)當(dāng)n=1時(shí),f(1)=64,命題顯然成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+,k≥1)時(shí),f(k)=32k+2-8k-9能被64整除,則當(dāng)n=k+1時(shí),f(k+1)=32(k+1)+2-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+98k+99-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+64(k+1),
即f(k+1)=9f(k)+64(k+1),因此當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.
根據(jù)(1)(2)可知,對(duì)于任意n∈N+,命題都成立.
7.證明 ①當(dāng)n=1時(shí),左邊=,右邊=2,因?yàn)?2,所以不等式成立.
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立,即325476…2k+12k>k+1成立.則當(dāng)n=k+1時(shí),
左邊325476…2k+12k2k+32k+2
>k+12k+32k+2=(2k+3)24(k+1)
=4(k+1)2+4(k+1)+14(k+1)
=(k+1)+1+14(k+1)
>(k+1)+1,
所以當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立.
由①②可得不等式恒成立.
8.解 (1)a2=5,a3=7,a4=9,猜想an=2n+1.
(2)Sn=n(3+2n+1)2=n2+2n,下證:n≥6(n∈N+)時(shí)都有2n>n2+2n.
當(dāng)n=6時(shí),26>62+26,即64>48成立;
假設(shè)n=k(k≥6,k∈N+)時(shí),2k>k2+2k成立,
那么當(dāng)n=k+1時(shí),2k+1=22k>2(k2+2k)=k2+2k+k2+2k>k2+2k+3+2k=(k+1)2+2(k+1),即n=k+1時(shí),不等式成立.
故對(duì)于所有的n≥6(n∈N+),都有2n>n2+2n成立.
9.D 對(duì)A,當(dāng)k=1或2時(shí),不一定有f(k)≥k2成立;
對(duì)B,只能得出:對(duì)于任意的k≥5,均有f(k)≥k2成立,不能得出:對(duì)任意的k≤5,均有f(k)≤k2成立;
對(duì)C,若f(7)<49成立不能推出任何結(jié)論;
對(duì)D,∵f(4)=25≥16,∴對(duì)于任意的k≥4,均有f(k)≥k2成立.故選D.
10.5 (n+1)(n-2) f(3)=2,f(4)=f(3)+3=2+3=5,
f(n)=f(3)+3+4+…+(n-1)
=2+3+4+…+(n-1)
=12(n+1)(n-2).
11.解 分別令n=1,2,可得1=3(a+b),5=10(2a+b),解得a=16,b=16.
故猜想等式12+22+…+n2=n(2n+1)(n+1)6對(duì)一切正整數(shù)n都成立.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:
①當(dāng)n=1時(shí),由上面的探求可知等式成立.
②假設(shè)n=k(k∈N+,k≥1)時(shí)猜想成立,即12+22+…+k2=k(2k+1)(k+1)6.
當(dāng)n=k+1時(shí),
12+22+…+k2+(k+1)2=k(2k+1)(k+1)6+(k+1)2
=(k+1)[k(2k+1)+6(k+1)]6
=(k+1)(2k2+7k+6)6
=(k+1)(2k+3)(k+2)6.
所以當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立.
由①②知猜想成立,即存在a=16,b=16使命題成立.
12.解 (1)S7=22+23+24+25+26+27+28=175.
(2)S1=1;S1+S3=16;S1+S3+S5=81;S1+S3+S5+S7=256;
猜測(cè)S1+S3+S5+…+S2n-1=n4.
證明如下:記Mn=S1+S3+S5+…+S2n-1,
①當(dāng)n=1時(shí),猜想成立.
②設(shè)當(dāng)n=k時(shí),命題成立,即Mk=S1+S3+S5+…+S2k-1=k4.
下面證明當(dāng)n=k+1時(shí),猜想也成立.
事實(shí)上,由題設(shè)可知
Sn是由1+2+3+…+(n-1)+1=n(n-1)2+1開始的n個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和.
所以Sn=n(n-1)2+1+n(n-1)2+2+…+n(n-1)2+n=n(n2+1)2,
所以S2k+1=(2k+1)[(2k+1)2+1]2=(2k+1)(2k2+2k+1)=4k3+6k2+4k+1,
從而Mk+1=Mk+S2k+1=k4+4k3+6k2+4k+1=(k+1)4,
所以猜想在n=k+1時(shí)也成立.
綜合(1)(2)可知猜想對(duì)任何n∈N+都成立.
13.(1)解 由已知,得f1(x)=f0(x)=sinxx=cosxx-sinxx2,于是
f2(x)=f1(x)=cosxx-sinxx2
=-sinxx-2cosxx2+2sinxx3,
所以f1π2=-4π2,f2π2=-2π+16π3,
故2f1π2+π2f2π2=-1.
(2)證明 由已知,得xf0(x)=sin x,等式兩邊分別對(duì)x求導(dǎo),得f0(x)+xf0(x)=cos x,即f0(x)+xf1(x)=cos x=sinx+,類似可得,2f1(x)+xf2(x)=-sin x=sin(x+π),3f2(x)+xf3(x)=-cos x=sinx+3π2,4f3(x)+xf4(x)=sin x=sin(x+2π).
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明等式nfn-1(x)+xfn(x)=sinx+nπ2對(duì)所有的x∈N+都成立.
①當(dāng)n=1時(shí),由上可知等式成立.
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),等式成立,即kfk-1(x)+xfk(x)=sinx+kπ2.因?yàn)閇kfk-1(x)+xfk(x)]=kfk-1(x)+fk(x)+xfk(x)=(k+1)fk(x)+xfk+1(x),
sinx+kπ2=cosx+kπ2x+kπ2=sinx+(k+1)π2,所以(k+1)fk(x)+xfk+1(x)=sinx+(k+1)π2.
因此當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立.
綜合①②可知等式nfn-1(x)+xfn(x)=sinx+nπ2對(duì)所有的n∈N+都成立.
令x=π4,可得nfn-1π4+π4fnπ4=sin π4+nπ2(n∈N+),
所以nfn-1π4+π4fnπ4=22(n∈N+).
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