2019-2020年初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專(zhuān)題復(fù)習(xí) 第一篇 代數(shù) 第6章 函數(shù)試題3 新人教版.doc

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2019-2020年初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專(zhuān)題復(fù)習(xí) 第一篇 代數(shù) 第6章 函數(shù)試題3 新人教版 ． 令，則 ，． 當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，此時(shí)有，得． 當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值 ， 此時(shí)，，． 所以，當(dāng)時(shí)，取最小值；當(dāng)時(shí)，取最大值5． 6.5.20★★★ 實(shí)數(shù)、、滿(mǎn)足，求的最小值． 解析 令，則 ， 整理得 ， 因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以 ， 即． 所以． 因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以 ， 所以，得． 當(dāng)時(shí)，，，． 所以，的小最小值為（在，，時(shí)取到）． 評(píng)注 消去成為二元二次多項(xiàng)式，二次使用判別式再消去、，最后得到的范圍，反過(guò)來(lái)，若，則，所以不等式 有實(shí)數(shù)解（存在），所以，所以方程 有實(shí)數(shù)解（存在），所以也存在．至此，是的取值范圍． 6.5.21★★ 求函數(shù) 在上的最小值、最大值． 解析 ． 所以（在，即時(shí)取到），（在，即時(shí)取到）． 評(píng)注 本題利用配方法、換元法將關(guān)于的四次函數(shù)式化為關(guān)于的二次函數(shù)式，代換時(shí)注意的范圍． 6.5.22★★★ (1)求函數(shù)的最小值和最大值； (2)求函數(shù)的最大值． 解析 （1） ，． 所以，（在或4時(shí)取到），（在時(shí)取到）． （2）設(shè)，則，所以 ． 所以，（在即時(shí)取到）． 6.5.23★★ 求函數(shù) 的最小值． 解析 易知定義域?yàn)榛颍? 因?yàn)樵谏线f減，在上遞增，所以在上遞減，在上遞增． 所以， ． 所以，（在時(shí)取到）． 評(píng)注 本題的函數(shù)可看成兩個(gè)函數(shù)的和．而這兩個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性是一致的，利用“單調(diào)性一 致的兩個(gè)函數(shù)的和仍具有相同單調(diào)性”這一性質(zhì)求出各個(gè)單調(diào)區(qū)間上的最小值，再比較得出結(jié)論． 6.5.24★★ 求函數(shù) 的最小值和最大值． 解析 先求定義域．由 得． ，． 當(dāng)，且增加時(shí)，增大，而減小，于是是隨著的增加而減小，即在區(qū)間上是減函數(shù)．所以 ， ． 6.5.25★★★ 已知實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足，求 的最小值和最大值． 解析 因?yàn)?，所? ， 又當(dāng)時(shí)，，故． 又因?yàn)? ， ① 所以，又當(dāng)，時(shí)，．所以 評(píng)注 1．本題所用的方法是不等式法．先用不等式估計(jì)出的上、下界，再舉例說(shuō)明所得的上、下界是可以達(dá)到的，從而這就是所要求的最大值和最小值． 2．式①這個(gè)不等式大家經(jīng)常忽略，其實(shí)我們可以利用不等式 來(lái)解決與之間的上、下界關(guān)系． 6.5.26★★ 設(shè)是正實(shí)數(shù)，求函數(shù)的最小值． 解析 先估計(jì)的下界． ， 又當(dāng)時(shí)，，所以，的最小值為1． 