2019版高考數(shù)學(xué) 9.3 用樣本估計總體課件.ppt

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第三節(jié)用樣本估計總體 知識梳理 1 必會知識教材回扣填一填 1 常用統(tǒng)計圖表 頻率分布表的畫法 第一步 求 決定組數(shù)和組距 組距 第二步 通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間 最后一組取閉區(qū)間 第三步 登記頻數(shù) 計算頻率 列出頻率分布表 極差 分組 頻率分布直方圖 反映樣本頻率分布的直方圖 如圖 橫軸表示樣本數(shù)據(jù) 縱軸表示 每個小矩形的面積表示樣本落在該組內(nèi)的 頻率 莖葉圖的畫法 第一步 將每個數(shù)據(jù)分為莖 高位 和葉 低位 兩部分 第二步 將最小莖與最大莖之間的數(shù)按 次序排成一列 寫在左 右 側(cè) 第三步 將各個數(shù)據(jù)的葉依次寫在其莖的右 左 側(cè) 大小 2 樣本的數(shù)字特征及意義 眾數(shù) 中位數(shù) 平均數(shù) 大小順序 最中間 最多 標(biāo)準(zhǔn)差 方差 i 標(biāo)準(zhǔn)差 表示樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離 一般用s表示 s ii 方差 標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2叫做方差 s2 其中xi i 1 2 3 n 是樣本數(shù)據(jù) n是 是 樣本容量 樣本平均數(shù) 2 必備結(jié)論教材提煉記一記 1 頻率分布直方圖中縱軸的含義是 不是頻率 2 小矩形的面積即數(shù)據(jù)落在該區(qū)間內(nèi)的頻率 所有小矩形的面積和為 3 方差 標(biāo)準(zhǔn)差 越小 樣本數(shù)據(jù)越穩(wěn)定 波動越 方差 標(biāo)準(zhǔn)差 越大 樣本數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定 波動 1 小 越大 3 必用技法核心總結(jié)看一看 1 常用方法 由具體到抽象的方法 用樣本估計總體的方法 2 數(shù)學(xué)思想 數(shù)形結(jié)合思想 方程思想 小題快練 1 思考辨析靜心思考判一判 1 一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定大于這組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù) 2 平均數(shù) 眾數(shù)與中位數(shù)都可以描述數(shù)據(jù)的集中趨勢 3 一組數(shù)據(jù)的方差越大 說明這組數(shù)據(jù)的波動越大 4 頻率分布直方圖中 小矩形的面積越大 表示樣本數(shù)據(jù)落在該區(qū)間內(nèi)的頻率越高 5 莖葉圖中的數(shù)據(jù)要按從小到大的順序?qū)?相同的數(shù)據(jù)可以只記一次 解析 1 錯誤 平均數(shù)一定不大于這組數(shù)據(jù)中的最大值 2 正確 平均數(shù)表示一組數(shù)據(jù)的平均水平 眾數(shù)表示一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù) 中位數(shù)等分樣本數(shù)據(jù)所占頻率 都可以從不同的角度描述數(shù)據(jù)的集中趨勢 3 正確 由方差的意義知結(jié)論正確 4 正確 由頻率分布直方圖的意義知結(jié)論正確 5 錯誤 莖葉圖要求不能丟失數(shù)據(jù) 答案 1 2 3 4 5 2 教材改編鏈接教材練一練 1 必修3P70例題改編 某賽季 甲 乙兩名籃球運動員都參加了11場比賽 他們每場比賽得分的情況用如圖所示的莖葉圖表示 則甲 乙兩名運動員得分的中位數(shù)分別為 解析 數(shù)據(jù)的個數(shù)為奇數(shù)時 中位數(shù)為數(shù)據(jù)按大小排列后最中間的數(shù)據(jù) 答案 19 13 2 必修3P82A組T6改編 甲 