《2019高中數(shù)學 第四章 圓與方程 4.2 直線、圓的位置關系（第1課時）直線與圓的位置關系講義（含解析）新人教A版必修2.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019高中數(shù)學 第四章 圓與方程 4.2 直線、圓的位置關系（第1課時）直線與圓的位置關系講義（含解析）新人教A版必修2.doc（12頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
第1課時 直線與圓的位置關系
[核心必知]
1．預習教材，問題導入
根據(jù)以下提綱，預習教材P126～P128，回答下列問題．
(1)怎樣用幾何法判斷直線與圓的位置關系？
提示：利用圓心到直線的距離d與圓半徑的大小關系判斷它們之間的位置關系，若d>r，直線與圓相離；若d＝r，直線與圓相切；若d
0，即m>0或m<－時，直線與圓相交，即直線與圓有兩個公共點；
當Δ＝0，即m＝0或m＝－時，直線與圓相切，即直線與圓只有一個公共點；
當Δ<0，即－0或m<－時，直線與圓相交，即直線與圓有兩個公共點；
當d＝2，即m＝0或m＝－時，直線與圓相切，即直線與圓只有一個公共點；
當d>2，即－1，
∴點A在圓外．
(1)若所求直線的斜率存在，設切線斜率為k，則切線方程為y＋3＝k(x－4)．因為圓心C(3,1)到切線的距離等于半徑1，
所以＝1，解得k＝－.
所以切線方程為y＋3＝－(x－4)，
即15x＋8y－36＝0.
(2)若切線斜率不存在，圓心C(3,1)到直線x＝4的距離也為1，這時直線與圓也相切，
所以另一條切線方程是x＝4，
綜上，所求切線方程為15x＋8y－36＝0或x＝4.
圓的切線的求法
(1)點在圓上時
求過圓上一點(x0，y0)的圓的切線方程：先求切點與圓心連線的斜率k，再由垂直關系得切線的斜率為－，由點斜式可得切線方程．如果斜率為零或不存在，則由圖形可直接得切線方程x＝x0或y＝y(tǒng)0.
(2)點在圓外時
①幾何法：設切線方程為y－y0＝k(x－x0)．由圓心到直線的距離等于半徑，可求得k，也就得切線方程．
②代數(shù)法：設切線方程為y－y0＝k(x－x0)，與圓的方程聯(lián)立，消去y后得到關于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切線方程．
特別注意：切線的斜率不存在的情況，不要漏解．
練一練
2．求過點(1，－7)且與圓x2＋y2＝25相切的直線方程．
解：由題意知切線斜率存在，設切線的斜率為k，則切線方程為y＋7＝k(x－1)，即kx－y－k－7＝0.
∴＝5.
解得k＝或k＝－.
∴所求切線方程為y＋7＝(x－1)或y＋7＝－(x－1)，
即4x－3y－25＝0或3x＋4y＋25＝0.
講一講
3．直線l經(jīng)過點P(5,5)并且與圓C: x2＋y2＝25相交截得的弦長為4，求l的方程．(鏈接教材P127—例2)
[思路點撥] 設出點斜式方程，利用r、弦心距及弦長的一半構成三角形可求．
[嘗試解答] 據(jù)題意知直線l的斜率存在，設直線l的方程為y－5＝k(x－5)，與圓C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
法一：聯(lián)立方程組
消去y，得(k2＋1)x2＋10k(1－k)x＋25k(k－2)＝0.
由Δ＝[10k(1－k)]2－4(k2＋1)25k(k－2)>0，
解得k>0.又x1＋x2＝－，
x1x2＝，
由斜率公式，得y1－y2＝k(x1－x2)．
∴|AB|＝
＝
＝
＝ ＝4.
兩邊平方，整理得2k2－5k＋2＝0，解得k＝或k＝2符合題意．
故直線l的方程為x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.
法二：如圖所示，|OH|是圓心到直線l的距離，|OA|是圓的半徑，|AH|是弦長|AB|的一半．
在Rt△AHO中，|OA|＝5，|AH|＝|AB|＝4＝2，
則|OH|＝＝.
∴＝，解得k＝或k＝2.
∴直線l的方程為x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.
求直線與圓相交的弦長的兩種方法
(1)幾何法：如圖1，直線l與圓C交于A，B兩點，設弦心距為d，圓的半徑為r，弦長為|AB|，則有2＋d2＝r2，即|AB|＝2.