評(píng)注 在求最小(大)值，估計(jì)了下(上)界后，一定要舉例說(shuō)明這個(gè)界是能取到的，才能說(shuō)這就是最小(大)值，否則就不一定對(duì)了．例如，本題我們也可以這樣估計(jì)： ， 但無(wú)論取什么值時(shí)，取不到－3，即－3不能作為的最小值． 6.5.27★★ 設(shè)、是實(shí)數(shù)，求的最小值． 解析 先將看作是的二次函數(shù)(把看作常數(shù))，進(jìn)行配方后，再把余下的關(guān)于的代數(shù)式寫(xiě)成的二次函數(shù)，再配方后，便可估計(jì)出下界來(lái)． ， 又當(dāng)，時(shí)，，所以，的最小值為－1． 6.5.28★★ 對(duì)實(shí)數(shù)、，求代數(shù)式的最小值． 解析 因?yàn)? ， 當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，故所求的最小值為． 6.5.29★★ 若是實(shí)數(shù)，求的最大值． 解析 由得，．設(shè)，則 ， ， ， 所以，，故，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．所以，最大值為． 6.5.30★★ 已知實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足等式，求的最大值和最小值． 解析 令，則，于是有 ． 因?yàn)?，所以上述關(guān)于的二次方程有實(shí)數(shù)解，從而推知 ， 即． 當(dāng)時(shí)，代入關(guān)于的方程得 ， 即，． 當(dāng)時(shí)，得 ，． 所以當(dāng)，時(shí)，取得最小值；當(dāng)，時(shí)，取得最大值． 6.5.31★★★ 求函數(shù)的最大值和最小值． 解析 由，得．由 ， 故，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．故的最小值是． 又因?yàn)? ， 故，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．故的最大值是． 評(píng)注 本題求最大值時(shí)用了一個(gè)不等式： ． 6.5.32★★ 若，求的最小值． 解析 設(shè)，則，，，于是，，，把它們相加得， 故，． ， 當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立． 所以，的最小值為－19． 6.5.33★★ 已知，求的最大值和最小值． 解析 令，則，，于是 ，． 所以，當(dāng)，即時(shí)，取最大值；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取最小值2． 6.5.34★★ 已知邊長(zhǎng)為4的正方形截去一個(gè)角后成為五邊形(如圖)，其中，．試在上求一點(diǎn)，使矩形有最大面積． 解析 設(shè)矩形的邊，于是矩形的面積 ，． 易知，，且有 ， 即， 所以， ，． 二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)值是隨的增加而增加，所 以，對(duì)滿(mǎn)足的來(lái)說(shuō)，當(dāng)時(shí)有最大值 ． 6.5.35★★★ 實(shí)數(shù)、、使得對(duì)于所有滿(mǎn)足的實(shí)數(shù)，都有，求的最大值． 解析 不妨設(shè)，用代替，得，不改變它的界和，故設(shè)． 令，由，，可得，． 若，則． 若，則 ， 故． 又當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足題設(shè)條件，且．所以．所以，所求的最大值為300． 6.5.36★★★★ 某環(huán)形道路上順時(shí)針排列有4所中學(xué)、、、，它們順次有彩電15臺(tái)、8臺(tái)、5臺(tái)、12臺(tái)，為使各校的彩電數(shù)相同，允許一些中學(xué)向相鄰中學(xué)調(diào)出彩電，問(wèn)怎樣調(diào)配才能使調(diào)出的彩電總臺(tái)數(shù)最小?并求出調(diào)出彩電的最小總臺(tái)數(shù)． 