乙兩人在相同條件下各射靶10次 每次命中環(huán)數(shù)如下 甲47109568688乙7868678759試問10次射靶的情況較穩(wěn)定的是 解析 本題要計算兩樣本的方差 當(dāng)樣本平均數(shù)不是整數(shù) 且樣本數(shù)據(jù)不大時 可用簡化公式計算方差 4 7 8 7 1 7 8 9 7 1 42 72 82 10 7 12 3 09 72 82 92 10 7 12 1 29 因為 所以乙10次射靶比甲10次射靶情況穩(wěn)定 答案 乙 3 真題小試感悟考題試一試 1 2014 陜西高考 設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1 x2 x10的均值和方差分別為1和4 若yi xi a a為非零常數(shù) i 1 2 10 則y1 y2 y10的均值和方差分別為 A 1 a 4B 1 a 4 aC 1 4D 1 4 a 解析 選A 樣本數(shù)據(jù)x1 x2 x10的均值 x1 x2 x10 1 方差s 2 x1 1 2 x2 1 2 x10 1 2 4 新數(shù)據(jù)x1 a x2 a x10 a的均值 x1 a x2 a x10 a x1 x2 x10 a 1 a 新數(shù)據(jù)x1 a x2 a x10 a的方差s2 x1 a 1 a 2 x2 a 1 a 2 x10 a 1 a 2 x1 1 2 x2 1 2 x10 1 2 4 2 2015 濟(jì)南模擬 對某種電子元件的使用壽命進(jìn)行跟蹤調(diào)查 所得樣本的頻率分布直方圖如圖所示 由圖可知 這一批電子元件中使用壽命在100 300h的電子元件的數(shù)量與使用壽命在300 600h的電子元件的數(shù)量的比是 解析 由于已知的頻率分布直方圖中組距為100 壽命在100 300h的電子元件對應(yīng)的矩形的高分別為 則壽命在100 300h的電子元件的頻率為 壽命在300 600h的電子元件對應(yīng)的矩形的高分別為 則壽命在300 600h的電子元件的頻率為 則壽命在100 300h的電子元件的數(shù)量與壽命在300 600h的電子元件的數(shù)量的比大約是答案 考點1數(shù)字特征的計算與應(yīng)用 典例1 1 2014 陜西高考 某公司10位員工的月工資 單位 元 為x1 x2 x10 其均值和方差分別為和s2 若從下月起每位員工的月工資增加100元 則這10位員工下月工資的均值和方差分別為 A s2 1002B 100 s2 1002C s2D 100 s2 2 2015 東城模擬 汽車的碳排放量比較大 某地規(guī)定 從2014年開始 將對二氧化碳排放量超過130g km的輕型汽車進(jìn)行懲罰性征稅 檢測單位對甲 乙兩品牌輕型汽車各抽取5輛進(jìn)行二氧化碳排放量檢測 記錄如下 單位 g km 經(jīng)測算得乙品牌輕型汽車二氧化碳排放量的平均值為 120g km 從被檢測的5輛甲品牌輕型汽車中任取2輛 則至少有一輛二氧化碳排放量超過130g km的概率是多少 求表中x的值 并比較甲 乙兩品牌輕型汽車二氧化碳排放量的穩(wěn)定性 解題提示 1 根據(jù)均值和方差的計算公式代入求解即可 2 利用古典概型的概率公式求解 計算兩種品牌車二氧化碳排放量的平均數(shù)與方差 再根據(jù)平均數(shù)和方差的意義判斷 規(guī)范解答 1 選D 樣本數(shù)據(jù)x1 x2 x10的均值 x1 x2 x10 方差s2 x1 2 x2 2 x10 2 新數(shù)據(jù)x1 100 x2 100 x10 100的均值 x1 100 x2 100 x10 100 x1 x2 x10 100 100 新數(shù)據(jù)x1 100 x2 100 x10 100的方差 x1 100 100 2 x2 100 100 2 x10 100 100 2 x1 2 x2 2 x10 2 s2 2 從被檢測的5輛甲品牌的輕型汽車中任取2輛 共有10種不同的二氧化碳排放量結(jié)果 80 110 80 120 80 140 80 150 110 120 110 140 110 150 120 140 120 150 140 150 設(shè) 至少有一輛二氧化碳排放量超過130g km 為事件A 