(2)代數(shù)法：如圖2所示，將直線方程
與圓的方程聯(lián)立，設直線與圓的兩交點分別是A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|
＝
＝|x1－x2|＝ |y1－y2|(直線l的斜率k存在)．
練一練
3．求直線l：3x＋y－6＝0被圓C: x2＋y2－2y－4＝0截得的弦長．
解：法一：由直線l與圓C的方程，
得消去y，得x2－3x＋2＝0.
設兩交點A，B的坐標分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由根與系數(shù)的關系有x1＋x2＝3，x1x2＝2，
|AB|＝
＝
＝＝
＝＝.
∴弦AB的長為.
法二：圓C: x2＋y2－2y－4＝0可化為x2＋(y－1)2＝5.
其圓心坐標為C(0,1)，半徑r＝，點C(0,1)到直線l的距離為d＝＝，
所以半弦長＝＝＝.所以弦長|AB|＝.
————————————[課堂歸納感悟提升]————————————
1．本節(jié)課的重點是理解直線和圓的三種位置關系，會用圓心到直線的距離來判斷直線與圓的位置關系，能解決直線與圓位置關系的綜合問題．難點是解決直線與圓的位置關系．
2．本節(jié)課要重點掌握的規(guī)律方法
(1)直線與圓位置關系的判斷方法，見講1.
(2)求圓的切線的方法，見講2.
(3)求直線與圓相交時弦長的方法，見講3.
3．本節(jié)課的易錯點是在解決直線與圓位置關系問題時易漏掉斜率不存在的情況，如講2、講3.
課下能力提升(二十四)
[學業(yè)水平達標練]
題組1 直線與圓的位置關系
1．直線3x＋4y＋12＝0與圓(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置關系是( )
A．過圓心 B．相切
C．相離 D．相交但不過圓心
解析：選D 圓心(1，－1)到直線3x＋4y＋12＝0的距離d＝＝，0r，即>2，
所以m∈(－2，2)．
題組2 圓的切線問題
4．若直線y＝x＋a與圓x2＋y2＝1相切，則a的值為( )
A. B．
C．1 D．1
解析：選B 由題意得＝1，所以a＝，故選B.
5．圓心為(3,0)且與直線x＋y＝0相切的圓的方程為( )
A．(x－)2＋y2＝1 B．(x－3)2＋y2＝3
C．(x－)2＋y2＝3 D．(x－3)2＋y2＝9
解析：選B 由題意知所求圓的半徑r＝＝，故所求圓的方程為(x－3)2＋y2＝3，故選B.
6．(2015重慶高考)若點P(1,2)在以坐標原點為圓心的圓上，則該圓在點P處的切線方程為________．
解析：設切線斜率為k，則由已知得： kkOP＝－1.
∴k＝－.∴切線方程為x＋2y－5＝0.
答案：x＋2y－5＝0
7．已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，過點P(2，－1)作圓C的切線，切點為A，B.求直線PA，PB的方程．
解：切線的斜率存在，設切線方程為y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.
圓心到直線的距離等于，即＝，
∴k2－6k－7＝0，解得k＝7或k＝－1，
故所求的切線方程為y＋1＝7(x－2)或y＋1＝－(x－2)，
即7x－y－15＝0或x＋y－1＝0.
題組3 圓的弦長問題
8．設A、B為直線y＝x與圓x2＋y2＝1的兩個交點，則|AB|＝( )
A．1 B. C. D．2
解析：選D 直線y＝x過圓x2＋y2＝1的圓心C(0,0)，則|AB|＝2.
9．過點(－1，－2)的直線l被圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦長為，求直線l的方程．
解：由題意，直線與圓要相交，斜率必須存在，設為k.
設直線l的方程為y＋2＝k(x＋1)．
又圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心為(1,1)，半徑為1，所以圓心到直線的距離d＝＝＝.解得k＝1或.
所以直線l的方程為y＋2＝x＋1或y＋2＝(x＋1)，
即x－y－1＝0或17x－7y＋3＝0.
[能力提升綜合練]
1．已知a，b∈R，a2＋b2≠0，則直線l: ax＋by＝0與圓x2＋y2＋ax＋by＝0的位置關系是( )
A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定
解析：選B 聯(lián)立
化簡得x2＋y2＝0，則
即直線l與圓只有一個公共點(0,0)，
因此它們相切，故選B.