解析 設(shè)中學(xué)調(diào)給中學(xué)臺(tái)彩電(若為負(fù)數(shù)，則認(rèn)為是中學(xué)向中學(xué)調(diào)出臺(tái)彩電，下同)，中學(xué)凋給中學(xué)臺(tái)彩電，中學(xué)調(diào)給中學(xué)臺(tái)彩電，中學(xué)調(diào)給中學(xué)臺(tái)彩電． 因?yàn)楣灿?0臺(tái)彩電，平均每校10臺(tái)，因此 ，， ，， 即 我們將、、都用來(lái)表示，即得 因此，本題要求的最小值，其中，且為整數(shù)，為方便起見(jiàn)，我們分情況討論如下： 的范圍 的表達(dá)式 最小值及 對(duì)應(yīng)的值 當(dāng)時(shí) 有最小值14 當(dāng)時(shí) 有最小值0 10 當(dāng)時(shí) 取最小值0 無(wú)最小值 由上表可知，當(dāng)時(shí)，取得最小值10． 又由于是正整數(shù)，即當(dāng)，3，4，5時(shí)，有最小值10． 當(dāng)時(shí)，，，； 當(dāng)時(shí)，，，； 當(dāng)時(shí)，，，； 當(dāng)時(shí)，，，． 故有如下四個(gè)方案，且調(diào)出的彩電最小總數(shù)為10． 6.5.37★★ 某人租用一輛汽車(chē)由城前往城，沿途可能經(jīng)過(guò)的城市以及通過(guò)兩城市之間所需的時(shí)間 (單位：)如圖所示．若汽車(chē)行駛的平均速度為，而汽車(chē)每行駛需要的平均費(fèi)用為1.2元，試指出此人從城出發(fā)到城的最短路線(要有推理過(guò)程)，并求出所需費(fèi)用最少為多少元? 解析 從城出發(fā)到達(dá)城的路線分成兩類(lèi)： (1)從城出發(fā)到達(dá)城，經(jīng)過(guò)城． 因?yàn)閺某堑匠撬枳疃虝r(shí)間為，從城到城所需最短時(shí)間，所以，此類(lèi)路線所需最短時(shí)間為 ． (2)從城出發(fā)到達(dá)城，不經(jīng)過(guò)城． 這時(shí)從城到達(dá)城，必定經(jīng)過(guò)、、城或、、城，所需時(shí)間至少為． 綜上，從城到達(dá)城所需的最短時(shí)間為，所走的路線為 ． 所需費(fèi)用最少為80481.2=4608(元)． 6.5.38★★★ 市、市和市分別有某種機(jī)器10臺(tái)、10臺(tái)和8臺(tái)．現(xiàn)在決定把這些機(jī)器支援給市 18臺(tái)，市10臺(tái)．已知：從市調(diào)運(yùn)一臺(tái)機(jī)器到市、市的運(yùn)費(fèi)分別為200元和800元；從市調(diào)運(yùn)一臺(tái)機(jī)器到市、市的運(yùn)費(fèi)分別為300元和700元；從市調(diào)運(yùn)一臺(tái)機(jī)器到市、市的運(yùn)費(fèi)分別為400元和500元． (1)設(shè)從市、市各調(diào)臺(tái)到市，當(dāng)28臺(tái)機(jī)器全部調(diào)運(yùn)完畢后，求總運(yùn)費(fèi)(元)關(guān)于(臺(tái))的函數(shù)式，并求的最小值和最大值； (2)設(shè)從市調(diào)臺(tái)到市，市調(diào)臺(tái)到市，當(dāng)28臺(tái)機(jī)器全部調(diào)運(yùn)完畢后，用、表示總運(yùn)費(fèi) (元)，并求的最小值和最大值． 解析 (1)由題設(shè)知，市、市、市發(fā)往市的機(jī)器臺(tái)數(shù)分別為、、，發(fā)往市的機(jī)器臺(tái)數(shù)分別為、、．于是 ． 又，所以所以 5≤≤9，所以 （5≤≤9，是整數(shù)）． 由上式可知，是隨著的增加而減少的，所以當(dāng)時(shí)，取到最小值10 000元；當(dāng)時(shí)，取到最大值13 200元． (2)由題設(shè)知，市、市、市發(fā)往市的機(jī)器臺(tái)數(shù)分別為、、，發(fā)往市的機(jī)器臺(tái)數(shù)分別為、、．于是 ． 又，所以 所以， 且 、為整數(shù)． ． 當(dāng)，時(shí)，，所以的最小值為9800．又 ， 當(dāng)，時(shí)，，所以的最小值為14200． 