則事件A包含以下7種不同的結(jié)果 80 140 80 150 110 140 110 150 120 140 120 150 140 150 所以P A 0 7 即至少有一輛二氧化碳排放量超過130g km的概率為0 7 由題可知 120 所以 120 解得x 120 80 120 2 110 120 2 120 120 2 140 120 2 150 120 2 600 100 120 2 120 120 2 120 120 2 100 120 2 160 120 2 480 因為所以乙品牌輕型汽車二氧化碳排放量的穩(wěn)定性好 一題多解 解答本題 1 你還會什么解法 解答本題 1 還可以利用以下解法 因為平均值反映的是數(shù)據(jù)的平均水平 都增加100時 平均值也增加100 而方差反映的是數(shù)據(jù)的波動情況 都增加100時 數(shù)據(jù)的波動情況不變 故選D 規(guī)律方法 眾數(shù) 中位數(shù) 平均數(shù)及方差的意義及計算方法 1 平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征 是對總體的一種簡明地描述 平均數(shù) 中位數(shù) 眾數(shù)描述其集中趨勢 方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述波動大小 2 平均數(shù) 方差的公式推廣 若數(shù)據(jù)x1 x2 xn的平均數(shù)為 那么mx1 a mx2 a mx3 a mxn a的平均數(shù)是m a 數(shù)據(jù)x1 x2 xn的方差為s2 i 數(shù)據(jù)x1 a x2 a xn a的方差也為s2 ii 數(shù)據(jù)ax1 ax2 axn的方差為a2s2 3 方差的簡化計算公式 s2 或?qū)懗杉捶讲畹扔谠瓟?shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方 變式訓(xùn)練 1 某學(xué)校高一年級男生人數(shù)占該年級學(xué)生人數(shù)的40 在一次考試中 男 女平均分?jǐn)?shù)分別是75 80 則這次考試該年級學(xué)生平均分?jǐn)?shù)為 解析 由平均數(shù)的定義得75 40 80 1 40 78 答案 78 2 2013 江蘇高考 抽樣統(tǒng)計甲 乙兩位射擊運動員的5次訓(xùn)練成績 單位 環(huán) 結(jié)果如下 則成績較為穩(wěn)定 方差較小 的那位運動員成績的方差為 解題提示 利用平均數(shù)公式與方差公式求解可得結(jié)果 解析 答案 2 加固訓(xùn)練 某人5次上班途中所花的時間 單位 分鐘 分別為x y 10 11 9 已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10 方差為2 則 x y 解析 由題意得答案 4 考點2莖葉圖的應(yīng)用 典例2 1 2013 重慶高考 以下莖葉圖記錄了甲 乙兩組各5名學(xué)生在一次英語聽力測試中的成績 單位 分 已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15 乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16 8 則x y的值分別為 A 2 5B 5 5C 5 8D 8 8 2 2013 安徽高考 為調(diào)查甲 乙兩校高三年級學(xué)生某次聯(lián)考數(shù)學(xué)成績情況 用簡單隨機(jī)抽樣 從這兩校中各抽取30名高三年級學(xué)生 以他們的數(shù)學(xué)成績 百分制 作為樣本 樣本數(shù)據(jù)的莖葉圖如下 若甲校高三年級每位學(xué)生被抽取的概率為0 05 求甲校高三年級學(xué)生總?cè)藬?shù) 并估計甲校高三年級學(xué)生這次聯(lián)考數(shù)學(xué)成績的及格率 60分及60分以上為及格 設(shè)甲 乙兩校高三年級學(xué)生這次聯(lián)考數(shù)學(xué)平均成績分別為估計的值 解題提示 1 直接利用中位數(shù)和平均數(shù)的定義進(jìn)行求解 2 利用抽樣比求總體容量 