2．(2015安徽高考)直線3x＋4y＝b與圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，則b的值是( )
A．－2或12 B．2或－12
C．－2或－12 D．2或12
解析：選D 因為直線3x＋4y＝b與圓心為(1,1)，半徑為1的圓相切，所以＝1?b＝2或12，故選D.
3．(2014浙江高考)已知圓x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直線x＋y＋2＝0所得弦的長度為4，則實數(shù)a的值是( )
A．－2 B．－4 C．－6 D．－8
解析：選B 圓的標準方程為(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，r2＝2－a，則圓心(－1,1)到直線x＋y＋2＝0的距離為＝.由22＋()2＝2－a，得a＝－4.
4．若點P(2，－1)為圓C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中點，則直線AB的方程為( )
A．x＋y－1＝0 B．2x＋y－3＝0
C．2x－y－5＝0 D．x－y－3＝0
解析：選D 圓心是點C(1,0)，由CP⊥AB，得kAB＝1，又直線AB過點P，所以直線AB的方程為x－y－3＝0.
5．過點P(－1,6)且與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝4相切的直線方程是____________________．
解析：當所求直線的斜率存在時，設所求直線的方程為y－6＝k(x＋1)，則d＝＝2，解得k＝，此時，直線方程為： 4y－3x－27＝0；當所求直線的斜率不存在時，所求直線的方程為x＝－1，驗證可知，符合題意．
答案：4y－3x－27＝0或x＝－1
6．直線l: y＝x＋b與曲線C: y＝有兩個公共點，則b的取值范圍是________．
解析：如圖所示，y＝是一個以原點為圓心，長度1為半徑的半圓，y＝x＋b是一個斜率為1的直線，要使兩圖有兩個交點，連接A(－1,0)和B(0,1)，直線l必在AB以上的半圓內平移，直到直線與半圓相切，則可求出兩個臨界位置直線l的b值，當直線l與AB重合時，b＝1；當直線l與半圓相切時，b＝.所以b的取值范圍是[1，)．
答案：[1，)
7．(1)圓C與直線2x＋y－5＝0切于點(2,1)，且與直線2x＋y＋15＝0也相切，求圓C的方程；
(2)已知圓C和y軸相切，圓心C在直線x－3y＝0上，且被直線y＝x截得的弦長為2，求圓C的方程．
解：(1)設圓C的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
∵兩切線2x＋y－5＝0與2x＋y＋15＝0平行，
∴2r＝＝4，
∴r＝2，
∴＝r＝2，
即|2a＋b＋15|＝10，?、?
＝r＝2，
即|2a＋b－5|＝10，?、?
又∵過圓心和切點的直線與切線垂直，
∴＝， ③
由①②③解得
∴所求圓C的方程為(x＋2)2＋(y＋1)2＝20.
(2)設圓心坐標為(3m，m)．
∵圓C和y軸相切，得圓的半徑為3|m|，
∴圓心到直線y＝x的距離為＝|m|.由半徑、弦心距、半弦長的關系得9m2＝7＋2m2，∴m＝1，
∴所求圓C的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
8．已知P是直線3x＋4y＋8＝0上的動點，PA、PB是圓C: x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，A、B是切點．
(1)求四邊形PACB面積的最小值；
(2)直線上是否存在點P，使∠BPA＝60，若存在，求出P點的坐標；若不存在，說明理由．
解：(1)如圖，連接PC，由P點在直線3x＋4y＋8＝0上，可設P點坐標為.
所以S四邊形PACB＝2S△PAC＝2|AP||AC|＝|AP|.
因為|AP|2＝|PC|2－|CA|2＝|PC|2－1，
所以當|PC|2最小時，|AP|最?。?
因為|PC|2＝(1－x)2＋2＝2＋9.
所以當x＝－時，|PC|＝9.
所以|AP|min＝＝2.
即四邊形PACB面積的最小值為2.
(2)由(1)知圓心C到P點距離3為C到直線上點的最小值，若∠APB＝60易得需PC＝2，這是不可能的，所以這樣的點P是不存在的．
2019高中數(shù)學 第四章 圓與方程 4.2 直線、圓的位置關系（第1課時）直線與圓的位置關系講義（含解析）新人教A版必修2.doc
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