6.5.39★★★ 設(shè)，，…，是整數(shù)，并且滿(mǎn)足： （1），1，2，…，； （2）； （3）； 求的最大值和最小值． 解析 設(shè)，，…，中有個(gè)－1，個(gè)1，個(gè)2，由題設(shè)得 可得 所以 故． ， 所以． 又當(dāng)，，時(shí)，；當(dāng)，，時(shí)，，所以的最小值為19，最大值為133． 6.5.40★★★求函數(shù) 的最大值，并求此時(shí)的值，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)． 解析 設(shè)，，則 ， 這里是的小數(shù)部分，． ． 因?yàn)?，所以．故?dāng)，即（是整數(shù)）時(shí)，取最大值． 6.5.41★★ 求的最小值． 解析 在直角坐標(biāo)系中，設(shè)、、，則 ，． 所以，． 當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立． 即當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)原式取最小值． 此時(shí)，如圖，易知，故有， 從而． 故當(dāng)時(shí)，的最小值為10． 6.5.42★★★ 已知實(shí)數(shù)、、滿(mǎn)足，． （1）求、、中的最大者的最小值； （2）求的最小值． 解析 （1）不妨設(shè)．則由題設(shè)知，且 ，． 于是、是一元二次方程 的兩實(shí)根， ， ， ． 所以． 又，時(shí)，滿(mǎn)足題意．故、、中的最大者的最小值為4． （2）因?yàn)椋?、、為全大?或一正二負(fù)． (i)若、、均大于0，則 ； （ii）若、、為一正二負(fù)，設(shè)，則、均小于0． ， 由（1）知，，故．當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立．故的最小值為6． 6.5.43★★★ 整數(shù)，，，…，，滿(mǎn)足條件：，，，…，，求的最小值． 解析 由已知可得， 于是 ， 又，則 ， 即 ． 由為整數(shù)可得是偶數(shù)，比較與的大小，可得 ． 當(dāng)，，，，，…，時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為34． 6.5.44★★★ 設(shè)、、、、是正整數(shù)，且滿(mǎn)足 ， 求的最大值． 解析 由條件等式的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)，由題設(shè)，有 ， 由此得， 即． 若，則，此時(shí)題設(shè)等式成為，矛盾． 若，則，即．當(dāng)時(shí)，容易解得，，是滿(mǎn)足條件的解，即是能達(dá)到的． 所以，的最大值是5． 6.5.45★★★ 實(shí)數(shù)、使得關(guān)于、的方程組 有實(shí)數(shù)解． （1）求證：， （2）求的最小值． 解析 （1）由方程①知，，且，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故． （2）將代入方程②，得 ， 所以． 因方程組有實(shí)數(shù)解，所以方程在或的范圍內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根． （i）當(dāng)，有，或． 即，或． 若，即時(shí)，，由此得，所以 ． 當(dāng)時(shí)，上述不等式等號(hào)成立，此時(shí)． 若，即時(shí)，對(duì)于滿(mǎn)足或的任意實(shí)數(shù)，均有． （ii）當(dāng)時(shí)，則． 綜上，的最小值為． 6.5.46★★★★ 設(shè)函數(shù)定義為 求在區(qū)間上的最大值． 解析 因?yàn)椋? 即． 由定義知．下面證明 ，． （1）若，且是無(wú)理數(shù)，則 ． （2）若，且是有理數(shù)，設(shè)，其中，．由于 ，所以 故， ， 所以， 因此 ． 綜上所述，在區(qū)間上的最大值為． 6.5.47★★★ 關(guān)于、、的方程組 有實(shí)數(shù)解(，，)，求正實(shí)數(shù)的最小值． 解析 由第一個(gè)方程得，進(jìn)而由第二個(gè)方程得 ． 