利用樣本及格率估計總體及格率 利用樣本平均成績估計總體平均成績 規(guī)范解答 1 選C 因為甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15 所以易知x 5 又乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16 8 所以 16 8 解得y 8 故選C 2 設(shè)甲校高三年級學(xué)生總數(shù)為n 由題意知 0 05 即n 600 樣本中甲校高三年級學(xué)生數(shù)學(xué)成績不及格人數(shù)為5 據(jù)此估計甲校高三年級此次聯(lián)考數(shù)學(xué)成績及格率為1 設(shè)甲 乙兩校樣本平均數(shù)分別為根據(jù)樣本莖葉圖可知 7 5 55 8 14 24 12 65 26 24 79 22 20 92 2 49 53 77 2 92 15 因此 0 5 故的估計值為0 5分 互動探究 題 1 中甲組的平均分是多少 乙組的中位數(shù)是多少 解析 因為x 5 y 8 所以甲組的平均分是乙組的中位數(shù)是18 規(guī)律方法 莖葉圖的優(yōu)缺點優(yōu)點 一是所有的信息都可以從這個莖葉圖中得到 二是莖葉圖便于記錄和表示 能夠展示數(shù)據(jù)的分布情況 缺點 樣本數(shù)據(jù)較多或數(shù)據(jù)位數(shù)較多時 不方便表示數(shù)據(jù) 變式訓(xùn)練 1 2015 長治模擬 對某商店一個月內(nèi)每天的顧客人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計 得到樣本的莖葉圖 如圖所示 則該樣本的中位數(shù) 眾數(shù) 極差分別是 A 47 45 56B 46 45 53C 46 45 56D 45 47 53 解析 選C 由莖葉圖可知 中位數(shù)為 46 眾數(shù)為45 極差為68 12 56 2 2013 山東高考 將某選手的9個得分去掉1個最高分 去掉1個最低分 7個剩余分?jǐn)?shù)的平均分為91 現(xiàn)場做的9個分?jǐn)?shù)的莖葉圖后來有一個數(shù)據(jù)模糊 無法辨認(rèn) 在圖中以x表示 則7個剩余分?jǐn)?shù)的方差為 解析 選B 這組數(shù)據(jù)為87 87 94 90 91 90 90 x 99 91 最高分為99 最低分為87 剩余數(shù)據(jù)為87 94 90 91 90 90 x 91 加固訓(xùn)練 1 2013 重慶高考 如圖是某公司10個銷售店某月銷售某產(chǎn)品數(shù)量 單位 臺 的莖葉圖 則數(shù)據(jù)落在區(qū)間 22 30 內(nèi)的概率為 A 0 2B 0 4C 0 5D 0 6 解題提示 直接根據(jù)數(shù)據(jù)的總個數(shù)和落在區(qū)間 22 30 內(nèi)的個數(shù)求解即可 解析 選B 落在區(qū)間 22 30 內(nèi)的個數(shù)為4個 總的數(shù)據(jù)有10個 故概率為0 4 選B 2 2013 新課標(biāo)全國卷 為了比較兩種治療失眠癥的藥 分別稱為A藥 B藥 的療效 隨機(jī)地選取20位患者服用A藥 20位患者服用B藥 這40位患者在服用一段時間后 記錄他們?nèi)掌骄黾拥乃邥r間 單位 h 實驗的觀測結(jié)果如下 服用A藥的20位患者日平均增加的睡眠時間 0 61 22 71 52 81 82 22 33 23 52 52 61 22 71 52 93 03 12 32 4 服用B藥的20位患者日平均增加的睡眠時間 3 21 71 90 80 92 41 22 61 31 41 60 51 80 62 11 12 51 22 70 5 1 分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù) 從計算結(jié)果看 哪種藥的療效更好 2 根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成下面莖葉圖 從莖葉圖看 哪種藥的療效更好 解析 1 設(shè)A藥觀測數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 