由得 ， 即． 由此可見(jiàn)，開(kāi)口向上的拋物線 經(jīng)過(guò)不在軸上方的點(diǎn)（，），從而該拋物線與軸有公共點(diǎn)． 所以，，即，（因?yàn)椋? 又當(dāng)時(shí)，，，． 所以，的最小值為． 6.5.48★★★★ 設(shè)、、是正整數(shù)，關(guān)于的一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根的絕對(duì)值均小于，求的最小值． 解析 設(shè)方程的兩實(shí)數(shù)根為、，由韋達(dá)定理知，、均為負(fù)數(shù)．由，得，所以，得，故． 又，所以，，故． （1）當(dāng)時(shí)，由，及知，或12，．但方程有根，不合題意；方程的兩根為、，也不合題意． （2）當(dāng)時(shí)，由，及知，11，12，13，14，15，16，．故由 ， 得，易知 （11，12，…，16）為增函數(shù)，，而，故只能為16．此時(shí) ， 而的兩根為滿(mǎn)足題意． （3）當(dāng)時(shí)，，所以，于是 ． 若，只能，，，此時(shí)方程的兩根為，，不合題意，故此時(shí)． 綜上所述，的最小值為25． 6.5.49★★★★ 求滿(mǎn)足下述條件的最小正實(shí)數(shù)：對(duì)任意不小于的4個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)、、、，都存在、、、的一個(gè)排列、、、，使得方程 有4個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)根． 解析 所求最小正實(shí)數(shù)． 一方面，若，取、、、，使得，，，，則對(duì)（，，，）的任意排列（，，，），方程的判別式 ， 該方程無(wú)實(shí)數(shù)根．所以，． 另一方面，設(shè)、、、是不小于4的4個(gè)不同實(shí)數(shù)，不妨設(shè)，考察方程 , ① 和． ② 首先，，，故①、②都有兩個(gè)不同實(shí)根． 其次，若①與②有公共實(shí)根，則 兩式相減，得，這時(shí)，，矛盾．所以，①與②沒(méi)有公共實(shí)根，從而符合要求． 綜上，問(wèn)題的答案為． 6.5.50★★★ 設(shè)、、、、是非負(fù)實(shí)數(shù)，使得 ， 是，，和中的最大值，求的最小值． 解析 由題設(shè)知 ,,, 所以， ， 所以． 又當(dāng)，時(shí)， ． 所以，的最小值為． 評(píng)注 欲求的最小值，先估計(jì)的下界，即找到一個(gè)常數(shù)，使，然后再具體構(gòu)造一個(gè)實(shí)例： ，，，，分別等于什么時(shí)，，這樣的最小值就是． 6.5.51★★★ 已知、、、是正數(shù)，滿(mǎn)足 ． 用表示，，，中的最大者，求的最小值． 解析 顯然， ． 另一方面，當(dāng)時(shí)，．所以的最小值為3． 評(píng)注 本題利用了這樣一個(gè)事實(shí)：個(gè)正數(shù)的最大值不小于它們的算術(shù)平均． 6.5.52★★★★ 一幢33層的大樓有一部電梯停在第一層，它一次最多能容納32人，而且只能在第2層至第33層中的某一層停一次．對(duì)于每個(gè)人來(lái)說(shuō)，他往下走一層樓梯感到1分不滿(mǎn)意，往上走一層樓梯感到3分不滿(mǎn)意．現(xiàn)在有32個(gè)人在第一層，并且他們分別住在第2至第33層的每一層．問(wèn)：電梯停在哪一層，可以使得這32個(gè)人不滿(mǎn)意的總分達(dá)到最小?最小值是多少?(有些人可以不乘電梯而直接從樓梯上樓) 解析 易知，這32個(gè)人恰好是第2至第33層各住1人．對(duì)于每個(gè)乘電梯上、下樓的人，他所住的層數(shù)一定不小于直接上樓的人所住的層數(shù)．事實(shí)上，設(shè)住層的人乘電梯，而住層的人直接上樓，．交換兩人的上樓方式，其余的人不變，則不滿(mǎn)意總分減少． 設(shè)電梯停在第層，在第一層有個(gè)人沒(méi)有乘電梯而直接上樓，那么不滿(mǎn)意總分為 ． 又當(dāng)，時(shí)，． 故當(dāng)電梯停在第27層時(shí)，不滿(mǎn)意總分最小，最小值為316分．