B藥觀測數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 由觀測結(jié)果可得 0 6 1 2 1 2 1 5 1 5 1 8 2 2 2 3 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 7 2 8 2 9 3 0 3 1 3 2 3 5 2 3 0 5 0 5 0 6 0 8 0 9 1 1 1 2 1 2 1 3 1 4 1 6 1 7 1 8 1 9 2 1 2 4 2 5 2 6 2 7 3 2 1 6 由以上計算結(jié)果可得 因此可以看出A藥的療效更好 2 由觀測結(jié)果可繪制如下莖葉圖 從莖葉圖可以看出 A藥療效的試驗結(jié)果有的葉集中在莖2 3上 B藥療效的試驗結(jié)果有的葉集中在莖0 1上 由此可以看出A藥的療效更好 考點3頻率分布直方圖知 考情高考中對頻率分布直方圖的考查主要側(cè)重于以下三個方面 一是求某一組的頻率或頻數(shù) 二是完善頻率分布直方圖 補畫小矩形或求縱軸中的參數(shù) 三是與概率相結(jié)合出題 明 角度命題角度1 利用頻率分布直方圖求頻率或頻數(shù) 典例3 2014 山東高考改編 為研究某藥品的療效 選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗 所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù) 單位 kPa 的分組區(qū)間為 12 13 13 14 14 15 15 16 16 17 將其按從左到右的順序分別編號為第一組 第二組 第五組 如圖是根據(jù)試驗數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖 所有志愿者的舒張壓中位數(shù)為 眾數(shù)為 若已知第一組與第二組共有20人 第三組中沒有療效的有6人 則第三組中有療效的人數(shù)為 解題提示 中位數(shù)是使直方圖中左右兩側(cè)面積相等的值 眾數(shù)是最高的小矩形的中間值 利用已知數(shù)據(jù)估計總體數(shù)據(jù) 再根據(jù)比例計算第三組數(shù)據(jù)有療效的人數(shù) 規(guī)范解答 由圖知 若中位數(shù)是a 則0 24 0 16 a 14 0 36 0 5 解得a 14 28 眾數(shù)是14 5 因為樣本總數(shù)為N 50 所以若第三組中有療效的人數(shù)為x 則 0 36 解得x 12 答案 14 2814 512 命題角度2 利用頻率分布直方圖求概率 典例4 2014 重慶高考 20名學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績 單位 分 的頻率分布直方圖如下 1 求頻率分布直方圖中a的值 2 分別求出成績落在 50 60 與 60 70 中的學(xué)生人數(shù) 3 從成績在 50 70 的學(xué)生中任選2人 求此2人的成績都在 60 70 中的概率 解題提示 直接根據(jù)頻率之和為1可求出a的值 再根據(jù)對應(yīng)頻率可求出成績落在 50 60 與 60 70 中的學(xué)生人數(shù) 然后利用古典概型概率公式求解成績都在 60 70 中的概率 規(guī)范解答 1 根據(jù)直方圖知組距為10 由 2a 3a 7a 6a 2a 10 1 解得a 0 005 2 成績落在 50 60 中的學(xué)生人數(shù)為2 0 005 10 20 2 成績落在 60 70 中的學(xué)生人數(shù)為3 0 005 10 20 3 3 記成績落在 50 60 中的2人為A1 A2 成績落在 60 70 中的3人為B1 B2 B3 則從成績在 50 70 的學(xué)生中任選2人的基本事件共有10個 A1 A2 A1 B1 A1 B2 A1 B3 A2 B1 A2 B2 A2 B3 B1 B2 B1 B3 B2 B3 其中2人的成績都在 60 70 中的基本事件有3個 B1 B2 B1 B3 B2 B3 故所求概率為P 悟 技法關(guān)于頻率分布直方圖的常見題型及解題思路 1 求某組內(nèi)的頻數(shù)或頻率 利用小矩形的面積即數(shù)據(jù)落在該區(qū)間內(nèi)的頻率求解 2 求概率 通常是借助頻率分布直方圖的幾何意義 用頻率近似估計概率 通 一類1 2013 陜西高考 對一批產(chǎn)品的長度 單位 mm 進(jìn)行抽樣檢測 如圖為檢測結(jié)果的頻率分布直方圖 根據(jù)標(biāo)準(zhǔn) 產(chǎn)品長度在區(qū)間 20 25 上的為一等品 在區(qū)間 15 20 和區(qū)間 25 30 上的為二等品 在區(qū)間 10 15 和 30 35 上的為三等品 用頻率估計概率 現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件 則其為二等品的概率為 A 0 09B 0 20C 0 25D 0 45 解析 選D 組距為5 二等品的概率為1 0 02 0 06 0 03 5 0 45 所以 從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1件 則其為二等品的概率為0 45 2 2013 遼寧高考 某班的全體學(xué)生參加英語測試 成績的頻率分布直方圖如圖 數(shù)據(jù)的分組依次為 20 40 40 60 60 80 80 100 若低于60分的人數(shù)是15 則該班的學(xué)生人數(shù)是 A 45B 50C 55D 60 解析 選B 由頻率分布直方圖 計算出低于60分的人數(shù)的頻率 前兩個小矩形的面積 p 20 0 005 20 0 01 0 3 則總?cè)藬?shù)為15 0 3 50 3 2015 自貢模擬 統(tǒng)計1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)模塊 一 水平測試成績 得到樣本頻率分布直方圖如圖所示 規(guī)定不低于60分為及格 不低于80分為優(yōu)秀 則及格但不優(yōu)秀的人數(shù)是 解析 由頻率分布直方圖得及格但不優(yōu)秀的學(xué)生頻率為 0 025 0 035 10 0 6 所以及格但不優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為1000 0 6 600 答案 600 4 2015 邯鄲模擬 某商場在慶元宵促銷活動中 對元宵節(jié)當(dāng)天9時至14時的銷售額進(jìn)行統(tǒng)計 其頻率分布直方圖如圖所示 已知9時至10時的銷售額為2 5萬元 則11時至12時的銷售額為萬元 解析 設(shè)11時至12時的銷售額為x萬元 則解得x 10 答案 10 規(guī)范解答18統(tǒng)計與概率的綜合應(yīng)用 典例 12分 2014 龍巖模擬 為了解某校學(xué)生暑期參加體育鍛煉的情況 對某班M名學(xué)生暑期參加體育鍛煉的次數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計 得到如下的頻率分布表與直方圖 1 求頻率分布表中M c d及頻率分布直方圖中f的值 2 求參加鍛煉次數(shù)的眾數(shù) 直接寫出答案 不要求計算過程 3 從參加鍛煉次數(shù)不少于18次的學(xué)生中任選2人 求至少一人參加鍛煉的次數(shù)在區(qū)間 22 26 內(nèi)的概率 解題導(dǎo)思研讀信息快速破題 規(guī)范解答閱卷標(biāo)準(zhǔn)體會規(guī)范 1 1分因為2 11 16 15 d 2 M 所以d 4 2分 4分 2 眾數(shù)為12 6分 3 參加次數(shù)不少于18次的學(xué)生共有 d 2 6人 設(shè)在 18 22 內(nèi)的4人為 A B C D 在 22 26 內(nèi)的2人為m n 7分 設(shè) 從參加鍛煉次數(shù)不少于18次的學(xué)生中任選2人 其中至少一人參加鍛煉的次數(shù)在區(qū)間 22 26 內(nèi) 為事件M P M 12分 高考狀元滿分心得把握規(guī)則爭取滿分 1 注意審題 看清題目要求 既要步驟完整 又能夠省時省力 如本題 2 中 只需寫出答案 就不必解釋理由 2 步驟要規(guī)范嚴(yán)謹(jǐn) 不能隨意刪減 本題 3 中不求15和9這兩個數(shù)據(jù) 直接得出P的值是不得分的